證據推理，數學課堂教學的應然追求

江蘇海門市通源小學 曹曉丹

所謂“證據推理”，是指根據數學概念、法則、規律以及相關事實性知識，通過比較分析、抽象概括、歸納演繹等形成的一種推理。在小學數學教學中，學生的證據推理通常包括兩個方面，一方面是根據證據經過推理得出科學結論，這是一種直接推理。另一方面是運用證據證實或證偽推理。證據推理，對培養學生直覺思維力、邏輯思維力，培育學生科學嚴謹的精神都具有重要作用。證據推理，是小學數學課堂教學的應然追求。

一、知識“結構化”，延伸“證據推理”廣度

證據推理是一種“有根有據”的推理。當下，教師已開始重視學生合情推理能力的培養，但卻有忽視學生演繹推理的跡象。由于合情推理的不確定性，因而深受師生歡迎；演繹推理具有確定性特質，往往需嚴密論證，因此很多學生漠視演繹推理。誠然，合情推理在學生數學學習中具有重要作用，但任何好的東西一旦變成形式，就可能變成壞的。例如，學生可能無由頭猜想，甚至亂猜、瞎猜，由此造成學生數學學習隨意性的傾向，他們往往是跟著感覺走，從而虛化了數學思維的嚴謹性。真正有意義、有價值的數學猜想應當是學生邏輯思維的壓縮、簡化，是略去中間煩瑣的證明環節，是直觀的、跳躍性的。從這個意義上說，合情推理也應是一種證據推理。

為了拓寬學生推理的廣度，教師必須引導學生將數學知識結構化。結構化知識猶如一個“帶鉤的原子”，儲存在學生頭腦中，便于學生提取、調用、推理。很多學生，之所以不善于進行證據推理，就是因為知識在學生頭腦中沒有形成一種結構，知識由此失去應有的“活性”。知識結構化不僅表征了知識的本質，而且還表征了知識點之間的關聯。例如，在教學“圓柱的體積”時，學生在動手操作的實驗過程中，將圓柱體切拼成長方體，由于不同的擺放位置，而形成不同的底面和高。學生根據操作直觀認為圓柱的體積等于底面積乘以高，也等于側面積一半乘以半徑，還等于高與半徑的乘積再乘以圓柱底面周長的一半。這是一種合情推理，是學生建立于操作感知基礎上的合情推理。那么，如何運用已有數學知識進行證明呢？學生主動調用五年級的“圓的面積”知識以及六年級的“圓柱側面積”等相關知識演繹證明。最后，學生發現，盡管圓柱體積表征形式不同，但都可以轉化成半徑和高相乘的形式，即V=πr2h。在這個過程中，學生不僅通過操作直觀，而且借助已有知識，從數學學理上嚴密證明了圓柱體積公式內在的一致性。

證據推理能力是學生數學核心素養的重要組成部分，它既需教師潛移默化的引導、滲透，更需學生用孜孜以求的精神去領悟、踐行。教學中，教師要豐富學生數學知識，尤其是要讓學生掌握數學概念的內涵和外延，洞察數學知識本質，只有這樣，才能開掘、豐厚學生的數學推理能力，夯實學生數學推理根基。

二、學習“邏輯化”，強化“證據推理”角度

學生數學學習過程應當是一個邏輯化過程。所謂“邏輯化”，是指學生根據自己已有知識經驗，在條件和問題之間建立某種符合邏輯的連結，從而發現、認識數學未知知識的過程。作為教師，要站在學生立場，設計出符合學生思維品質、想象特質和認知規律的學習過程。每一個學生，由于其解決問題的思路不同，因而證據推理過程也可能不同，但不同的證據推理，其推理的邏輯性卻是一以貫之的，尊重學生推理產生的差異，就是要強化學生推理角度。

例如，在教學“多邊形內角和”時，筆者先放手讓學生探究，于是，絕大部分學生都按照探究三角形內角和的方法，用“量一量”“拼一拼”等方法對四邊形進行數學實驗。當學生操作探究到五邊形時發現，五邊形的所有內角拼成的不是周角，因而只能通過測量法進行測量。而測量法誤差較大，于是學生想到是否可以借助三角形內角和來探究。以小組為單位，學生對多邊形內角和進行探究。學生在小組匯報交流中，形成了兩種不同的推理模式。以六邊形為例，如圖1、圖2：

