飛秒激光直寫光量子邏輯門*

張茜 李萌 龔旗煌2) 李焱2)?

1)(北京大學物理學院,人工微結構和介觀物理國家重點實驗室,量子物質科學協同創新中心,北京 100871)

2)(山西大學,極端光學協同創新中心,太原 030006)

1 引 言

量子計算(quantum computation)是基于量子力學基本原理具有超強并行計算能力的全新計算方式[1-3].如果用二進制的“0”和“1”來表示信息,經典計算機中處理信息的經典比特(bit)在某個特定時刻只能處于“0”或者“1”,單次操作N個bit只能對2N個數中的1個數進行運算,而量子計算機中的量子比特(qubit)則可以處在|0 〉 和|1 〉 的任意疊加態(α|0 〉 +β|1 〉 )上,單次操作N個qubit能夠同時實現對2N個數的并行運算,這種疊加特性使得量子計算機在處理某些特定問題如密碼破譯[4]和數據搜索[5]時具有超越經典計算機的明顯優勢.與解決量子玻色采樣[6,7]和量子隨機行走[8]等專用問題的專用型量子計算機不同,通用型量子計算機的處理器由量子邏輯門(quantum logic gate)組成.量子邏輯門通過量子力學的幺正變換完成對量子比特的受控演化,是實現量子計算的基礎.Lloyd[9]在1995年證明了幾乎所有的兩量子比特門再加上一些單量子比特門都可以進行普適的量子計算.

怎樣設計一個物理系統并控制它來實現量子邏輯門,一直是人們關注的問題.1995年,Monroe等[10]首次利用離子阱裝置實現了兩量子比特受控非門(controlled-NOT,CNOT)的演示實驗,證實了量子計算的可行性.常見的實驗系統還有超導回路[11]、核磁共振[12,13]、量子點[14]、冷原子[15]以及線性光學系統[16]等.其中,線性光學系統具有一些獨特的優點：光子傳播速度非?？?適于作為傳輸量子信息的載體；利用線性光學元件很容易實現光子量子比特的高精度制備和操縱；最重要的是,光子量子比特相干時間很長[17],它很難和其他光子發生相互作用,但這也導致了光量子比特之間的控制門操作極難,進而實現光量子計算似乎是不可能的.2000年,Knill,Laflamme和Milburn 證明了僅使用線性光學元件、單光子源和單光子探測器就可以構建通用型量子計算機——這就是著名的KLM方案[18],于是線性光學系統成為備受青睞的量子信息實驗平臺[19,20].目前的主要研究方向有兩類：一是在自由空間中操縱光子的線性光學量子計算,它操作簡單,技術成熟,目前絕大多數量子計算方案都是在自由空間光學系統中首先被驗證的,但其可擴展性差、穩定性差,非常容易受到環境因素擾動；二是基于集成芯片的光量子計算,芯片中通常使用光波導來構建復雜的光子回路.盡管波導芯片系統目前還是處于起步階段,但是具有良好的可擴展性、穩定性和高集成度,因此前景廣闊.

編碼光子量子比特qubit的方式靈活而多樣[21,22],比如路徑編碼(path-encoding),即光子傳播時可能通過的兩條路徑分別代表|0 〉 態和|1 〉 態,某一時刻光子概率性地選擇路徑的狀態構成疊加態α|0 〉 +β|1〉——qubit,此外,|0 〉 態和|1 〉 態還可以分別用光子的兩種正交偏振態編碼——偏振編碼(polarization-encoding)、光子所處的基模和一階模式——模式編碼(spatial mode-encoding)和光子所在的不同時間組——時間編碼(time binencoding)等來表示.光子豐富的可編碼自由度非常有利于發展高維光子量子比特,即用同一個光子的不同自由度編碼表示多個量子比特,對節省量子光源資源具有重要意義.

2008年,Politi等[23]利用光刻方法在硅片上制備了二氧化硅波導量子回路,成功實現了穩定的量子干涉,首次演示了集成的線性光學CNOT門的功能,該實驗中的量子比特采用路徑編碼.2009年,英國布里斯托爾大學的O’Brien研究組和澳大利亞麥考瑞大學的Withford研究組聯合首次采用飛秒激光直寫技術制備出了二維波導光量子回路,展示了基于集成光學器件實現的多光子量子干涉[24].飛秒激光直寫波導的原理是Davis等[25]提出的,通過高階非線性吸收,飛秒脈沖激光可以準確地將能量沉積在透明介質內部,引起介質折射率的永久性改變,這種無需掩模版的單步驟加工方式能夠以極低的成本在介質體內部直接加工出完整的器件.尤為重要的是,飛秒激光直寫技術可以突破光學微加工方法中由于衍射極限給加工精度帶來的限制,并能直接在透明材料內部加工出真正的三維微結構,這是傳統光刻技術所無法企及的.此外,它可以提供近圓形的波導截面形貌,波導雙折射低,非常適于操控偏振編碼的量子比特[26-29].許多飛秒激光加工的經典器件,從簡單的Y型分束器[30]到更復雜的多波導集成器件[31-33],已經被廣泛應用于通訊、集成生物傳感等諸多領域[34-37].量子邏輯門[24]、量子隨機行走[38-40]、量子玻色采樣[6,7,41,42]和量子模擬[43,44]等大量重要的光量子信息操作器件也都是利用飛秒激光直寫技術制備的.

