“漢諾塔中的數(shù)學(xué)”教學(xué)設(shè)計(jì)

江西撫州市實(shí)驗(yàn)學(xué)校 曾蓮秀

益智器具：漢諾塔

教學(xué)目標(biāo)：

（1）通過素材的搜集讓學(xué)生了解漢諾塔的起源、構(gòu)造、游戲規(guī)則，并在游戲操作中正確、熟練移動(dòng)4環(huán)以內(nèi)的漢諾塔。

（2）通過操作漢諾塔并引導(dǎo)探究操作最優(yōu)策略，培養(yǎng)學(xué)生觀察能力、倒推思維能力，初步體會(huì)遞歸思想，以及有條理地闡述自己想法的能力。

（3）通過游戲，培養(yǎng)學(xué)生積極向上的自信心和努力達(dá)到目的的意志力，并增強(qiáng)步步為營、深謀遠(yuǎn)慮的意識(shí)。

教學(xué)過程：

師：科學(xué)家認(rèn)為，人腦可以像肌肉一樣通過后天的訓(xùn)練進(jìn)行強(qiáng)化。通過思維訓(xùn)練，能使我們的大腦變得越來越聰明?？茖W(xué)家還認(rèn)為，益智游戲是培養(yǎng)兒童思維品質(zhì)的重要途徑，你們喜歡玩益智游戲嗎？現(xiàn)在就讓我們隨著歡快的音樂，踏上智慧之旅吧。上課！

一、了解起源，明確規(guī)則

1.學(xué)生介紹游戲起源、構(gòu)造

師：課前，老師布置你們?nèi)チ私鉂h諾塔，說說看，關(guān)于漢諾塔你們都知道些什么？

生1：我知道漢諾塔源于印度一個(gè)古老傳說。傳說大梵天主創(chuàng)造世界的時(shí)候做了三根金剛石柱子，在一根柱子上從下往上按照大小順序摞著64片黃金圓環(huán)。大梵天主命令婆羅門將圓環(huán)不改變大小順序移到另一根柱子上。并且規(guī)定，在三根柱子之間一次只能移動(dòng)一個(gè)圓環(huán)，大的圓環(huán)不能壓在小圓環(huán)上。法國數(shù)學(xué)家愛德華·盧卡斯根據(jù)這個(gè)傳說發(fā)明了現(xiàn)在的漢諾塔玩具。

生2：我知道漢諾塔由三部分組成：一個(gè)底座、三根柱子、一些圓環(huán)。

師：為了便于表述，咱們給這三根柱子取個(gè)名字，圓環(huán)所在的柱子叫起始柱，圓環(huán)要去的目的地柱子叫目標(biāo)柱，另外一根起著過渡中轉(zhuǎn)的作用，我們稱它為過渡柱。

生：圓環(huán)按從上往下的順序，稱為第一環(huán)，第二環(huán)……

2.學(xué)生明確漢諾塔的游戲規(guī)則

教師演示錯(cuò)誤的漢諾塔操作方法：一次性拿三個(gè)圓環(huán)，大的壓小的,讓學(xué)生辨析。

課件出示漢諾塔的游戲規(guī)則：一次只能移動(dòng)一個(gè)圓環(huán)，大的不能壓在小的上面。

師：漢諾塔問題在數(shù)學(xué)界有著很高的研究價(jià)值，今天我們也當(dāng)一回小小數(shù)學(xué)家，一起來研究漢諾塔中的數(shù)學(xué)問題。

二、實(shí)戰(zhàn)探索，引導(dǎo)探究

1.移動(dòng)2個(gè)圓環(huán)

師：現(xiàn)在你們手中的漢諾塔有八層，試著移一移。（師巡視）

師：老師看到大家面有難色，我來采訪一下，你們都遇到什么困難？

生1：我在移動(dòng)的過程中總會(huì)出現(xiàn)大的壓小的情況，就又撤回來了。

生2：移到后來，不知道怎么走了。

生3：移動(dòng)這些圓環(huán)，感覺需要很多步數(shù)，感覺很難完成。

師：現(xiàn)在我們手中的漢諾塔有這么多層，如果沒有摸出一點(diǎn)門道就亂移一通，要不就走進(jìn)死胡同，無法移動(dòng)，要不來來回回走了很多冤枉路。鑒于這種情況，數(shù)學(xué)家的方法是，從簡單的問題入手，找到規(guī)律之后，再根據(jù)規(guī)律解決稍復(fù)雜的問題。好，咱們現(xiàn)在從兩個(gè)圓環(huán)起開始研究。

