三聚化非厄密晶格中具有趨膚效應(yīng)的拓?fù)溥吘墤B(tài)*

許楠 張巖

(東北師范大學(xué)物理學(xué)院,長(zhǎng)春 130024)

1 引 言

拓?fù)浣^緣體是一種具有全新量子特性的物質(zhì)態(tài),在量子理論的發(fā)展過(guò)程中具有重要意義.從1980年Klitzing等[1,2]在二維電子氣系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了量子整數(shù)霍爾效應(yīng),到Haldane[3]發(fā)現(xiàn)了量子反常霍爾效應(yīng),以及之后的十年,拓?fù)湫再|(zhì)相關(guān)的理論實(shí)驗(yàn)研究都得到了極大的發(fā)展[4-10].而作為其中最為經(jīng)典的拓?fù)淠Ｐ椭?一維的Aubry-André-Harper (AAH)模型在研究多聚化晶格方面得到了越來(lái)越多的關(guān)注與重視.該模型最初被用來(lái)研究類(lèi)周期系統(tǒng)的局域性轉(zhuǎn)變[11-15].AAH晶格的本征能譜由三條能帶、兩條能隙組成,兩條能隙中分別存在可由參數(shù)調(diào)制的邊緣態(tài).因此,能譜可分為兩種不同的相位：有邊緣態(tài)的非平庸相和沒(méi)有邊緣態(tài)的平庸相.然而,在實(shí)際的拓?fù)鋵?shí)驗(yàn)中,由于總是與環(huán)境相互作用,所以需考慮耗散效應(yīng)對(duì)系統(tǒng)的影響.其中,典型的例子便是針對(duì)非厄密系統(tǒng)(引入增益和損耗)的研究[16-27].尤其在近幾年,均勻的增益或損耗被引入到一些非厄密的拓?fù)浣^緣體理論或者實(shí)驗(yàn)中,如Su-Schrieffer-Heeger (SSH)模型[28,29]和AAH模型[30-33]的理論研究,以及一維耦合微腔[34,35]和一維耦合光波導(dǎo)的實(shí)驗(yàn)論證[36,37],都得到了很多厄密系統(tǒng)中沒(méi)有的新奇現(xiàn)象.實(shí)驗(yàn)中通過(guò)設(shè)計(jì)一維耦合環(huán)腔,在虛數(shù)規(guī)范場(chǎng)中調(diào)制輔助腔的增益和損耗[38],使得二聚化模型系統(tǒng)中最近鄰正反耦合系數(shù)出現(xiàn)差值,從而產(chǎn)生趨膚效應(yīng)[39,40],該效應(yīng)在近年獲得極大關(guān)注.區(qū)別于同一耦合的正反向系數(shù)一致的拓?fù)湎到y(tǒng)具有一般性的體邊對(duì)應(yīng)關(guān)系,非厄密系統(tǒng)中通過(guò)改變晶格正反向耦合系數(shù)差,破壞系統(tǒng)的手性反演對(duì)稱,從而展現(xiàn)了擴(kuò)展的體邊對(duì)應(yīng)關(guān)系.主要表現(xiàn)為包含系統(tǒng)的拓?fù)浔Ｗo(hù)邊緣態(tài)和體態(tài)在內(nèi)的所有本征態(tài)都局域于開(kāi)放系統(tǒng)單側(cè)邊緣附近的趨膚效應(yīng).然而,三聚化非厄密系統(tǒng)的趨膚效應(yīng)的研究還不充分.因此,本文旨在研究一維三聚化的非厄密晶格的具有趨膚效應(yīng)的拓?fù)涮匦?將三聚化模型結(jié)構(gòu)從一維鏈狀拓展到類(lèi)一維的鋸齒形結(jié)構(gòu),通過(guò)適當(dāng)調(diào)制胞內(nèi)最近鄰正反耦合系數(shù)差和次近鄰耦合系數(shù),觀察三聚化模型中的拓?fù)涮匦宰兓?發(fā)現(xiàn)正反向系數(shù)差不為零的最近鄰耦合對(duì)非厄密系統(tǒng)的能譜和拓?fù)浔Ｗo(hù)邊緣態(tài)都有顯著影響,并引發(fā)新奇的趨膚效應(yīng)；次近鄰耦合則對(duì)系統(tǒng)能譜的上下能隙中的邊緣態(tài)能帶的寬度和系統(tǒng)本征態(tài)的局域效果有影響.最后,進(jìn)行了總結(jié)并展望了擁有豐富結(jié)構(gòu)模型的各種新型拓?fù)洳牧系陌l(fā)展前景.