本文介紹飛秒激光直寫技術在加工光量子邏輯門方面的進展.結構安排如下：第2節綜述飛秒激光直寫波導定向耦合器方面的進展,包括定向耦合器的功能、構成和性能表征,并以我們加工的定向耦合器為例進行說明；第3節綜述飛秒激光直寫單量子比特邏輯門的進展,主要包括哈達瑪(Hadamard,H)門、泡利交換(Pauli-X)門以及集成波片的加工；第4節綜述飛秒激光直寫兩量子比特邏輯門的進展,主要包括受控相位(controlled-Z,CZ或controlled-PHASE)門和CNOT門以及我們加工的CNOT門的量子性能；第5節是飛秒激光加工三量子比特邏輯門的展望；第6節是本文的總結與展望.

2 飛秒激光直寫定向耦合器

線性光學量子計算利用了光子相互影響的唯一途徑即玻色對易關系,Hong-Ou-Mandel(HOM)量子干涉效應就是例證[45,46],它是由光子間的不可區分性引起的最基本的光學效應,在線性光學量子計算中具有極其重要的地位.雙光子HOM干涉示意圖見圖1.

對于一個50 ：50的分束器,當兩個不可分辨的全同光子(頻率、偏振、空間模式等都相同)同時從兩個輸入端口入射,假定輸入光子的模式是a和b,輸出光子的模式是c和d,光子在分束器上發生反射后獲得 π/2 相移,則初態被轉換為：

其中有兩項相消,最終得到(1)式的結果.這說明不會出現兩個光子分別從不同的端口輸出的情況,即不會發生光子都透射和都反射通過分束器的情況,而是成對的從分束器的任意一個輸出端口離開,這是由光子的玻色子特性引起的聚束效應,如圖1(a)所示.實驗中,兩個光子的不可分辨性由兩條輸入路徑之間的延遲差給出,符合計數作為光子的兩條路徑之間延遲差的函數,在延遲為0的地方會出現一個HOM谷(HOM Dip),如圖1(b)所示[45].HOM干涉的質量由干涉可見度V來衡量：

圖1 雙光子HOM量子干涉示意圖 (a)兩個光子通過分束器后都透射和都反射的情況相干相消,僅會出現一個光子透射而另一個光子反射的情況,即光子成對的從分束器的任意一個輸出端口離開；(b)在分束器兩個輸出端口對兩個輸出光子的符合計數值隨兩個光子進入分束器時的相對延時的變化曲線Fig.1.Two-photon HOM quantum interference in a balanced beam splitter.(a)Destructive interference of two situations：both photons are transmitted and reflected.Only one photon is transmitted and the other photon is reflected.Photons leave in pairs from any of the beam splitter's output ports.(b)The coincidence counts of detecting a photon at each output of the splitter as a function of the relative delay of the photons.

式中Cmax和Cmin分別表示符合計數的最大值和最小值.HOM谷越深,干涉可見度越高,理想情況下V= 1.

那么,如何用集成波導實現類似于分束器的功能呢？O’Brien研究組的實驗采用的是定向耦合器(directional coupler,DC)[24],當兩個波導的空間間隔足夠近時兩個波導的倏逝場重疊就可以實現干涉,如圖2所示.通過精確調節定向耦合器耦合區兩個波導之間的間距d和相互作用長度L,可以對耦合效率1—R(R相當于分束器的反射率)也即對分束比進行調節.

2009年,高干涉可見度的單光子、雙光子及多光子量子干涉現象首次在激光直寫的集成光波導芯片中得到展示[24],如圖3所示.采用飛秒激光直接在熔融石英玻璃中寫入的定向耦合器(R=0.5128 ± 0.0007)的HOM干涉可見度為0.958 ±0.005.

圖2 基于波導的2×2集成定向耦合器示意圖,其中,d和L分別表示耦合區兩個波導之間的間距和相互作用長度Fig.2.Schematic of anintegrated DC consisting of two waveguides.Interaction distance and length in the coupling region are denoted by d and L,respectively.

2015年,Chaboyer等[47]利用飛秒激光獨特的三維加工優勢在玻璃內部制備了由兩個可調諧三端口分束器串聯組成的多路徑類馬赫-曾德爾干涉儀(Mach-Zehnder interferometer,MZI)芯片,如圖4(a)所示,分束器的中間一臂相較其他兩臂特地抬升了127 μm以接近芯片表面的熱光相移器.通過改變加載在相移器上的電壓來調節該臂上產生的相移量θ,從而調諧雙光子干涉的可見度,如圖4(b)所示.三維加工時較大的深度變化可能會對波導形貌和折射率分布產生一定影響,可以通過在空間光調制器上加載針對球差等對深度變化敏感的像差的矯正相位板來進行實時的矯正調節.

