基于光場一階關聯的時域成像*

張瑞雪 李洪國 李宗國

(天津理工大學理學院,天津 300384)

1 引 言

鬼成像,又稱關聯成像,是一種基于光的漲落關聯獲得物體圖像的新型成像技術.具有漲落關聯性質的光源發出的光被分束器分成兩路,在一條光路(物光路)中,透過物體的光被一個不具有空間分辨的桶探測器接收,在另一條光路(參考光路)中光經過一段自由傳播后直接被一個具有空間分辨的探測器接收,其中單個探測器都不能夠得到物體的像,但是對兩個探測器接收到的信號進行關聯測量卻可重建物體的圖像信息[1].國內外關于鬼成像的研究逐步走向應用,從最初的糾纏光源[2]到熱光源[3-12]、空間光調制器或投影儀調制光源[13],從雙臂鬼成像到單臂鬼成像、計算鬼成像[14,15],從室內近距離成像到室外遠距離遙感成像應用[16-18]、從光子鬼成像到電子鬼成像[19].另外在鬼成像的應用方面還有關于鬼成像質量影響因素的相關研究,如大氣湍流對成像的影響[20,21]、高階關聯鬼成像的可見度及信噪比[22,23]、多波長光源對信噪比的影響[24]、基于光學參量放大的鬼成像[25]、壓縮感知鬼成像[26,27]、計算鬼成像質量的優化[28]等.最近,Cao等[29]研究了基于熱光源的分數階鬼成像,Yang等[30]首次從概率密度角度理論解釋了熱光的鬼成像,并進行了實驗驗證.利用空域中光的近軸衍射和時域中脈沖信號在色散介質中色散之間的空間-時間二象性,很多空域系統的時域對應因此得到了快速發展,比如超快光信號處理[31]、超快示波器[32,33]、時域隱身[34]等.

最近,Ryczkowski等[35]實現了基于二階關聯的時域鬼成像[36-38],為利用關聯方法進行時域信號的探測開辟了新方向.此前Gao等[39]基于物理上描述鬼成像的強度關聯(二階場關聯)函數可以分解為一階場關聯,提出并實現了基于熱光場一階關聯的空域關聯成像.而目前關于一階關聯的時域成像還沒有相關研究,本文基于空間-時間二象性,設計并研究基于熱光場一階關聯的時域成像,促進利用光場關聯實現時域信號探測的應用.這種成像模式采用 Mach-Zehnder干涉儀通過物光場和參考光場的關聯獲得物體的圖像信息,裝置類似于基于一階場關聯的全息成像[39],但區別在于一階關聯全息成像中是記錄物體的干涉條紋,然后通過再現獲得物體的圖像.另外這種成像模式與基于一階場關聯的光學相干層析(OCT)成像的相同點是都利用了低相干光源的時間相干性,但區別在于OCT成像裝置是基于邁克耳孫干涉儀[40].本文第2部分給出實現一階關聯時域成像的裝置圖并進行理論分析研究,第3部分給出基于一階關聯實現時域物體成像的結果,并分析光源的脈沖寬度和相干時間對成像可見度和分辨率的影響,最后進行總結.

2 理論分析

2.1 時域脈沖響應函數

為了便于后面得到描述一階時域成像的關聯函數,首先分析給出時域脈沖響應函數.在空域中,描述近軸光場衍射的波方程為

該波方程的通解形式上可寫為

其中E(x0,y0,0)和E(x,y,z)分別表示位置(x,y,z)和初始位置 (x0,y0,0)處的光場,h(x,y;x0,y0)是描述光學系統的脈沖響應函數,其表達式為

上面的解也可以通過菲涅耳衍射理論得到.這表明近軸波方程與菲涅耳衍射理論存在內在聯系.相應地,在一階色散近似條件下[41],描述窄帶光脈沖在色散介質中色散的微分方程為

其中E表示與在色散介質中傳播的時間τ和距離l有關的光場分布,β是光在色散介質中的群速度色散系數.根據以上方程,描述脈沖色散的微分方程與描述近軸光波空間衍射的波方程形式相同.因此時域脈沖在色散介質中的色散可看作空域中光波近軸衍射的時間對應,即空間-時間二象性.(4)式的解與近軸衍射波方程解的數學形式相似,可寫為

其中脈沖響應函數h(τ,τ0)表征在色散介質中系統在τ時刻對初始時刻τ0輸入脈沖的響應,其形式為[41]

其中Φ=βl表示長度為l的色散介質的群延遲色散參量.基于上述二像性,也可寫出其他光學系統的脈沖響應函數.因此類比空域物體的脈沖響應函數,時域物體的脈沖響應函數為

其中P(τ)是描述物體時序結構的函數,可以通過電光調制器調制產生.同理,時域透鏡的脈沖響應函數可寫為

其中Φf表征時域透鏡的“焦時間”,類似于空間透鏡的焦距.時域透鏡用于對光脈沖施以二次相位調制,該調制也可通過電光調制器實現.

