常識上見規律 活動中出實效

◎張昀

一、背景分析

《數學課程標準》（2011版）指出，課程內容的選擇要貼近學生實際，有利于學生體驗與理解、思考與探索.課程內容的組織要重視過程，處理好過程與結果的關系；要重視直觀，處理好直觀與抽象的關系；要重視直接經驗，處理好直接經驗與間接經驗的關系.人教版教材中，安排了部分數學活動的內容，在實際教學中，現狀往往不盡人意，有的只停留在教師做，學生看的狀態中；有的只是作為了解內容，讓學生自學；甚至有的對這部分內容置之不理.2017年10月，在學校組織的骨干教師課堂教學展示活動中，我上了一節數學活動課——《月歷中的規律》，引起了聽課老師的強烈反響，也得到了他們的充分肯定.下面就我在本節課中設計的活動進行詳細闡述.

二、案例描述

1.活動一

師：同學們，下面是2017年5月的月歷，請思考下面兩個問題，看看會得出什么規律？

①如圖1，每一橫排相鄰兩個數字之間有什么關系？

規律1：____________________________________________.

②如圖1，每一豎列相鄰兩個數字之間有什么關系？

規律2：____________________________________________.

生1：每一橫排相鄰兩個數字之間差為1.

生2：每一豎列相鄰兩個數字之間差為7.

設計意圖：從與生活密切相關的月歷入手，讓學生通過觀察得出橫排相鄰兩個數字以及豎列相鄰兩個數字的關系.數學來源于生活，又服務于生活，讓學生養成用數學的眼光看世界的習慣.

2.活動二

師：同學們，下面是2017年4月的月歷，請認真思考，逐一解決下面五個問題.

如圖2，任意框出豎列上三個相鄰的數.

①設較小的數為x，則其它兩個數分別為____________.

②設較大的數為x，則其它兩個數分別為____________.

③設中間的數為x，則其它兩個數分別為____________.

④若三個數之和為69，則這三個數分別為____________.

⑤三個數之和可能為72嗎？為什么？

生3：設較小的數為x，則其它兩個數分別為x+7，x+14.

生4：設較大的數為x，則其它兩個數分別為x-7，x-14.

生5：設中間的數為x，則其它兩個數分別為x+7，x-7.

生6：若三個數之和為69，則這三個數分別為16，23，30.

師：誰能說出你的解題方法和步驟.

生7：設中間的數為x，則其它兩個數分別為x+7，x-7.

根據題意，得 x+x+7+x-7＝69，

解得 x＝23.

所以 x+7＝30，x-7＝16.

師：你對問題⑤是怎樣理解的？

生8：若三個數之和為72，則這三個數分別為17，24，31.而2017年4月沒有31號，因此，三個數之和不可能為72.

設計意圖 用字母表示數是整式一章學習的重要內容之一，從不同的角度設出未知數，根據活動一得出的結論，就可以表示出另外的兩個數，這樣做的目的就是增強學生的符號意識.問題④的解決方法可以是算數方法，也可以是用方程思想解決，體現了解決問題方法的多樣性.問題⑤雖然可以算出數值，但與實際不符，說明數學應用型問題得出的數值要經得起實際的考量，也就是說檢驗的步驟不可缺少.

3.活動三

師：同學們，下面是2017年5月的月歷，所提出的兩個問題的規律有何關系？

①如圖3，紅色方框中4個數之間有什么關系？

規律3：__________________________________________.

②如圖4，紅色平行四邊形框中4個數之間又有什么關系？

規律4：___________________________________________.

生9：方框中的4個數，對角線上兩個數的和相等.

生10：平行四邊形框中的4個數，對角線上兩個數的和相等.

生11：上述兩個規律的共同之處是：對角線上兩個數的和相等.

設計意圖 由紅色方框中4個數變化為紅色平行四邊形框中的4個數，條件發生變化，圖形由特殊到一般，但其中不變的是對角線上兩個數的和相等.用恰當合理的變式營造一種生動活潑、寬松自由的氛圍，有利于學生掌握基礎知識，有益于培養學生的應變能力.有意識地引導學生從“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”的本質中探求“變”的規律，使知識點融會貫通，逐步培養學生靈活多變的思維品質，增強其應變能力，激發其學習數學的積極性和主動性，提高其數學素質，培養其探索精神和創新意識，從而真正把對能力的培養落到實處，切實增強數學課堂教學的有效性，使數學課堂教學得以升華.

