試論定積分在物理及其他領域的應用

摘 要：定積分是數學分析中比較常見的問題，其在日常生活與生產中有著大量的運用。本文就定積分在物理及其他領域的應用進行簡單地探討。

關鍵詞：定積分；物理；應用

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2019.13.199

1 引言

數學是物理學常用的一種工具，唯有經過數學才可以準確展示出自然規律。唯有運用數學才可以把握較為繁雜的變化環節以發現最基礎的規律。物理學與數學相互促進，共同發展。定積分是積分學的重要構成內容，在日常生產與自然科學當中有著非常多的問題均能夠運用定積分妥善解決，在物理學中求平均速度、電功率、功、電場強度以及轉動慣量等問題。

2 定積分在物理學中的應用

在具體問題當中，物體在移動過程中所受到的力通常是不斷概念的，此便需充分考慮變力作功的相關問題。

若物體在變力的影響下，在軸上從點轉移至點，同時變力方向和軸完全相同。將作為積分變量，。在范圍內的任意區間，此區間范圍內各個點位的力均能夠運用點處的力近似取代。

所以，可得功的微元是，點轉移至點變力所做的功是：

例 在原點處存在著1個帶電量為的點電荷，其所形成的電場對于附近電荷有一定的作用力。現有1單位正電荷由距離原點a位置處的沿射線方向移動到距離原點的位置，問：電場力做了多少功？ 若將此單位電荷移動到無窮遠的位置處，電場力做功多少？

解 將電荷移動的方向看作軸正方向，則電場力可記作：（ 是常數）。在區間內，通過“常代變”方式可求得微元是。

如果移動到無窮遠的位置處，則做功：

在物理學當中，將以上移動到無窮遠位置處所做的功稱之為電場在a位置處的電位，因此可得電場在a位置處的電位是。

例 彈簧在拉伸環節，其所需的力和伸長量成正比例關系，也就是（是比例系數）。在彈簧拉伸的時候，需要力，若想使得彈簧拉伸，問該外力做功多少？

解 在時，；將其代入到，可得。進而變力是，根據以上求得所得功是：

3 定積分在其他領域中的應用

3.1 定積分在數學中的應用

運用定積分求解立體圖形的體積。

例 求由橢圓面所組成立體圖形的體積。

解：用平面截橢球面，便能夠獲得橢圓在平面中的正投影：

因此可得截面面積為： 。

針對所截得的若干體積基塊實施求和。第一，對和積分；第二；運用已經知曉的數列進行計算；第三，求導便能夠獲得界。

求解可得橢球的體積為：。

在時，橢球的面積為：。

3.2 定積分在經濟學中的應用

例 某公司制造噸商品的邊際成本是（元/噸），同時其固定費用是元，問：當該產品的產量為多少時公司的平均成本最低。

解：該公司的產品成為：

產品平均成本為：。

一階導數：，令，便可得（舍去）。

所以，只具有一個駐點x1=300，根據實際問題能夠獲悉存在最小值，因此在產量為300噸時，該公司的平均成本可達到最低水平。

4 結論

綜上所述，定積分的發展與運用密切相關，最早牛頓運用定積分是為了能夠由萬有引力推演出行星三定律。定積分的發展與運用促進了數學學科的快速發展，并且在較大程度上促進了物理學、天文學、工程學以及化學等學科的不斷發展。經過上述案例分析可知，定積分存在于人們日常生活與生產的各個層面，并且還能夠將微元法的相關理論運用于現實的生活中，以更加好的解決相關的問題。

參考文獻：

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作者簡介：霍龍龍（1988-），男，河南濟源人，碩士研究生，助教，研究方向：數學。