圖3 飛秒激光直寫定向耦合器示意圖和測得的HOM干涉曲線[24] (a)飛秒激光橫向直寫波導示意圖；(b)飛秒激光在波導截面引起的折射率變化；(c)飛秒激光直寫的定向耦合器陣列；(d)量子光源表征定向耦合器的實驗裝置；(e)雙光子符合計數隨光子間相對延遲差的變化曲線Fig.3.Schematic of femtosecond laser direct writing of DCs based on waveguides and the coincident counts of detecting a photon at each output of the coupler as a function of the relative delay in arrival time of the photons[24]；(a)Femtosecond laser transverse writing of waveguides；(b)femtosecond laser induced refractive index change at the cross section of the waveguide；(c)femtosecond laser written DC array；(d)experimental setup for quantum characterization of DCs；(e)the coincident counts of detecting a photon at each output of the coupler as a function of the relative delay in arrival time of the photons.

圖4 可調諧三端口干涉儀(a)和不同相移量θ值下,干涉儀輸出端口兩光子符合計數值隨兩光子進入干涉儀時的相對延遲差的變化曲線(b)[47]Fig.4.Schematic ofa tunable 3D multi-path interferometer (a)and the coincident counts of detecting photons at outputs of the interferometer under different phase shift θ as a function of the relative delay in arrival time of the photons (b)[47].Copyright：http：//creativecommons.org/licenses/by/4.0/ for CC BY.

波導雙折射的大小會直接影響定向耦合器的偏振特性,比如光子經過不同的輸入-輸出路徑時將會獲得不同的偏振變換,而且輸入偏振態不同也會導致不同的分束比.那么,如何制備出偏振不敏感的定向耦合器(polarization insensitive coupler,PIC)呢? 主要有兩種方法[48]：一是雙折射補償法,如圖5所示,第二根波導的寫入會影響第一根波導的雙折射以及兩種偏振的耦合系數kH和kV[49,50],而兩根波導的雙折射不相同就會導致前述的路徑依賴的偏振變換,解決方法是在耦合區域內第二根波導旁邊加寫一根額外的損傷軌跡,使其對第二根波導雙折射的影響等同于第二根波導對第一根的影響；二是退火法,Arriola等[51]證明了對硼硅玻璃中寫入的多模波導進行退火處理可以減小導光區域、增強芯和包層的折射率對比,從而得到低損耗的單模波導,此外,這種方法還可以有效降低雙折射,減小分束比的偏振依賴程度,有利于制備偏振無關的光量子集成回路.

我們課題組利用飛秒激光加工的基于波導的50 ：50分束的2×2定向耦合器的HOM干涉可見度達到約0.98.實驗裝置如圖6所示,激光器(PHAROS,Light Conversation)的中心波長約1030 nm,重復頻率約1 MHz,脈寬約為240 fs.光束經過凹透鏡L1(焦距f1= -50 mm)和凸透鏡L2(焦距f2= 75 mm)擴束后進入物鏡(20×NA0.5,Olympus)聚焦于一塊20 mm×25 mm×1 mm的EAGLE2000玻璃(Corning)內部,聚焦深度約為170 μm.樣品固定在三維氣浮移動臺上(ABL1000,Aerotech).

我們首先優化單脈沖能量、掃描速度等參數以加工出在約808 nm波長處導模為單模且損耗最低的直波導.測試波導性能時,我們通過單模光纖將波長808 nm的連續激光導入長度約為2.5 cm的直波導中,用物鏡收集波導輸出的光場,而后用電荷耦合器(charge coupled device,CCD)拍攝導光模式.波導的總插入損耗主要包括傳播損耗、耦合損耗和菲涅爾損耗[52].測量波導輸入和輸出的功率P1和P2,根據—10log10(P2/P1)計算插入損耗,利用模式重疊積分法[53]可以得到激光由光纖進入波導時的耦合損耗,傳播損耗通過截斷法[54]得到.通過比較導光模式和損耗,確定的最佳加工參數為：單脈沖能量296 nJ,掃描速度40 mm/s,在該參數下加工出的的波導截面形貌如圖7(a)所示,最中心較亮的導光區域形狀較圓,但是周圍還分布著其他不導光區域,這些可以通過狹縫法[55]或退火法[56]來改善.如圖7(b)所示,導模是單模,1/e2強度處模場大小為14.0 μm×16.4 μm,數值與808 nm單模光纖的模場直徑(～5.5 μm)相差較大,導致了較大的耦合損耗,約為 1.9 dB/facet,測得的插入損耗和傳播損耗分別約為4 dB和0.7 dB/cm,菲涅耳損耗約為0.2 dB/facet.以后可以通過激光焦場整形和加入損傷線等方法[57]壓縮導光模式使其與單模光纖模式尺寸匹配,以減小耦合損耗從而減小插入損耗.