2 理論模型與能譜分布

如圖1所示,本文考慮的是類(lèi)一維的非厄密三聚化晶格,并為實(shí)現(xiàn)可調(diào)的耦合,將晶胞結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)為鋸齒形.晶胞內(nèi)最近鄰正向耦合系數(shù)為g1+μ,反向系數(shù)為g1-μ,其中 2μ為最近鄰正反向耦合系數(shù)差,次近鄰耦合系數(shù)為ν,胞間耦合系數(shù)為g2.在該非厄密系統(tǒng)中,在每個(gè)晶胞內(nèi)添加均勻的增益損耗——添加勢(shì)能 iγ于增益格點(diǎn)A、零勢(shì)能于中性格點(diǎn)B、勢(shì)能 -iγ于損耗格點(diǎn)C.這些參數(shù)條件構(gòu)成了本研究所需的擴(kuò)展的一維非厄密的AAH模型.其中,令an,bn和cn表示第n個(gè)晶胞內(nèi)格點(diǎn)的湮滅算符,總晶胞數(shù)為N.則該擴(kuò)展的AAH模型的哈密頓量為

式內(nèi)各項(xiàng)分別為AAH模型哈密頓量HAAH=次近鄰項(xiàng)的哈密頓量和非厄密項(xiàng)的哈密頓量然后將哈密頓量代入薛定諤方程[41],便可得：

圖1 擴(kuò)展的三聚化非厄密晶格示意圖Fig.1.Schematic of the generalized trimerized non-Hermitian lattice.

結(jié)合(1)式與(2)式,得到可描述該三聚化模型的本征能譜,如圖2所示；并可對(duì)與最近鄰耦合有關(guān)的趨膚效應(yīng)和與次近鄰耦合有關(guān)的拓?fù)浔Ｗo(hù)邊緣態(tài)進(jìn)行深入的研究,如圖3和圖4所示.這里設(shè)相關(guān)參數(shù)為：N=30,g1=1,γ=0.2,g2≡g1-δcosθ(δ=0.5,θ∈{0,2π} ).

首先,通過(guò)調(diào)節(jié)胞內(nèi)最近鄰正反向耦合系數(shù)差,對(duì)系統(tǒng)本征能譜進(jìn)行分析.圖2(a),圖2(c),圖2(e)和圖2(g)為系統(tǒng)本征能譜的實(shí)部,能帶中包含上、下兩個(gè)非平庸能隙,共四條邊緣態(tài).上(下)能隙中存在兩條邊緣態(tài)的本征值,分別用棕色虛線和綠色實(shí)線表示,且這兩條邊緣態(tài)簡(jiǎn)并.圖2(b),圖2(d),圖2(f)和圖2(h)為本征能譜的虛部,同樣用綠色實(shí)線和棕色虛線表示對(duì)應(yīng)邊緣態(tài)的虛部.系統(tǒng)本征值的實(shí)部描述的是能譜中系統(tǒng)能帶的位置；本征值的虛部描述的是能譜中能級(jí)的寬度.

