證明幾何問題時如何掌握畫輔助線的技巧

裴靜

在分析幾何問題時，學會正確地畫輔助線非常重要.只有正確畫出輔助線，才能夠有助于快速證明幾何問題;反之，如果盲目地畫輔助線，則只會把當前的幾何問題變得更加復雜.筆者結合自己的學習實踐，說明在證明幾何問題時，正確畫輔助線的方法.

?一、應用畫輔助線轉移數學問題

轉移一個數學問題，是指當一個數學問題為A，現在難以證明出問題A，然后卻可以嘗試思考，能不能讓數學問題A等價為數學問題B，而現在雖然難以證明數學問題A，卻容易證明數學問題B，這樣可以證明問題B的途徑來證明A.應用這樣的思路畫輔助線，便能通過添加輔助線來幫助解決幾何證明問題.

題1：如圖1，已知：△ABC的三個內角是∠A，∠B，∠C.求證：∠A+∠B+∠C=180°.

現在要證明三角形的內角和為180°，如圖1，即要證明∠C=180°-∠A-∠B.這就是把證明∠A+∠B+∠C=180°等價為∠C=180°-∠A-∠B的問題了.應用這樣的方法，有利于問題的證明.依此思路，可以繪制出BC的延長線CD，如果能證明∠ACD=∠A+∠B，即可完成證明？此時思考，要如何完成證明呢？現在繪制出CE//AB這條件，此時，又把∠C=180°-∠A-∠B等價為∠C=180°-∠1-∠2了.依此思路繪出輔助線，完成證明.證明的過程為作BC的延長線CD，過點C作CE∥BA，∠1=∠A，∠2=∠B（依平行線的判定定理），又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°.從這一題中可以看到，在添加輔助線時，必須思考可不可以讓一個數學問題A變成另一個數學問題B，通過轉移問題的方法完成證明，這是一種在證明幾何問題時添加輔助線的思路.

?二、應用畫輔助線來建立一個數學命題

在遇到幾何問題時，有時可以通過直覺和生活經驗來發現幾何命題是不是成立的.然而這個思路還需要證明，此時可以通過畫輔助線來把自己的生活經驗、直覺得到的判斷具象化，然后以判斷這個命題是正確的，或者不正確的偽命題，應用數學知識完成證明，在把根據直覺得到的命題判斷具象化的過程中，畫輔助線起到能讓數學命題成立的重要作用.

題2： 如圖2，AB>AC， ∠1=∠2，求證：AB-AC>BD-CD.

在觀看這個圖形時，不需要作深入的分析，便會產生一種直覺：AB-AC>BD-CD.此時仔細地思考，這種直覺是如何產生的？邏輯依據是什么？此時可以看到，在觀察幾何圖形的時候，雖然可以產生一種幾何圖形判斷定的直覺，但是這種直覺是需要數學邏輯來證明的.為了應用數學邏輯來證明自己的直覺，現順著直覺分析，可以思考，能不能添加一條輔助線，讓AE=AC呢？此時如果能夠證明DE=CD，那么就可以應用三角形兩邊之差小于第三邊這個性質來完成證明.依此方向，建立命題：讓AE=AC，然后連接DE，證明DE=CD是否成立.輔助線作好后，剩下的就容易證明了.

?三、應用畫輔助線整合幾何圖形

在遇到幾何問題時，同學們經常會看到，有些幾何圖形為不是特殊的幾何圖形.如有些三角形為普通的三角形、有些四邊形的四邊長短缺乏規律性，當幾何圖形不夠特殊，缺乏規律性時，會給證明帶來很多困難.應用畫輔助線的方法，可以把不規律的幾何圖形嘗試變成規則的圖形.如果能夠應用拼接的方法，把普通的三角形變成直角三角形，能夠把不夠規則的圖形變成矩形或平行四邊形這樣的圖形，那么可以應用這些特殊幾何圖形的性質來完成證明.為了達到把不特殊的圖形變成特殊圖形的目的，可以應用畫輔助線的方法分割或拼補圖形，為證明幾何問題打好基礎.

同學們在證明幾何問題時，要學會巧妙地繪制輔助線：可以應用讓問題等價的思路、讓某個數學命題成立的思路、把不特殊圖形變成特殊圖形的思路添加輔助線.應用這樣的方法添加輔助線，有利于問題的證明.