圖5 雙折射補償法制備偏振不敏感的定向耦合器[48] (a)飛秒激光直寫定向耦合器示意圖,第二根寫入的波導的雙折射會受到第一根寫入的波導的影響；(b)利用不同的加工參數在第二根波導旁邊寫入一根損傷線,可以平衡兩根波導的雙折射；(c),(d)定向耦合器耦合區域分別在加寫損傷線之前和之后的顯微鏡圖,損傷線距離第二根波導32 μm,圖中標尺為20 μm；(e),(f)對角線偏振光入射時,定向耦合器輸出態分別在加寫損傷線之前和之后的斯托克斯分量；(g)光從m波導入射,從n波導出射時,在水平偏振和垂直偏振分量之間獲得了相移φm→n；(h)相移φm→n隨損傷線距離的變化曲線,當距離為32 μm時,四種情況下的φm→n一致Fig.5.Polarization-independent DC based on local birefringence engineering[48]：(a)Schematic of a femtosecond written DC,the birefringence of the second waveguide is modified by the previously inscribed first one；(b)an additional damage track,with tuned irradiation parameters,is inscribed next to the second waveguide,leading to birefringence equalization；(c),(d)microscope images of the interaction region of the DCs without and with the inscription of the additional track at a distance of 32 μm,scale bar is 20 μm；(e),(f)Stokes parameters of the output states for couplers without and with the additional track,for diagonally polarized input light and various input-output combinations.A planar projection of the Poincaré sphere is represented；(g)light that enters in waveguide m and exits from waveguide n acquires a phase shift φm→nbetween the horizontally and the vertically polarized components；(h)the different values of φm→nare plotted as a function of distance of the track from the second waveguide.For a distance of 32 μm,the four possible φm→ncoincide.

圖6 飛秒激光加工光量子邏輯門實驗裝置圖Fig.6.Experimental setup for femtosecond laser fabrication of photonic quantum logic gates.

圖7 波導截面形貌顯微圖(a)和在808 nm波長處的導光模式(b)Fig.7.Microscope image of the cross section of the waveguide (a)and the near field image of the waveguide guided mode at 808 nm (b).

我們在此基礎上加工了2×2定向耦合器.對于定向耦合器中的彎曲部分,我們發現當轉彎半徑＞ 30 mm時,彎曲波導額外引入的彎曲損耗基本可以忽略[29],最終我們將轉彎半徑設置為60 mm.通過調控耦合區雙波導的間距d和相互作用長度L,可以得到不同的分束比.實驗中采用參數L=130 μm,d= 8 μm加工出了R= 0.4930 ± 0.0007的耦合器,當光從另一臂端口入射時R= 0.5010 ±0.0007,具有高度的對稱性,滿足HOM量子干涉實驗的測量要求.

定向耦合器在808 nm波長的導模如圖8(a)所示,兩個導模強度均勻、對稱.我們通過中心波長約為404 nm的連續激光器(ECL801,UniQuanta)泵浦兩塊光軸相互垂直粘合而成的I型相位匹配BBO晶體,自發參量下轉換(spontaneous parametric down conversion,SPDC)產生808 nm波段偏振糾纏的全同單光子對,它們的偏振要么都是垂直的,要么都是水平的,各有50%概率.用兩根長度一致的單模光纖分別收集兩路單光子,其中一路光纖上裝有由步進電機控制的延遲線,以便調節兩路光子到達樣品的相對時間,再把兩根光纖連接到一組間距為127 μm的單模光纖陣列上以將單光子輸入到芯片中,芯片輸出的單光子由光纖陣列收集后通過單光子探測器(Excelitas,SPCM-850-14-FC)探測，而后送入多通道時間數字轉換器(ID800,IDQ)進行符合計數測量,實驗裝置類似于圖3(d).實驗中通過半波片附加四分之一波片精細調控每路光子的偏振態以獲得較高的量子干涉可見度.由圖8(b)所示的兩路單光子符合計數隨著兩條路徑相對延遲差的變化曲線計算得到的干涉可見度達到約 0.98.

圖8 50 ：50分束比定向耦合器在808 nm波長處的導光模式(a)和測得的HOM干涉曲線(b),干涉可見度約為0.98Fig.8.The near field image of the DC guided mode at 808 nm (a)and the coincidence counts of detecting photons at outputs of the DC as a function of the relative delay the photons(b),the visibility is ～ 0.98.

3 飛秒激光直寫單量子比特邏輯門

H門是最常見的一種單量子比特邏輯門,它的變換矩陣UH以及對量子態的作用描述如(3a)和(3b)式所示：

UH|0〉相當于將|0〉順時鐘方向旋轉45°,UH|1〉相當于將 |1〉 逆時鐘方向旋轉135°.另外,泡利交換門也是常見的單量子比特邏輯門,作用效果是互換 |0〉 和 |1〉,它的變換矩陣如(4)式所示：

2014年,Heilmann等[58]通過精確調控飛秒激光直寫芯片上波導光軸的取向α來引入適當的雙折射,實現了任意的光子偏振變換,演示了偏振編碼量子比特的H門和泡利交換門.實驗中,在待調制光軸的波導旁邊用稍高于破壞閾值的能量寫入一根附加的缺陷波導,改變兩根波導之間的相對位置(距離r和角度θ)可以改變波導周圍的壓力場分布[59],進而改變相鄰波導雙折射的強弱,如圖9所示.當α= 22.5°和45°時,分別實現H門和泡利交換門功能,對應(3)式中的 |0〉 態和 |1〉 態分別由水平偏振態|H〉(Horizontal)和豎直偏振態|V〉(Vertical)來表示.

