顆粒離散元數值模擬中的宏細觀接觸力計算方法

關巖鵬，張玉芳，劉曉麗，王恩志

(1.中國鐵道科學研究院集團有限公司 鐵道建筑研究所，北京 100081；2.清華大學 水沙科學與水利水電工程國家重點實驗室，北京 100084)

顆粒離散單元模擬是一種新興的模擬巖石或土的力學行為的方法[1]。一些學者使用這種方法來模擬巖土工程問題并取得了一定的成果[2-5]。目前，對于顆粒離散單元法的數值模擬結果的分析大部分停留在被模擬物體非量化的宏觀形態上[6-7]，如裂紋的擴展程度、顆粒的堆積形態等[8-9]。對顆粒離散元法數值模擬結果的可量化結果的分析很少有報道。

基于顆粒材料的幾何特性，本文采用構造到各個顆粒的切線距離相等的點集的方法，將各個顆粒集合體剖分成一個平面圖。然后，利用圖論的理論提出了顆粒集合體中宏觀和微觀接觸面的表征方法。在顆粒離散單元數值模擬中，利用此表征方法，提出通過計算權重矢量獲得顆粒離散單元數值模擬結果中的宏細觀接觸力的方法。以邊坡工程為算例，計算了土條邊界的接觸力，計算結果與理論計算結果有較好的一致性，且本文計算結果更能體現巖土體接觸力分布離散的特點。

1 構造輔助平面

對于2個相接觸的顆粒，構造到2個顆粒的切線長度相等的點集[10]，經過計算發現此點集為一條直線(如圖 1所示)，這條直線恰好通過2個顆粒的接觸點。如果2個顆粒不接觸則該點集仍然是直線并且穿過2個顆粒之間的間隙。對于由若干個圓形顆粒構成的顆粒集合體，構造到各個顆粒的切線長度相等的點集，可以形成一個由直線構成的平面圖，如圖1中的直線所示[11-12]。其中，實線表示到相互接觸的2個顆粒切線長度相等的點集;虛線表示不相互接觸的2個相近顆粒切線長度相等的點集。

圖1 利用本文方法構造的輔助平面

2 接觸力計算方法

2.1 細觀接觸

將由上述方法構成的平面圖中各直線的交點定義為一個“節點”，將這些直線(“節點”的連線)定義為“邊”。每一個節點表示一個孔隙，用vi表示。每一條邊表示2個顆粒間的接觸面，用e=(vi,vj)表示。

2.2 宏觀接觸面

宏觀接觸可以用圖論中的“路”來表示，“路”是由一系列相互連接的節點和邊組成。表達式如下

p=[vi,(vi,vj),vj(vj,vk),vk,…,vl(vl,vn)，…，vn]

(1)

式中：p為圖論中的“路”;vi,vj,vk,…,vl,vn是各不相同的節點。

用圖論理論中的“路”表示的的宏觀接觸面如圖2所示。

圖2 宏觀接觸面

2.3 宏觀接觸力的計算方法

如上節所述，用一個構造平面圖的邊e表示顆粒集合體的2個顆粒間的接觸。為每一個邊e設置一個權重w(e)，w(e)的值為e表示的接觸處的接觸力。定義P為顆粒集合體中的某個宏觀接觸。定義W(P)為此宏觀接觸上的接觸力。由于力是矢量，可以通過矢量相加方法進行求和，所以W(P)的計算方法為對w(e)進行矢量求和運算，表示為

W(P)=∑w(e)e∈p

(2)

3 算例

3.1 計算方法

對于邊坡工程，部分學者采用顆粒離散單元法進行了數值模擬，取得了一定的成果，但大多是對邊坡破壞后的堆積形態的描述，求解宏觀量化結果的較少。本節通過以邊坡顆粒離散單元的數值模擬結果中的接觸力計算值與理論計算值作對比，論述本計算方法的優缺點。

滑動面的路徑如圖3所示。對邊坡進行理論穩定性計算，常用方法為條分法，即假設邊坡為剛體，設定一個潛在滑動面和土條邊界進行計算分析。對于由顆粒堆積成的邊坡，潛在的滑動面上的接觸力可用本文提出的宏觀接觸力的計算方法進行計算。

圖3 滑動面的路徑示意

運用Particle Flow Code計算軟件并利用顆粒離散單元方法中的隨機填充方法構造了一個簡單的斜坡，坡體高度約為6 m，坡面傾角約為60°，如圖4所示。

圖4 算例模型(單位：m)