圖2

圖1的推理模式如下：因為六邊形可以分成四個三角形，又因為每一個三角形的內角和都是180°，所以六邊形的內角和就是180°×4。圖2的推理模式如下：因為六邊形可以分成六個三角形，又因為每個三角形的內角和都是180°，因此，六個三角形的內角和就是180°×6，同時因為六個三角形中間形成的周角不屬于六邊形原來的內角，因此要用6個180°減去2個180°，也就是4個180°。

在小組交流匯報的基礎上，筆者將多邊形內角和用表格整理出來，幫助學生發現“多邊形邊數與多邊形內角和之間的關系”。學生認為，n邊形內角和等于（n-2）個三角形的內角和。這是學生依據四邊形、五邊形、六邊形等多邊形作出的一種不完全歸納推理，這種推理的依據是基于學生對規律的認知。那么如何從學理上嚴格證明呢？學生展開深度思考。通過觀察多邊形的邊，有學生這樣推理：任何一個多邊形從一點出發都可與對邊構成三角形，與鄰邊不能構成三角形，所以n邊形的內角和等于（n-2）個三角形的內角和；還有學生這樣推理：任何一個多邊形都可以從中心點出發，將多邊形分成個數與邊數相等的三角形，又因為中心點處形成的周角不屬于原來多邊形內角，所以n邊形的內角和等于（n-2）個三角形內角和。

不同的學生，其思維有著不同的條理性。作為教師，要允許、鼓勵學生選用不同論證方式，從不同視角進行推理。通過展示學生有根據的邏輯推理，幫助學生突破學習難點。當學生經歷了證據推理全過程，其推理、思維和認知能力必將得到提升。

三、探究“層次化”，拓展“證據推理”深度

數學推理既要重視整體的宏觀求證，也要重視局部的微觀求證；既要引導學生進行直接推理，也要引導學生進行間接證明；既要引導學生“證實”，也要引導學生“證偽”。學生搜尋證據的種類以及證明方式的不同，反映學生運用證據推理的深度不同。數學推理，就其形態而言，是動態的，包含了數學知識生長的過程。在證據推理過程中，有許多微小細節，這些細節卻有著十分豐富的思想內涵，具有較大的思維價值。探究層次化，就是要拓展學生證據推理的深度。

例如，在教學“3的倍數的特征”時，筆者分層次教學，讓學生的證據推理逐步深入。一開始，學生根據“2的倍數的特征”“5的倍數的特征”類比推理出“3的倍數的特征”。當學生通過舉例驗證發現“個位上是3的倍數的數不一定是3的倍數”時，學生會經歷一個自我否定的過程，這是第一層次的類比推理教學。

在此基礎上，筆者給學生提供一張百數表，讓學生用探究2和5的倍數的特征的方法進行探究，回歸學生的經驗本源。當學生圈出3的倍數后，發現3的倍數不同于2和5的倍數，2和5的倍數都在同一列，3的倍數排成了“斜行”。并且發現，在同一斜行，3的倍數十位上依次加1，個位上依次減1。于是，筆者啟發學生：什么保持不變？有學生很快想到一個數中兩個數字的和保持不變。由此，學生形成合情推理：各個數位上數字的和是3的倍數，這個數就是3的倍數。學生通過舉例，不完全歸納出“3的倍數的特征”，這是第二層次的不完全歸納推理教學。

繼續深入，筆者引導學生從數的組成視角進行證據推理，以四位數為例，假設四位數是1000×a+100b+10c+d，1000×a+100b+10c+d=（999×a+99b+9c）+（a+b+c+d），因為“999×a+99b+9c”一定是3的倍數，所以只要“a+b+c+d”的和是3的倍數，這個數就是3的倍數。通過嚴謹的證據推理，學生不僅“知其然”，更“知其所以然”。

在上述教學中，第一層次類比推理，絕大部分學生都能想到，通過舉例驗證也能自然地自我否定；第二層次的不完全歸納，需要教師引導學生深入觀察，同時恰當追問，引發學生形成猜想，通過舉例進行不完全歸納；第三層次的證據推理，需要教師深入引導，促成學生深度理解、深刻感悟。

論證推理既需要學生建構結構化的數學概念，也需要教師鼓勵學生進行邏輯化、層次化的探究。數學概念解決的是“推理證據”的廣度問題，邏輯化學習過程體現的是“怎樣推理”的角度問題，而層次化探究體現的是“推理得怎樣”的深度問題。通過有廣度、有角度、有深度的證據推理，能有效發展學生的數學“核心素養”。?