圖9 壓力場調控波導雙折射來獲得特定的波片操作[58](a)波導旁邊附加寫入的破壞線通過壓力場改變波導光軸的取向；(b)飛秒激光直寫三組不同相對位置破壞線示意圖；(c)為波導光軸取向角α隨破壞線相對位置取向角θ的變化曲線Fig.9.Settings of reorientation of the optical axis through stress fields and measured wave plate operations[58]：(a)Schematic of the cross section of the waveguide arrangement where additional stress fields induce a reorientation of the waveguide’s optical axis；(b)sketch of the writing setting,with which the quantum gates are fabricated (here for 3 different orientations of the defect relatively to the waveguide)；(c)experimental data and best fit model of the reorientation of the optical axis α as a function of the azimuthal position of the defect θ.Copyright：http：//creativecommons.org/licenses/by/4.0/ for CC BY.

另外一種任意調控波導光軸取向的巧妙方法是控制激光傳播方向,使其不再像絕大多數實驗中垂直于樣品表面,而是傾斜一個角度θ,波導光軸也相應旋轉了同樣的角度[60],如圖10所示.具體來說,采用高數值孔徑油浸物鏡(NA= 1.4),讓激光偏離物鏡中心入射,θ的大小就取決于偏離量,當θ= 22.5°時即實現偏振編碼量子比特的H門操作.

圖10 直寫光傾斜入射調控波導光軸方向示意圖[60] (a)直寫激光正入射充滿低數值孔徑物鏡,產生的雙折射波導光軸OA沿激光傳播方向分布；(b)直寫激光正入射未充滿高數值孔徑物鏡可以帶來和圖(a)相同的效果；(c)直寫激光偏移距離d后入射高數值孔徑物鏡使得激光在樣品體內旋轉θ角度,波導光軸也隨之旋轉相同角度,θ取決于d；(d)通過在物鏡前L距離處放置長焦透鏡可實現直寫激光的偏移和縮束Fig.10.Conceptual scheme of the method enabling the direct writing of optical waveguides acting as integrated wave plates with tilted axis[60]：(a)Traditional writing scheme adopting a focusing objective with moderate NA；the symmetry of the writing layout creates birefringent waveguides with the optical axis (OA)aligned as the writing beam direction；actual waveguide writing is performed by a transverse translation of the glass sample (indicated by the purple arrow)；(b)equivalent waveguides can be created by underfilling a high-NA oil-immersion objective；(c)offsetting the writing beam before the objective results in waveguide writing with an inclined laser beam；the resulting waveguide has an optical axis tilted by an angle θ that depends on the amount of offset d of the writing beam with respect to the objective axis；(d)reduced beam size and offset at the objective aperture is achieved by a small transverse shift of a long focal lens placed at a distance L from the focusing objective.

可以看出,以上實現偏振編碼H門的關鍵是對雙折射光軸的靈活操作,而路徑編碼H門的實現則相對簡單.Politi等[61]在光子芯片上演示Shor算法時用到了路徑編碼的H門,它實際上就是一個50 ：50分束比的定向耦合器,如圖11所示,單量子態 |0〉 或 |1〉 通過它的作用后就按(3b)式處于 |0〉 和 |1〉 兩條路徑的疊加態上.

圖11 路徑編碼量子比特的H門Fig.11.Schematic of a path-encoded qubit H gate.

4 飛秒激光直寫兩量子比特邏輯門

線性光學的量子計算中,最常用到的兩比特量子邏輯門是CZ門和CNOT門,它們都包含一個控制量子比特和一個目標量子比特,其變換矩陣如(5)式所示.CZ門操作效果為：UCZ|11 〉 →-|11 〉,即當且僅當控制比特和目標比特都處于|1 〉 態時,輸出態附加相位 π .CNOT門操作效果為：UCNOT|10 〉 →|11 〉,UCNOT|11 〉 →|10 〉,即當且僅當控制比特處于|1〉態時,目標比特狀態翻轉.

二者之間互有聯系,一次CNOT門操作相當于一次CZ門操作前后各附加一次H門操作[61].

如何利用集成波導實現CNOT門呢？首先是路徑編碼的CNOT門,如圖12所示,控制比特C和目標比特T分別由兩條波導路徑來編碼,如果控制比特和目標比特的輸出端口同時探測到了信號(概率為1/9),則表示CNOT門操作成功.該波導是完全根據Ralph等[62]以及Hofmann 和Takeuchi[63]在2002年提出的線性光學CNOT門方案來進行設計的,整個波導芯片包含兩個反射率R= 1/2和三個反射率R= 1/3的定向耦合器.2003年,O’Brien等[64]首先利用體光學元件在自由空間中實現了這種路徑編碼的CNOT門,但其可擴展性和穩定性差,集成度低.2008年,他們在硅基二氧化硅片上利用傳統光刻法制備了由定向耦合器集成的CNOT門芯片[23].目前還沒有利用飛秒激光直寫路徑編碼量子比特CNOT門的報道.

圖12 路徑編碼量子比特的CNOT門結構圖[62] 虛線表示定向耦合器中附加相位 π 的反射面；路徑cH和cV代表控制比特,路徑tH和tV代表目標比特,路徑vc和vt代表不會被占據的輔助比特；圖中數字表示對應定向耦合器的反射率Fig.12.Schematic of a path-encoded qubit CNOT gate based on waveguides[62].Dashed line indicates the surface from which a sign change occurs upon reflection in a DC.The control modes are cHand cV.The target modes are tHand tV.The modes vcand vtare unoccupied ancillary modes.The numbers indicate the reflectivity of the corresponding directional coupler.