2.2 一階關聯時域成像理論分析

采用類似于空域中借助 Mach-Zehnder干涉儀實現一階關聯成像的思想,本文設計的一階關聯時域成像裝置示意圖如圖1所示.具有光場漲落關聯性質的時序光源 TS 發出的光在色散介質如光纖中傳播一段距離后被光纖分束器 FBS1分為強度相等的兩束光,一束光(物光束,Path1 )在色散介質中傳播,依次經過時域物體 TO 和時域透鏡 TL1后到達光纖分束器 FBS2；另一束光(參考光束,Path2 )在色散介質中經過時域透鏡 TL2后也到達光纖分束器 FBS2,兩束光在光纖分束器 FBS2中匯合后被探測器 Detector 接收,探測器采集得到的信號通過數據采集卡將信號數據存儲至計算機.

圖1 基于光場一階關聯的時域成像裝置示意圖Fig.1.Schematic illustration for first-order temporal imaging.

根據(6)式—(8)式,并考慮脈沖響應函數的級聯性質,可得物光路 Path1 和參考光路 Path2 系統的脈沖響應函數分別為：

其中Φ0表示光源與時域物體之間色散介質的群延遲色散參量,Φf1和Φf2分別表征時域透鏡 TL1和TL2的“焦時間”,時域透鏡 TL1與時域物體 TO,時域透鏡 TL1與光纖分束器 FBS2之間色散介質的群延遲色散參量也均等于Φf1,時域透鏡 TL2與光源 TS,時域透鏡 TL2與光纖分束器 FBS2之間色散介質的群延遲色散參量分別為Φ1和Φ2.為了便于討論,假設時序熱光源是時域非相干光的,其關聯性質滿足

其中E表示與在色散介質中傳播的時間τ和距離l有關的光場分布,β是光在色散介質中的群速度色散系數.根據以上方程,描述脈沖色散的微分方程與描述近軸光波空間衍射的波方程形式相同.因此時域脈沖在色散介質中的色散可看作空域中光波近軸衍射的時間對應,即空間-時間二象性.(4)式的解與近軸衍射波方程解的數學形式相似,可寫為

將(9)式—(11)式代入(12)式,探測面處的一階場關聯可進一步寫為

其中ΦR=Φ1+Φ2-Φ1Φ2/Φf2.當成像條件滿足時,上式化簡為

(14)式表明時域物體的像會受到二次相位因子的影響.分析可知,當各部分色散介質的群延遲色散參量之間關系滿足Φ1-Φ0=Φ2=Φf1=2Φf2時,二次相位因子項可以被消掉,這樣(14)式最后化簡為

由此可知,通過一階場關聯可再現時域物體信號的像,即可以實現時域成像,不需要額外的色散補償或消除.

3 成像質量分析

前面討論了利用時序非相干熱光源實現一階關聯時域成像,考慮到實際光源發出的脈沖寬度和相干時間是有限的,因此利用更為普遍的熱光源模型即高斯-謝爾模型,分析成像可見度和分辨率.高斯-謝爾型時序光源的一階場關聯滿足

其中T0和Tc分別表示光源發出脈沖的寬度和相干時間.探測面處的強度是物光路和參考光路的光場疊加的模方,即

將(5)式、(9)式、(10)式、(12)式和(16)式代入(17)式,假設時域物體距離光源很近,即Φ0=0,并考慮成像條件和消去二次相位因子條件可得探測面處一階關聯時域成像的強度表達式為