教師指名學(xué)生貼教具演示移動(dòng)兩個(gè)圓環(huán)的過程，引發(fā)全班交流討論。

師：都是移動(dòng)2個(gè)圓環(huán)，怎么這兩個(gè)同學(xué)移動(dòng)的步數(shù)不一樣呢？

生：因?yàn)樗麄兊谝画h(huán)移的位置不一樣，所以總步數(shù)就不一樣。

師：你觀察得真仔細(xì)！移動(dòng)兩個(gè)圓環(huán)，有兩種移法：把第一環(huán)移到過渡柱，共需3步；把第一環(huán)移到目標(biāo)柱，可能需要6步。3步與6步相比，顯然3步移法是最佳方案?？磥?，第一環(huán)的位置很重要啊，它能使我們的移動(dòng)過程少走彎路。

教師組織學(xué)生填寫漢諾塔移動(dòng)情況記錄單。

師：剛才我們經(jīng)過嘗試、調(diào)整、優(yōu)化，知道了移動(dòng)兩個(gè)圓環(huán)最少需要3步。若不操作，你能推理說出用這3步的理由嗎？

生：下面的大圓環(huán)應(yīng)該先到達(dá)目標(biāo)柱，再把小圓環(huán)移到目標(biāo)柱，這樣就不會(huì)出現(xiàn)大的壓在小的身上的情況。大圓環(huán)要先去目標(biāo)柱，上面的小圓環(huán)就不能移到目標(biāo)柱，所以第一環(huán)只能放在過渡柱上，等大圓環(huán)順利到達(dá)目標(biāo)柱，再請(qǐng)小圓環(huán)回到大圓環(huán)上面，所以需要3步。

師：掌聲送給他，說得真好！這個(gè)同學(xué)先考慮底下的大圓環(huán)，再推想上面的圓環(huán)該去哪里合適，這種思考過程，在數(shù)學(xué)上稱為“倒推”。（板書：倒推）

2.移動(dòng)3個(gè)圓環(huán)

師：你能用這種“倒推”的想法，推想出3個(gè)圓環(huán)該怎么移動(dòng)嗎？

說明要求：漢諾塔的起始柱放3個(gè)圓環(huán)，同桌先互相說說你是怎么推想的，再操作驗(yàn)證，然后完成3個(gè)圓環(huán)操作記錄表。

指名學(xué)生貼教具演示移動(dòng)三個(gè)圓環(huán)的過程，引導(dǎo)學(xué)生觀察交流。

師：觀察以上操作過程，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：第一環(huán)放在目標(biāo)柱上，步數(shù)最少，只需要7步。第一環(huán)放在過渡柱，步數(shù)更多，可能需要11步、14步。

生2：我發(fā)現(xiàn)，上面小圓盤和中圓盤從起始柱移到過渡柱上，至少要移3次，與剛才移動(dòng)兩個(gè)圓環(huán)需要的步數(shù)是同樣的，要把它們從過渡柱移到目標(biāo)柱的大圓環(huán)上面，也要3次，只是換柱子了。

生3：我發(fā)現(xiàn)移動(dòng)3個(gè)圓環(huán)需要7步是這樣得來的：上面兩個(gè)圓環(huán)移到過渡柱，需要3步，再將一個(gè)圓環(huán)移到目標(biāo)柱，需要1步，最后用同樣多的步數(shù)將兩個(gè)圓環(huán)移到目標(biāo)柱，3+1+3=7步。

……

師：你們的思路如此清晰，老師真為你們感到驕傲！電腦博士也抑制不住激動(dòng)的心情，用這三段動(dòng)畫展示這三部分過程。

師：經(jīng)過操作，同學(xué)們已經(jīng)知道怎么移動(dòng)3個(gè)圓環(huán)了，如果不操作，你能倒推說出這樣移動(dòng)的理由嗎？

生：首先，要將最大環(huán)解放出來，移到目標(biāo)柱，那么上面的兩個(gè)圓環(huán)就要移到過渡柱，上面兩個(gè)圓環(huán)要到過渡柱，那么第一個(gè)圓環(huán)就不能去過渡柱，所以第一個(gè)圓環(huán)應(yīng)移到目標(biāo)柱。

教師組織學(xué)生繼續(xù)填寫漢諾塔移動(dòng)情況記錄單，并適時(shí)板書：最大目標(biāo)柱。

師：剛才同學(xué)們通過探究、交流，發(fā)現(xiàn)了3個(gè)圓環(huán)的最佳移動(dòng)策略，還知道這么移的理由，真了不起！接下來是移3個(gè)圓環(huán)的練習(xí)時(shí)間，兩分鐘后，我們進(jìn)行一次小競賽，速度快的同學(xué)可以獲得獎(jiǎng)品。