圖13 部分偏振定向耦合器中兩種偏振態的耦合區能量交換振蕩曲線(方塊代表H態,三角代表V態)(a)和偏振編碼量子比特的CNOT門波導結構圖(b)[29]Fig.13.H (squares)and V (triangles)polarization transmissions of DCs with different interaction lengths,based on slightly birefringent waveguides (a)and schematic of a polarization-encoded qubit CNOT gate based on PPDCs(b)[29].

2011年,Crespi等[29]首次利用飛秒激光加工出了偏振編碼的CNOT門,并進行了完整的量子表征.當光能量從一根波導傳播到另一根波導時,耦合器透射率隨相互作用長度的變化遵循正弦規律,振蕩周期取決于兩根波導中導模的耦合系數[65],如果波導有雙折射,則H偏振態和V偏振態的耦合系數不一樣,所以它們的振蕩周期也不同,如圖13(a)所示,這種對不同偏振光具有不同分束比的定向耦合器又叫做部分偏振定向耦合器(partially polarizing directional coupler,PPDC).整個CNOT門包含三個PPDC,如圖13(b)所示,最關鍵的作用是PPDC1上目標比特和控制比特的HOM干涉,它對于H偏振光和V偏振光的透射率分別是TH= 0,TV= 2/3,PPDC2和PPDC3起補償作用,它們的透射率相同,為TH= 1/3,TV= 1,CNOT門操作成功的概率是1/9.

前面所述的CNOT門都是直接測量輸出的控制比特和目標比特來檢驗門操作的成功與否,稱為非預報式CNOT門,被測量的量子比特態受到破壞,將不能繼續作為后續量子回路的輸入量子比特,不利于發展大規模集成量子計算網絡.為了解決這個問題,可預報式CNOT門應運而生,即通過引入兩個輔助光子來間接測量表征CNOT門操作,當同時探測到兩個輸出的輔助光子時表明門操作成功,避免了直接測量控制比特和目標比特,使得它們可以接著被應用于后續的量子網絡中,有利于實現復雜量子計算的模塊化.2001年,Pittman等[66]提出了一種由兩個偏振分束器(polarization beam splitter,PBS)構成的偏振編碼可預報式CNOT門簡化方案,最大的亮點是入射的兩個輔助光子不再是獨立的,而是被制備在最大貝爾偏振糾纏態上,如圖14(a)所示,這樣能夠將門操作的成功概率從傳統的1/9提高到1/4.2018年,Zeuner等[67]根據該方案利用飛秒激光加工出了這樣的可預報式CNOT門,量子性能表征實驗裝置如圖14(b)所示,通過兩套量子光源產生兩對處于最大偏振糾纏態的光子：一對作為輔助光子,另一對作為目標和控制光子,這樣方便制備出任意的目標和控制光子輸入態.該CNOT門不僅能夠對處于經典計算基的入射光子對進行CNOT門操作,還能夠對處于經典計算基的量子疊加態的入射光子對進行CNOT門操作,并且始終保持輸入光子對的量子相干性,可以制備處于最大偏振糾纏態的雙光子源,也可以明確地區分出所輸入的是四種貝爾態中的哪一個態.

2002年,Knill[68]提出了一種最簡單的路徑編碼量子比特的可預報式CZ門(hCZ門),具有目前已知最高的成功概率,為2/27.如圖15(a)所示,這種hCZ門由四個定向耦合器組成,四個不可區分的光子在其上成對地發生量子干涉,并且第一對和第二對分束器之間有大小為 π 的相移,傳統光刻制備不出這樣的hCZ門,因為它需要相鄰波導的三維立體交叉以實現相鄰模式的物理交換,制備難度非常大,如圖15(b)所示.直到2016年,Meany等[69]才利用飛秒激光加工出了這樣的三維立體hCZ門結構.具體來說,路徑C和T代表控制比特和目標比特的|1 〉 態,A和B代表輔助光子態,C0和T0代表控制比特和目標比特的|0 〉 態,它們不與|1 〉 態和輔助光子態相互作用,加工時可省略.輸入兩量子比特態α00|00 〉 +α10|10 〉 +α01|01 〉 +α11|11 〉,當在兩個輔助光子態輸出端口各檢測到一個光子時,|11 〉 項反轉符號,即hCZ門操作成功.

圖14 糾纏態輔助光子的偏振編碼可預報式CNOT門結構圖(a)和量子性能表征實驗裝置示意圖(b)[67]Fig.14.(a)Scheme of a heralded photonic CNOT gate using a maximally entangled ancilla state with improved success probability 1/4.Detection of one photon in each of the modes and heralds successful gate operation.(b)Experimental setup for quantum characterization of the polarization-encoded qubit heralded CNOT gate[67].Copyright：http：//creativecommons.org/licenses/by/4.0/ for CC BY.