假設時域物體為具有一定間隔的兩個矩形波信號,矩形波間隔和寬度分別為20和8 ps,選取色散介質的群延遲色散參量為Φ0=0,Φ1=Φ2=Φf1=2Φf2=50ps2.首先分析保持光源脈沖相干時間不變,改變光源脈沖寬度的成像結果.根據(18)式,模擬得到了光源脈沖相干時間為Tc= 0.5 ps,脈沖寬度T0分別為5,10,50和100 ps條件下的成像結果,如圖2所示.根據時域物體成像質量的可見度,圖3給出了光源相干時間Tc= 0.5 ps 條件下,成像可見度隨光源脈沖寬度的變化曲線.由圖2可以看出,隨著脈沖寬度的增加,時域物體的圖像可見度逐漸降低但分辨率逐漸變好,即時域物體的矩形波逐漸顯現.由圖3可以看出,在保持光源脈沖相干時間不變時,隨光源脈沖寬度的增加,成像可見度逐漸減小,這與空間域二階鬼成像的結果類似[42].這是因為當光源脈沖寬度大于時域物體信號持續時間時,場關聯才能完整展現物體的信息.

此外,Qu等[43]的研究結果表明,在二階時域鬼成像中時域物體圖像的保真度(表示像與原物體信號的相似度)隨脈沖寬度的增加而增加.圖2和圖3表明隨著脈沖寬度的增加,一階時域成像也有類似的結果,即圖像與原物體信號的相似度逐漸增加.一階時域成像的優點在于成像質量除了與光源的脈沖寬度和相干時間兩個參量有關以外,還與物光和參考光的強度比有關,相同條件下成像可見度比二階時域鬼成像的高[39].但是一階時域成像對物光信號不執行桶探測,需要響應較快的探測器,而二階時域鬼成像在這方面具有優勢,因為二階時域鬼成像對物光執行桶探測只需慢響應探測器即可.

圖2 光源相干時間為0.5 ps,光源脈沖寬度寬度分別為5,10,50和100 ps條件下的關聯像Fig.2.The correlated images with different pulse widths of the source 5,10,50 and 100 ps,for the source’s coherence time 0.5 ps.

圖3 光源相干時間Tc為0.5 ps時,成像可見度隨光源脈沖寬度的變化曲線Fig.3.The imaging visibility as a function of the source’s pulse width for the source’s coherence time 0.5 ps.

最后分析當保持光源脈沖寬度不變,改變光源相干時間的成像結果.根據(18)式,模擬得到了光源脈沖寬度為T0= 100 ps,光源相干時間Tc分別為0.5,1.5,5和10 ps條件下的成像結果,如圖4所示.由圖4可以看出,隨著相干時間的增加,時域物體的像逐漸失真,即成像的分辨率(物體像的半高寬)逐漸變差.由圖5可以看出,隨著光源相干時間的增加,成像可見度逐漸增加最終基本保持不變.光源的相干時間類似于空域鬼成像中光源的橫向關聯長度(散斑尺寸),光源的相干時間越短,成像系統對于時域物體的時序結構細節分辨能力越好,但可見度越差.這就說明基于一階關聯的時域成像中,可見度和分辨率二者有相互矛盾的關系.因此需要適當選取光源的脈沖寬度和相干時間以獲得兼顧可見度和分辨率的理想成像結果.由以上分析可知,當光源的相干時間為0.5 ps、脈沖寬度為T0= 100 ps 時,間隔為20 ps、寬度為8 ps的時域矩形波型物體的成像質量(兼顧可見度和分辨率)較好.

圖4 光源脈沖寬度為T0= 100 ps,光源相干時間Tc分別為0.5,1.5,5和10 ps條件下的關聯像Fig.4.The correlated images with different source’s coherence time 0.5,1.5,5 and 10 ps,for the source’s pulse width 100 ps.

圖5 光源脈沖寬度為100 ps時,成像可見度隨光源相干時間的變化曲線Fig.5.The imaging visibility as a function of the source coherence time for the source’s pulse width 100 ps.

4 結 論

本文根據空間光束近軸衍射和光脈沖在色散介質中色散現象之間的空間-時間二象性,在時域脈沖響應函數基礎上,研究了基于一階場關聯的時域成像,并以高斯-謝爾型熱光源為例,模擬再現了時域物體信號的成像結果,分析了光源脈沖寬度和相干時間對成像可見度和分辨率的影響.結果表明,利用一階場關聯在不需要色散補償或消除的條件下可以實現時域物體信號的成像,并且隨著光源脈沖寬度的增加,像的可見度逐漸增加,而隨著光源脈沖相干時間的增加,成像分辨率逐漸變差,但是可見度逐漸增加.該結果對于場關聯在時域信號測量中的應用具有促進作用.