算例的宏觀參數為：重度取18.5 kN/m3；黏聚力取20 kPa；內摩擦角取15 °；彈性模量取20 MPa；泊松比取0.2。

算例的細觀參數[13]為:顆粒密度取2170 kg/m3；顆粒半徑取0.05～0.10 m；法向接觸剛度取6 kPa；切向接觸剛度取6 kPa；法向接觸強度取2.0 × 107N/m；切向接觸強度取0.4 × 107N/m；顆粒間摩擦因數取0.1。

3.2 接觸力求解

一般邊坡穩定性的計算方法是預設圓弧形滑動面進行搜索計算，為了與理論法進行對比，本文預設了一個圓形滑動面。利用本文提出的接觸面表征方法計算的預設滑動面，如圖4中邊坡中最下部的折線所示。由于顆粒集合體有別于一般的均質體，具有一定的離散性和不均勻性，所以計算出的滑動面是折線面。

說起地雷，進攻金蘭防線的鬼子可是吃足了苦頭，許多年后，第七十師團長內田孝行回憶往事曾這樣哀嘆：“金華、蘭溪的陣地上，主要交通線上，埋設了無數地雷，以阻止我軍行動，我軍因此受到嚴重損失。”

設定土條寬度為1.0 m，土條間接觸力也可以利用本文的計算方法進行計算，如圖4中的近豎直折線所示，本文計算了表示土條間接觸面的“路”，利用本文方法即可計算出土條間接觸力。

簡·布法(Janbu法)是條分法的一種，它同時考慮了力矩平衡、土條間法向接觸力平衡、土條間切向接觸力平衡，而顆粒離散單元法在計算結果穩定后各個顆粒所受到的力與力矩也是平衡的。因此選取簡·布法與本文提出的計算方法進行對比分析。

3.3 土條重力

圖5 土條重力

顆粒離散單元中，通過計算各個土條內部顆粒的重力來計算各土條的重力，計算結果見圖5。由于重力作用，坡體各個位置的密度并不相同，一般坡體下部土體的密度比上部稍大。因此，本接觸力計算方法在計算坡體下部的土條重力時，計算結果比理論法大，在其他位置計算的土條上，本計算方法的計算結果偏小，這與此位置的顆粒集合體荷載較小、相對疏松有關。

3.4 切向接觸力和法向接觸力

本文計算方法及理論法計算結果中，滑動面上的沿滑動方向的切向接觸力與垂直于滑動方向的法向接觸力計算結果見圖6。可知，本文計算坡體下部位置的切向力偏低，這主要是因為理論方法未能考慮部分土條切向接觸力可能超過材料強度的情況，本文構建的坡體的穩定性系數約在1.3左右，坡體下部處部分顆粒間的相互作用力已經超過了顆粒間的黏聚強度，導致坡體下部部分土體進入塑性變形階段，能夠承擔的切向力變低。

圖6 潛在滑動面上的接觸力計算結果

在法向接觸力方面，本文方法的計算結果在坡體下部位置比理論法高。這主要是因為坡體下部的顆粒被擠密，導致其承受了更高的重力，為了維持平衡，法向力也相應增高。

3.5 條間力

圖7 條間力計算結果對比

理論法及本文提出的計算方法計算的各土條間接觸力(x方向和y方向)見圖7。可知，2種方法計算結果較為相符，部分位置存在一定的差異。由于理論法與本文方法計算的模型均為穩定狀態，在力學上維持平衡，那么法向力、切向力的計算結果存在差異必然導致條間力的計算結果存在差異。例如，在坡體最左側土條上，本文計算結果土條底部法向接觸力偏大，相對應的土條間的y向作用力偏大。

可以看出，本文計算方法與理論方法計算結果具有一致性，理論法未能考慮到巖土體是一個彈塑性體，而顆粒離散單元法考慮了巖土體的彈塑性、非連續性等特點，計算結果更準確。

4 結論

本文針對顆粒離散單元法在宏觀層面缺乏可量化的計算結果的特性，提出了一種顆粒離散單元數值模擬中宏觀接觸力的計算方法。主要結論如下：

1)對任意2個圓形顆粒，到2個顆粒表面切線距離相等的點的集合為一條直線，當2個顆粒接觸時，此直線會通過2顆粒接觸點。

2)對于顆粒集合體，構造到任意2個顆粒表面切線距離相等的線可形成一個平面圖。利用圖論理論，這個平面圖的“路”和“邊”可以表示顆粒集合體的宏細觀接觸。若將顆粒間接觸力作為權重賦予平面圖的“邊”，那么顆粒集合體內部的宏觀接觸力可以通過對“邊”的權重矢量相加計算。

3)以一個顆粒離散單元法構造的邊坡為算例，對比了本文提出的宏觀接觸力與理論法的計算結果，二者有較好的一致性。相比于傳統條分法，本文方法考慮了巖土體內部的彈塑性和離散性的特點。