圖15 路徑編碼的hCZ門結構圖[69] (a)路徑C0(T0)代表|0〉態,不與其他態相互作用,C (T)代表|1〉態,A和B代表輔助光子態,它們通過四個定向耦合器相互作用,耦合器反射率R(θn)= cos2(θn),圖中淺色面代表附加相位的反射面；(b)由四條立體交叉波導路經構成的hCZ門結構Fig.15.Schematic of a path-encoded qubit hCZ gate[69].(a)The circuit for a hCZ gate showing paths for ancillary photons A and B as well as the computational qubits；the control (target)photon is encoded across spatial paths C0(T0)representing |0〉 and C (T)representing |1〉.The|0〉 modes do not interact in the gate；the four remaining modes undergo four DCs operations with reflectivities R(θn)= cos2(θn).The light-coloured side indicates the surface yielding a relative phase change upon reflection.(b)The four interacting circuit modes modelled as a waveguide array,showing the crossover and optimal reflectivities for the DCs implemented using evanescent coupling.Copyright：http：//creativecommons.org/licenses/by/4.0/ for CC BY.

圖16 根據實驗實測值構建的真值表柱狀圖,保真度約為0.98Fig.16.Experimentally constructed CNOT logical truth table.The labels on the Input and Output axes identify the state |C,T〉.Ideally,a flip of the logical state of the target qubit (T)occurs only when the control qubit (C)is in the logical |1〉 state.The fidelity of the gate is ～ 0.98.

我們課題組利用飛秒激光首次在EAGLE2000玻璃中加工出了路徑編碼量子比特的CNOT門[70],結構分布同圖12所示,不同之處在于光子無論經歷耦合器上表面反射還是下表面反射都會獲得一個 π/2 的相移.其中cH,cV兩條路徑分別代表控制比特的|1 〉 態和|0 〉 態；tH,tV分別代表目標比特的|1〉態和|0 〉 態.當且僅當控制比特處于|1 〉 態時,目標比特狀態發生|1 〉 和|0 〉 之間的態翻轉.vc,vt為輔助光子態,實驗中不做測量.圖16是根據實驗實測值構建的真值表柱狀圖,CNOT門保真度約為0.98.

5 飛秒激光直寫三量子比特邏輯門面臨的挑戰

受控受控非門(CCNOT門),也即Toffoli門,是非常重要的三量子比特邏輯門[71],在量子糾錯[72]和Shor算法[73]等諸多量子算法中占有重要地位.它包含兩個控制比特和一個目標比特,當且僅當兩個控制比特都處于 |1〉 態時,目標比特發生態翻轉或相位變換,目前已經在離子阱系統[74]和超導回路[75]中實現.如果每個量子比特都是兩種態的疊加態即qubit,那么對Toffoli門最簡單的分解是需要五個兩量子比特邏輯門[76,77],如果進一步限制這里的兩量子比特邏輯門為CNOT門或CZ門,則需要六個CNOT門附加多種單量子比特門[78].2007年,Ralph等[79]提出了一種簡化Toffoli門的理論方案,他們將目標比特從兩態qubit拓展為三態量子比特即qutrit,則僅需三個CNOT門即可構成Toffoli門.這種方案可以推廣到包含n個控制比特的Toffoli門,將目標比特變換為(n+1)維量子比特,則需要2n-1個兩量子比特邏輯門即可,節省了大量的量子光源資源.圖17展示了目標比特為高維三態qutrit的Toffoli門方案和基于波導路徑的線性光學實現方案.2009年,Lanyon等[80]利用體光學元件在自由空間中實現了這種理論方案,整個實驗系統如圖18所示,采用|H〉 偏振和|V〉 偏振編碼量子比特的|0 〉 態和|1 〉 態兩個狀態,通過偏振分束器PBS1擴展出一條額外的路徑b,從而將目標比特從兩態系統擴展到四態系統,即|H,t〉,|H,b〉,|V,t〉 和|V,b〉 四種狀態,這里只用到其中三種.下路徑b繞過了后面兩個兩比特邏輯門,當在探測器D1上探測到一個光子時,Toffoli門操作成功.

圖17 控制比特(a,b)為qubit、目標比特(c)為qutrit( |0〉,|1〉 和 |2〉 態)的Toffoli門方案(a)和基于波導路徑的線性光學實現方案(b)[79] (a)中,當目標比特處于第三態|2〉態時,前后兩個CNOT門中間的CZ門操作邏輯和正常兩態量子比特系統相同,XA單比特邏輯門的作用是實現|0〉和|2〉態之間的翻轉；(b)中,每個控制比特由兩條波導路徑表示,目標比特則由三條波導路徑表示,圖中標記為0的路徑代表第三態；當且僅當三個量子比特的上面那條路徑被占據時,輸出態發生相位翻轉,即使實現Toffoli相位門操作Fig.17.(a)Realization of aToffoli gate using two qubits (a and b)and a qutrit (c).CNOT gates (first andlast twoqubit gates)operate as normal on the qubit levels andimplement the identity if the target is in the qutrit level(|2〉).Similarly for the CZ gate (middle two-qubit gate).The XAgate flips thequtrit between the states |0〉 and|2〉.The sign change occurs on the|1,0,1〉 component.(b)A nondeterministic,post-selected,opticalrealization of a Toffoli gate[79].Each input qubit is represented bytwo modes (waveguide paths).An additional target mode is introduced in the central part of the diagram.DCs are represented as black lines with their reflectivity indicated to the right.A phase flip occurs by reflection off the surface indicated by a dotted line.If we take occupation of the top mode of each qubit to represent logical |0〉 and occupation of the bottom mode to represent logical |1〉,then the circuit implements a Toffoli gate in which a phase flip is only applied to the element |000〉.

