巧用“分類”理解概念，幫助學生積累數學活動經驗
——以“等式與方程”教學為例

江蘇南京致遠外國語小學 劉 莉

一、初上與反思

1.初上

“等式與方程”是蘇教版小學數學五年級下冊第一單元第一課時的內容，方程刻畫的是現實世界中的等量關系，對小學生來說，從具體事物的數量抽象出數，是認識上的一次飛躍，由具體的確定的數過渡到用字母表示未知的、可變的數是認知上的又一次飛躍。根據學生的學情和思維層次發展，一開始，筆者是這樣教學的：

環節一：教學等式

出示題圖。

（1）先觀察，圖中畫的是什么？

師：知道天平有什么用處嗎？（簡要介紹天平）你們從圖中能知道什么？想到了什么？

（2）學生交流得出：50+50=100。

說明：像這樣的式子叫作等式，等式的左邊是50+50，右邊是100。

（3）讓學生寫出一些等式。

環節二：初步感知方程

出示天平圖。

教師引導學生用式子表示天平兩邊物體的質量關系。

說明：式子中的x都是未知數。

觀察討論這些式子中哪些是等式？這些等式有什么共同點？

學生交流小結：有兩個是等式，兩個不是等式；兩個等式都含有未知數。

教師揭示方程的意義，像x+50=150，2x=200這樣含有未知數的等式叫方程。指導學生比較50+50=100，x+50=150，2x=200這三個等式，體會等式與方程的邏輯關系。

環節三：認識方程與等式的關系

小結：方程是一種特殊的等式。

2.反思

但是在隨后的練習反饋中，部分學生對于方程與等式的關系理解不夠透徹，有的學生認為以下兩種答案是正確的。

筆者認為出現這樣的情況，主要是前面部分的教學有如蜻蜓點水，導致學生對方程和等式這兩個概念的認識不夠，筆者的“一帶而過”導致學生在板塊中分不清兩者之間的包含關系，其實就是因為初學時沒有能夠讓所有的學生好好體會這兩個概念，筆者關注學生的已有經驗不夠，導致他們不能完整、清晰地表達出這兩個概念的本質關系。隨后，筆者查了一些資料，基于杜賓斯基的APOS理論，一個數學概念的圖示，有相應的活動程序、對象以及某些原理相聯系的其他圖示。所形成的一種個體頭腦的認知框架，數學課堂教育應關注于學生是如何學習數學的，以及什么樣的教學計劃可以幫助這種學習。筆者想到要設計活動，讓學生自己內化概念。課標明確指出分類是一種重要的數學思想。在研究數學問題中，常常需要通過分類討論解決問題，分類的過程就是對事物共性的抽象過程，教學活動中要使學生逐步體會為什么要分類，要如何分類，如何確定分類標準，在分類過程中如何認知對象的性質，如何區分不同對象的不同性質。通過多次反復的思考和長時間的積累，使學生逐步感悟，分類是一種重要的思想，學會分類可以有助于學習新的數學知識，有助于分析和解決新的數學問題。筆者決定修改教案，于是第二次筆者是這樣設計的：

二、改變與反饋

1.改變

環節一：看天平寫式子

回憶：天平如何稱物體？怎么知道天平是否平衡？

師：看圖，用式子表示天平兩邊質量大小。

生：50×2=100。

師：根據這4個天平，你能寫出哪些式子？

生：x+50＞100,x+50=150,x+50＜200。

（教師增加幾個天平，讓學生自己獨自寫式子）

……

師：像這樣，天平平衡時，我們寫出的式子是等式。

環節二：分類并討論

活動任務：

（1）將剛才寫出的所有式子進行分類。

（2）在小組里說一說，自己分類的標準是什么？是如何分類的？

第一次匯報：

生：將式子分成等式和非等式。

師：把等式再分類，你會如何分？

生：含有未知數的和不含未知數的。

師：分出這些，經過了幾次分類？

第二次匯報：

生：將式子分為含有未知數的和不含未知數的。

師：將含有未知數的式子再進行分類，可以怎么分？

生：等式和非等式。

師：分出這些，經過了幾次分類？

環節三：理解方程的意義

師：無論按哪種分類標準，最后的結果都是經歷了兩次分類，最后都得到了一類“含有未知數的等式”，這就是方程。

2.反饋

與最初的教案設計相比，看似只多了“分類”的活動，但是效果是完全不同的，學生通過自己的分類活動將概念內化，通過四個步驟：①揭示概念的本質屬性給出符號；②對概念進行分類；③鞏固概念，利用概念的定義進行簡單識別活動；④用概念解決問題并建立聯系，采用“屬+種差”的概念同化方式，實實在在地提高了學生學習數學知識的能力。學生通過了兩次分類過程：一次是把式子分為等式與非等式，另一次是含未知數和不含未知數的等式，這兩次的分類標準，正巧就是方程含義的兩大特征。匯報環節也是經過考慮的，第一次先分為等式和非等式，然后分為含未知數和不含未知數；第二次是先按是否含有未知數，再按照是否是等式來分類，目的在于讓學生體會無論按哪種分類標準，最后的結果都是經歷了兩次分類，都得到了一類含有未知數的等式。在分類的過程中，提升了學生的邏輯思維能力，讓他們在分類操作中體驗等式與方程的本質與特征，讓教學變粗糙為精致，最終讓學生對等式與方程的含義由模糊逐漸變為清晰。

充分利用分類這一活動提升了學生的活動經驗。數學活動經驗的積累是提高學生數學素養的重要標志，幫助學生積累數學活動經驗，是數學教學的重要目標，是學生不斷經歷和體驗各種數學活動的結果。?