積分第一中值定理的推廣研究

摘 要：伴隨時代的不斷發展，數學同樣在快速進步。積分中值定理對于微積分的學習有著非常重要的作用。本文就積分第一中值定理的推廣進行深入地研究。

關鍵詞：積分第一中值定理；推廣；應用

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2019.13.197

1 積分第一中值定理

定理1 如果在上連續，那么至少有一點，使得：

證 因為在上連續，所以其有最小值與最大值。由：

運用積分不等式性質可得：

根據連續函數的介值性可知，至少有一點，使得：

定理2 如果在上連續，那么至少有一點，使得：

證 因為在上連續，繼而在上可積。將其原函數定位，那么按照存在定理便能夠獲悉，在上連續，同時在上可導，依據拉格朗日中值定理可知存在一點使得：

可得：

2 積分第一中值定理的推廣

2.1 積分第一中值定理的改進

定理3 如果在上連續，那么至少有一點，使得：

成立。

證明：令，由于在上連續，因此在上連續，在內可導，同時可得，對在內由拉格朗日微分中值定理得：至少有一點，使得：

即

例1 若上連續，非負，嚴格單調減函數，證明：

證明：根據定3可得：

（2-1）

（2-2）

根據公式（2-1）、（2-2）兩邊乘以得：

由于，因此，又因在內連續，非負函數，

因此 。

2.2 推廣的積分第一中值定理的改進

定理4 如果、在內連續，同時在內不變號，那么至少有一點，使得：

證明：假設滿足，則：

（1） 在時，以上等式成立。

（2）在不恒等于0時，那么至少有一點，使得，由連續性知。

又因在內連續，進而必然存在著最小值與最大值，即：

進而 （2-3）

1）假設公式（2-3）中左邊等號成立，也就是：

（2-4）

或者

在內連續，同時，那么在內便有。

由于不恒等于0，因此必然有一點，使得，即，那么在上至少有一點使。

依據公式（2-4）得。

2）假設（2-3）右邊等號成立，同理也可證得結論成立。

3）假設（2-3）嚴格不等式成立， 即：

因為，則有：

由連續函數的介質性定理知在上至少存在一點使得：

或

因此能夠證明定理2成立。

3 結論

綜上所述，本文針對積分第一中值定理的定義、改進以及推廣等進行了詳細的研究，使得人們對積分第一中值定理有了大概的了解。

參考文獻：

[1]鄭權.積分第一中值定理中間點的一般漸近性質與求積公式[J].大學數學，2004（12）.

[2]楊雅迪.關于積分第一中值定理推廣的探討[J].科技信息，2010

（10）.

作者簡介：黃瑞芳（1980-），女，河南新鄭人，碩士研究生，講師，研究方向：數學。