3.移動(dòng)4個(gè)圓環(huán)

師：現(xiàn)在我們一起回顧一下記錄單，共1個(gè)圓環(huán)，第一環(huán)放目標(biāo)柱，共2個(gè)圓環(huán)，第一環(huán)放過渡柱，共3個(gè)圓環(huán)，第一環(huán)放目標(biāo)柱，共4個(gè)圓環(huán)，第一環(huán)放哪里，步數(shù)才會(huì)最少呢？請(qǐng)你猜猜，再動(dòng)手試試。

學(xué)生根據(jù)記錄單尋找移動(dòng)規(guī)律，嘗試操作，匯報(bào)步數(shù)。

師：移動(dòng)4個(gè)圓環(huán)最少需要多少步？誰能到黑板上用教具分幾段落講解？

生：移4個(gè)圓環(huán)最少用15步，整個(gè)移動(dòng)過程可分三部分：將上面的三個(gè)圓環(huán)移到過渡柱用7步，再把最大的圓環(huán)移出來，移到目標(biāo)柱用1步，最后又將3個(gè)圓環(huán)移到目標(biāo)柱用7步。

師：分析得太到位了！前面探究獲得的結(jié)果以及研究方法可以幫助我們解決后面的問題，大家能舉一反三，觸類旁通，類推能力真強(qiáng)?。?/p>

三、交流反饋，歸納規(guī)律

1.交流反饋，探究規(guī)律

師：剛才我們分別研究了1～4個(gè)圓環(huán)的移動(dòng)方法和最少步數(shù)。你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：……

師：移動(dòng)圓環(huán)最少步數(shù)之間有沒有什么規(guī)律呢？

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察由移動(dòng)步數(shù)組成的數(shù)列：1，3，7，15……猜想和探究其中隱藏的規(guī)律。同桌討論交流，指名匯報(bào)。

師：根據(jù)你們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，請(qǐng)算一算，移5個(gè)圓環(huán)，最少需要多少步？

生……

師：5個(gè)圓環(huán)，最大環(huán)上面有幾個(gè)圓環(huán)？（4個(gè)）要想辦法將最大環(huán)之上的其他圓環(huán)移動(dòng)到過渡柱上，于是就要“看5想4，看4想3，看3想2”。

教師適時(shí)板書樹狀遞歸分析圖。

師：像這樣，將復(fù)雜的問題不斷轉(zhuǎn)化成與之相似的較小問題，這種思想，在數(shù)學(xué)上稱為遞歸思想。（板書：遞歸）

2.運(yùn)用思想，遷移延伸

師：請(qǐng)同學(xué)們應(yīng)用遞歸思想計(jì)算出移動(dòng)6個(gè)、7個(gè)、8個(gè)環(huán)最少需要的步數(shù)，并填寫完漢諾塔移動(dòng)情況記錄單（如下表）。

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四、評(píng)價(jià)激勵(lì)，升華提高

師：同學(xué)們，課后再去練習(xí)5層、6層、7層、8層環(huán)的移動(dòng)。今天這節(jié)課就要結(jié)束了，你有哪些收獲和感受？快來說說吧。

生1：這節(jié)課，我認(rèn)識(shí)了漢諾塔這款益智玩具，我會(huì)玩漢諾塔游戲了。

生2：我玩4層“漢諾塔”游戲遇到重重困難，終于挑戰(zhàn)成功，很開心。

生3：我知道動(dòng)手操作時(shí)，要善于觀察和思考，不能盲目操作。

生4：我知道漢諾塔層數(shù)是單數(shù)時(shí)，第一環(huán)要移到目標(biāo)柱，漢諾塔層數(shù)是雙數(shù)時(shí)，第一環(huán)要移到過渡柱上，這樣就不會(huì)走回頭路、走彎路，移動(dòng)的步數(shù)就會(huì)是最少的。

生5：我知道每增加一個(gè)圓環(huán)，最少步數(shù)是上一次的2倍還要多1。

生6：我知道漢諾塔游戲中要用到倒推、遞歸的思想方法。

師：同學(xué)們的收獲真不少啊！一個(gè)小小的益智玩具里竟然蘊(yùn)含著這么多的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想。看來，只要大家用數(shù)學(xué)的眼光觀察，用數(shù)學(xué)的思維思考，就能在周邊的事物中發(fā)現(xiàn)更多的數(shù)學(xué)奧秘。下課！?