4.活動四

師：同學們，下面是2017年5月的月歷，你能解決下面的四個問題嗎？

①如圖5，紅色方框中9個數的和與方框中心的數有什么關系？

規律5：__________________________________________.

②如果將紅色方框移至圖6的位置，①中的關系還成立嗎？

③不改變方框的大小，將方框移動幾個位置試一試，你能得出什么結論？你能證明這個結論嗎？

④這個結論對于任何一個月的月歷都成立嗎？

生12：方框中9個數的和等于方框中心的數的9倍.

生13：如果將紅色方框移至圖6的位置，①中的關系仍成立.

生14：不改變方框的大小，將方框移動幾個位置，得出的結論是：方框中9個數的和等于方框中心的數的9倍.

師：同學們，你們是如何證明這個結論的呢？

生15：設方框中心的數為x.

則 x+（x+1）+（x-1）+（x+6）+（x-6）+（x+7）+（x-7）+（x+8）+（x-8）＝9x.

∴方框中9個數的和等于方框中心的數的9倍.

生16：這個結論對于任何一個月的月歷都成立.

設計意圖 紅色方框中由4個數變化為9個數，先由具體的數探討規律，用不完全歸納法得出結論.再用字母表示數，通過演繹推理的方式驗證結論.通過本活動培養學生數學抽象、邏輯推理等核心素養.

5.活動五

師：同學們，下面是一長方形數陣，以小組討論解決下列問題.

現將連續自然數1至2016按圖7的方式排成一個長方形陣列，用一個方框框出16個數.

①圖7中框出的這16個數的和是__________.

②圖8中，用正方形任意框出16個數，若設最小的數為x，則這16個數的和可表示為___________（用含x的式子表示）.

③圖7中，能否使一個正方形框出的16個數之和分別等于2010，2016？若不能，試說明理由；若能，請求出該正方形框出的16個數中的最小數和最大數.

規律：__________________________________________.

生17：圖7中框出的這16個數的和是352.

生18：圖8中，用正方形任意框出16個數，若設最小的數為x，則這16個數的和可表示為16x+192.

師：同學們，你能詳細說出問題③的思考過程嗎？

生19：由題意，得16x+192＝2010，

由題意，得16x+192＝2016，

解得x＝114.

所以x+24＝114+24＝138.

所以，不能使一個正方形框出的16個數之和等于2010.能使一個正方形框出的16個數之和等于2016，此時，最小數為114，最大數為138.

設計意圖：由月歷拓展為數陣，是數學活動的升華.學生已有月歷中規律探索的經驗，通過類比，自然可以明確數陣中存在的規律，從而達到解決問題的目的.一方面培養學生的應用意識，另一方面培養學生思維的靈活性.

三、教學反思

《數學課程標準》（2011版）指出，數學教學活動是師生積極參與、交往互動、共同發展的過程.本節活動課，學生在老師不斷拋出的問題的驅動下，帶著問題去實踐，從而尋找規律，得出答案，這是一種探索知識，完善自身的過程.本節課活動容量較大，設計了五個活動，由簡單到復雜，對學生的思維以及課堂時間的掌控有一些挑戰.通過數學活動，我對活動課的設計和效果有新的理解.

1.數學活動要體現參與性 建構主義認為，學習不應該被看成是對教師所授予知識的被動接受，而是學習者以自身已有的知識和經驗為基礎主動參與活動，即學生能積極主動地學習.在數學活動課中，通過教師學案設計，由淺入深，逐級引導，從簡單的問題解決中盡可能的讓所有學生都能參與，隨著活動的深入，探索問題的熱情逐步被點燃，全體學生參與的效果明顯顯現.

2.數學活動要體現趣味性 數學活動課雖然不像音樂課悅耳動聽，不像語文課故事引人入勝，但數學活動課在看似平常的數字、圖案中，教師能設計好找規律的步驟，通過學生個體和小組集體合作，一個規律接著一個規律被同學們發現，心中的喜悅自不必說，也能增強大家的集體榮譽感和責任心，共同完成任務，也懂得了分工協作才能得勝利的道理.

3.數學活動要體現實效性 雖然活動課往往自由討論，氣氛熱烈，看起來比較活躍，但一定要注重活動的實效性.一是活動課不能單單活動有聲有色，忘記了學生掌握知識、提高能力的初心；二是不能老師不注重活動過程的引導，活動偏離中心或者活動不夠深入，全體學生參與度不高，這些都不能很好地提高活動課的實效.