建構過程有模有樣 數學思考入心入腦

江蘇鹽城市第二小學 葛群兵

學習數學的過程，首先就是一個建構的過程，學習者要把外在的知識結構通過學習內化為學習者自身的知識體系。因此，學習者在學習實踐中往往需要經歷把現實生活中的具體情境去偽存真，歸納概括出數學學科原有的知識與本質的特征，并用數學的語言、符號和圖像等進行表征及理解內化為學習者自身認知的過程，這就是數學化的過程。而實際生活中的解決數學問題，是學習者應用和探索的過程，是把抽象的數學知識與具體的情境中解決實際問題建立起聯系的過程，實現這種聯系的紐帶就是數學模型?！皵祵W模型思想”是《義務教育數學課程標準（2011年版）》十大核心詞之一，新課標指出：數學模型思想的建立是學習者了解和體驗外部世界與數學世界聯系的基本途徑。不管是學習數學還是研究數學，其宗旨都是應用數學服務社會，造福人類，要很好地實現此目標的方法就是通過數學模型把實際問題與數學聯系起來。

一、理解運算意義，構建解決問題的基本模型

加減乘除四則運算的意義在解決數學問題中的作用是至關重要的，運用加減乘除法的意義可以有效形成解決數學問題最基本的模型。以常見的數量關系為例，“付出的錢”“商品的價錢”與“找回的錢”，“速度”“時間”與“路程”等都是在理解運算意義的基礎上通過加、減、乘、除運算完成的，建立運算模型是解決數學問題的基本方法。學習者在解決數學問題時從運算意義出發進行思考，把實際生活情境中的問題與數學上運算意義相聯系，經歷思考、重組、構建與創造的過程，淡化了平時解題要分類型程式化的教學。

例如，蘇教版數學二年級上冊第42頁例2、例3：

教材中一直未出現“包含除”“等分除”的術語，但在具體的生活實際情境中 “包含除”“等分除”這兩種操作都有所體現。

比如，在例2“分桃”中，把8個桃，每個小朋友分2個，可以分給幾個小朋友？這次操作分物活動的算式表示為：8÷2＝4（個），就是所謂的“包含除”。

在例3“分桃”中，把8個桃平均分給2個小朋友，先讓學生分一分，得出每個小朋友分得4個，這一分物活動算式表示為8÷2＝4（個），就是所謂的“等分除”。

雖然在數學教材中這兩種形式都有體現，但這里的操作分物活動對分的步驟沒有做出統一要求，也沒有出現“等分除”“包含除”，不要求學生機械記憶這些人為劃分的題型類，而是讓學生根據已有的生活經驗利用自己的策略進行實際操作，力求在動手分物活動中體驗除法的含義，除法有這兩種不同的實際模型。

二、領悟模型思想，構建數學思考的基本策略

學生應該明白數學表征的目的是揭示實際問題中的數學數量關系，而不是文學上描述一件事情或復述故事情景，要培養學生學會應用多種方式表征數量關系的能力。因此，運用簡潔的數學圖形或語言符號，適度的類比聯想和對比歸納來揭示關系都是有效的途徑。學生學習數學是一次活動、一種體驗、一個過程，活動、體驗和過程是不能口述的，學生只有參與其中親身體驗，才能積累經驗、領悟內涵、把握本質。讓學生領悟模型思想最有效的策略就是讓學生親身參與構建模型的全過程。教師要引導學習者經歷建模的過程，不妨從基于標準、把握教材、領悟內涵入手。

例如，蘇教版數學五年級下冊第52頁例1：

一個物體、一個計量單位或由許多物體組成的一個整體，都可以用自然數1來表示，通常我們把它叫作單位“1”。

學生在學習蘇教版三年級上冊中的“分數的初步認識”中已經對一個物體、一個計量單位可以用自然數1來表示有了初步感性認識，結合生活經驗，所以并不難理解。但對“由許多物體組成的一個整體，也可以用自然數1來表示”尚缺少生活積累，所以領悟起來就有一定的困難。這就需要讓學生參與建模的過程，可以分三步進行：先畫6個圓片表示許多物體，然后在6個圓片外畫一個橢圓表示組成了一個整體，再把這個整體（橢圓）平均分成三份涂色部分占整體的。例題后的兩個練習也可以用同樣的步驟進行建模練習。

再如第59頁的例5、例6中假分數的建模，先從真分數開始涂色表示每個圓右邊的分數，都是把一個圓平均分成4份，表示這樣的1份、3份都可以直接涂色。表示4份就正好涂滿。而要涂色表示5個，則開始畫的第一個圓就不夠涂了。因為一個圓只被平均分成了4份，只有4份可以涂色，現在要表示5份，所以需要在第一個圓片右邊再畫一個相同的圓片，和左邊圓片同樣平均分成4份，涂上1份，這時分數需要在兩個圓片之間用大括號連上。有了這個建模過程，學生就不難完成例6了。在圖形中涂色表示它下面的分數。

沒有這個建模的過程，有不少學生思考時就容易混淆，往往出錯，把寫成，把寫成，把寫成等。

三、學會數學思考，促進思維生長的有效途徑

思考是思維的一種探索活動，是學生對獲得信息的再加工。數學思考是學生面對各種現實的問題情境，能夠從數學的角度去獲取信息再思考，自覺養成應用數學知識、方法、思想和理念探尋其中所存在的數學現象和數學規律，并有意識地運用數學的知識和思想方法解決現實中的問題。

例如，蘇教版數學六年級上冊第34頁的例4：

像這樣的數學思考，學生充分體驗了知識的探究過程，充分經歷了知識的形成過程，學生就有足夠的空間和時間對知識之間存在的數學邏輯關系進行分析、對比、歸納、推理。在學生充分經歷學習活動后，教師再恰當抓住契機，在不憤不啟、不悱不發處就能切實點燃學生思維的火花，使學生的思維真正參與到獲取知識的活動中來，這樣才能有效促進學生的思維生長。

讓學生經歷數學建模的活動過程，教師要根據學習者的年齡特點、思維水平和教學內容，善于創設問題情境，設計有效的學習流程，讓學生在數學學習中實現知識的再創造。數學學習中的充分經歷，點燃了學生的思維；數學學習中的深刻體驗，引發了學生激烈的思維碰撞；數學學習中的數學思考，徹底激活了學生的思維；數學學習中的快樂分享，加強了學生的思維共振。因此，只有在充分經歷、深刻體驗、數學思考、快樂分享的數學學習中，才能最大限度地促進學生的思維生長。

綜上所述，數學模型思想不是一蹴而就能實現的目標，是需要長期有針對性的培養和有意識的積累。提高學生的數學思維品質需要講究策略，在數學學習中建構過程要有模有樣，激活學生的思維碰撞，數學思考才能入心入腦，學生的數學素養才會悄然升華。?