此處,不考慮次近鄰耦合(ν=0 ),體態(tài)的能譜具有對(duì)稱特征.如圖2(a)和圖2(b)所示,當(dāng)胞內(nèi)最近鄰正反向耦合相同(μ=0 )時(shí),體態(tài)和邊緣態(tài)的本征能譜均關(guān)于E=0 和θ=π 對(duì)稱,能譜的三條能帶在 0.5π 和 1.5π 附近區(qū)域結(jié)合,上下能隙中的四條邊緣態(tài)具有相同長(zhǎng)度.然而,如圖2(c)—圖2(f)所示,隨著μ逐漸增大,雖然體態(tài)能譜仍保持原有對(duì)稱性,但是用棕色虛線表示邊緣態(tài)能譜的實(shí)部和虛部均會(huì)縮短,而用綠色表示的兩條邊緣態(tài)的實(shí)部和虛部均不變化.當(dāng)最近鄰正反向耦合差繼續(xù)增大至μ＞0.2 時(shí),如圖2(g)和圖2(h)所示,棕色虛線表示的兩條邊緣態(tài)消失,只存在綠色實(shí)線表示的兩條邊緣態(tài).這表明邊緣態(tài)的簡(jiǎn)并情況發(fā)生改變,邊緣態(tài)數(shù)量由四條縮減到兩條,該三聚化晶格產(chǎn)生了新的拓?fù)涮匦?這對(duì)應(yīng)邊緣態(tài)在晶格的分布情況就是晶格一側(cè)的兩條邊緣態(tài)消失,如圖3所示,此為邊緣態(tài)的趨膚效應(yīng).

3 體態(tài)與邊緣態(tài)的趨膚效應(yīng)

在上一部分中,通過(guò)對(duì)動(dòng)力學(xué)方程的求解,討論了本征能譜在最近鄰耦合影響下邊緣態(tài)能帶寬度以及數(shù)量發(fā)生的變化.本小節(jié)通過(guò)觀察本征態(tài)的演變,繼續(xù)討論三聚化非厄密系統(tǒng)中的邊緣態(tài)和體態(tài)的趨膚效應(yīng).圖3為該三聚化模型包括體態(tài)(藍(lán)點(diǎn))和拓?fù)浔Ｗo(hù)邊緣態(tài)(綠線)在內(nèi)的所有本征態(tài)的分布.如圖3(a)所示,當(dāng)μ=0 時(shí),體態(tài)均勻分布,邊緣態(tài)則對(duì)稱地局域在晶格的兩端.如圖3(b)所示,隨著μ增大,所有的本征態(tài)都開(kāi)始向晶格的同一端附近局域,展現(xiàn)了趨膚效應(yīng).如圖3(c)所示,當(dāng)μ=0.2 時(shí),本征態(tài)的局域性更好；體態(tài)繼續(xù)向一端局域；邊緣態(tài)完全消失,只存在于左端,數(shù)量也由四條變?yōu)閮蓷l.也就是說(shuō)實(shí)現(xiàn)了邊緣態(tài)數(shù)量的動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié).如圖3(d)所示,當(dāng)最近鄰正反耦合差繼續(xù)增大,體態(tài)也完全局域在左端,也就是說(shuō)三聚化非厄密晶格本征態(tài)的趨膚效應(yīng)愈加顯著.

圖2 三聚化非厄密晶格的本征能譜 (a),(c),(e)和(g)分別為 μ=0,0.1,0.15,0.2 時(shí)本征能譜的實(shí)部；(b),(d),(f)和(h)分別為 μ=0,0.1,0.15,0.2 時(shí)本征能譜的虛部,邊緣態(tài)能帶用綠色實(shí)線和棕色虛線表示Fig.2.The eigen-energy spectrum of the trimerized non-Hermitian lattice.(a),(c),(e)and (g)show the real parts of the energy spectrum for μ=0,0.1,0.15,0.2,respectively；(b),(d),(f)and (h)show the imaginary parts of the energy spectrum forμ=0,0.1,0.15,0.2.Green solid lines and brown dash lines represent the energy band of the edge states.

圖3 系統(tǒng)本征態(tài)的光子分布 (a)μ=0 ；(b)μ=0.1 ；(c)μ=0.2 ；(d)μ=0.3Fig.3.Photon distributions for eigenstates of the system：(a)μ=0 ；(b)μ=0.1 ；(c)μ=0.2 ；(d)μ=0.3 .