另外一種通用的三量子比特邏輯門是Fredkin門,也即受控SWAP門,與Toffoli門明顯的不同之處在于它只包含一個控制比特,但有兩個目標比特,當且僅當控制比特處于|1〉態時,兩個目標比特相互交換所處的態[81-84],其門操作的本征態是糾纏的對稱或非對稱目標比特態,而Toffoli門操作的本征態是分立態,因此Fredkin門可直接應用于許多量子信息協議,比如糾錯[72]、指紋識別[85]、最優克隆[86]和受控糾纏篩選等.2008年,Fiurá?ek等在他們之前提出的偏振編碼的部分SWAP門[87,88]基礎上改進,利用兩個CNOT門構成的相位門替代經典的相移器,由控制比特態決定相位門的相位變化,實現了自由空間的Fredkin門,如圖19(a)所示,通過入射到兩個CNOT門的兩個光子態來編碼控制比特輸入態,使其從非糾纏的態以1/2的概率轉化為糾纏態[88].2017年,Ono等[89]進一步簡化了該實驗,將控制比特態直接制備于該糾纏態上,實驗裝置如圖19(b)所示,當在輸出端口(T1out,T2out,C1out,C2out)同時探測到光子時代表門操作成功,成功概率為1/162,是目前光量子Fredkin門方案中最高的.目前,尚未有利用飛秒激光直寫技術制備三量子比特邏輯門的報道.

圖18 利用體光學元件在自由空間中實現Toffoli門的實驗裝置[80] (a)邏輯線路圖,采用|H〉偏振和|V〉偏振編碼量子比特的|0〉態和|1〉態兩個狀態,通過偏振分束器PBS1擴展出一條額外的路徑b,從而將目標比特從兩態系統擴展到四態系統,即|H,t〉,|H,b〉,|V,t〉和|V,b〉四種狀態,下路徑b繞過了后面兩個兩比特邏輯門；當在探測器D1上探測到一個光子時,Toffoli門操作成功；(b),(c)實驗裝置；PPBS,部分偏振分束器；SPCM,單光子計數模塊；PDC,參量下轉換；SHG,二次諧波產生Fig.18.Toffoli and controlled-unitary experimental layout[80].(a)Conceptual logic circuit.A polarizing beam splitter temporarily expands the Hilbert space of the target information carrier,from a polarization-encoded photonic qubit to a multi-level system distributed across polarization and longitudinal spatial mode.Information in the bottom rail (b)bypasses the two-qubit gates.Detection of a photon at D1 heralds a successful implementation；(b),(c)Experimental circuit and optical source.An inherently stable polarization interferometer using two calcite beam displacers is used.PPBS,partially polarizing beam splitter；SPCM,single-photon counting module；PDC,parametric down conversion；SHG,second-harmonic generation.

如果僅用一種編碼方式(比如路徑編碼或偏振編碼)實現飛秒激光直寫Toffoli門,所需要的兩量子比特門和單量子比特門數量眾多,涉及到大量不同分束比的定向耦合器和不同相位關系的MZ干涉儀,同時精確控制各分束比和波導相位異常困難,且多光子輸入對損耗要求非常高,需要將現有波導損耗降低至少一個數量級.如果利用多重自由度對光子進行高維編碼,那將會涉及到立體交叉的真三維波導構架,同時調控路徑、偏振、模式等也對加工工藝提出了前所未有的挑戰.我們正在嘗試利用飛秒激光直寫技術制備三比特量子邏輯門.

6 總結與展望

通用型光量子計算機都是由大量的單量子比特門和兩量子比特門構成的,而光量子邏輯門可以完成對量子比特的受控演化,是實現通用型量子計算的基礎.構建量子邏輯門最為核心的基本單元是定向耦合器,在其上發生的HOM量子干涉效應決定了量子門操作邏輯的正確性,干涉可見度越高,量子門的保真度越高.飛秒激光直寫技術以低成本、單步驟、真三維等特點成為制備集成光量子計算器件的重要利器.本文綜述了飛秒激光直寫定向耦合器、單量子比特邏輯門和兩量子比特邏輯門的典型研究進展,對激光直寫三量子比特邏輯門作了展望.我們加工的定向耦合器HOM量子干涉可見度達到～0.98,CNOT門保真度達到～0.98.飛秒激光直寫技術將對未來光量子集成芯片在量子通訊、量子計算、量子模擬和量子成像等領域的發展發揮越來越重要的作用.

感謝意大利米蘭理工大學R.Osellame教授及其組內F.Pellegatta等研究生對我們飛秒激光直寫CNOT門實驗的指導與幫助,感謝中國科學技術大學任希鋒副教授及其組內陳陽等研究生對我們量子光源的搭建及量子測試實驗的指導與幫助.