接下來(lái),在趨膚效應(yīng)下,繼續(xù)觀察次近鄰耦合對(duì)本征能譜和邊緣態(tài)的影響.在圖4中,第一列描述的是受次近鄰耦合影響的本征能譜的實(shí)部,第二列代表上能隙中邊緣態(tài)的光子分布,第三列代表下能隙中邊緣態(tài)的光子分布.當(dāng)μ=0.5 時(shí),次近鄰耦合系數(shù)在適當(dāng)增加,如圖4(a),圖4(d)和圖4(g)所示,能譜的實(shí)部?jī)H關(guān)于θ=π 對(duì)稱,而不再關(guān)于E=0對(duì)稱.值得注意的是,非平庸的上能隙開(kāi)始變窄,導(dǎo)致非平庸拓?fù)鋮^(qū)域縮小；非平庸的下能隙開(kāi)始變寬,導(dǎo)致非平庸相位區(qū)域擴(kuò)大.通過(guò)比較圖4(b)和圖4(c)發(fā)現(xiàn),相對(duì)應(yīng)的邊緣態(tài)不同于體態(tài)的普通振蕩,而是呈急速衰減.隨著上下能隙中的邊緣態(tài)能帶數(shù)量的縮減,只在上下能隙中各存在一條.如圖4(b),圖4(e)和圖4(h)所示,隨著次近鄰耦合的增強(qiáng),由于趨膚效應(yīng)而局域在左側(cè)的上能隙邊緣態(tài)的峰值在逐漸減小,局域性減弱；而由于趨膚效應(yīng)而局域在左側(cè)的下能隙邊緣態(tài)變化正相反,峰值逐漸增大,局域效果逐漸增強(qiáng).此外,如果次近鄰耦合進(jìn)一步增強(qiáng),本征能譜上下能隙及其邊緣態(tài)會(huì)繼續(xù)呈現(xiàn)相反的變化趨勢(shì)；最終上邊緣態(tài)能帶會(huì)縮短直至消失,下邊緣態(tài)峰值逐漸增大,局域效果會(huì)明顯增強(qiáng).

4 結(jié)論與展望

本文探討和比較了擴(kuò)展的非厄密三聚化晶格的能譜和邊緣態(tài)的演化和局域效果.首先,特殊調(diào)制晶胞內(nèi)的最近鄰耦合系數(shù),即最近鄰正反向耦合存在差異,會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)本征態(tài)發(fā)生趨膚效應(yīng).包括體態(tài)和邊緣態(tài)在內(nèi)的所有本征態(tài)都局域于系統(tǒng)的同一端附近；并且,邊緣態(tài)的二重簡(jiǎn)并態(tài)消失,邊緣態(tài)數(shù)量由四條減少為兩條.其次,次近鄰耦合對(duì)系統(tǒng)能譜的演化有著顯著的影響.次近鄰耦合會(huì)使系統(tǒng)非平庸能隙和相對(duì)應(yīng)的具有趨膚效應(yīng)的邊緣態(tài)發(fā)生不對(duì)稱變化,且會(huì)影響所有本征態(tài)的局域效果.未來(lái),通過(guò)設(shè)計(jì)多樣的多聚化非厄密晶格,并應(yīng)用于拓?fù)淞孔硬牧系难芯恐?一定會(huì)發(fā)現(xiàn)更多有意義的、新奇的拓?fù)湮锢硇再|(zhì).

特別感謝東北師范大學(xué)物理學(xué)院吳金輝教授對(duì)文章寫(xiě)作的建議.

圖4 次近鄰耦合影響下系統(tǒng)的本征能譜和邊緣態(tài)的光子分布 (a),(d)和(g)分別為 ν=0.1,0.15,0.2 時(shí)本征能譜的實(shí)部；(b),(e)和(h)分別為 ν=0.1,0.15,0.2 時(shí)上能隙中的邊緣態(tài)；(c),(f)和(i)分別為 ν=0.1,0.15,0.2 時(shí)下能隙的邊緣態(tài)Fig.4.The eigen-energy spectrum and photon distributions for edge states of the system under the influence of the next-nearestneighbor coupling：(a),(d)and (g)show the real parts of the energy spectrum for ν=0.1,0.15,0.2 ；(b),(e)and (h)show the edge states whose energy band are in the upper gaps for ν=0.1,0.15,0.2 ；(c),(f)and (i)show the edge states whose energy bands are in the lower gaps for ν=0.1,0.15,0.2 .