淺談不定積分中“湊微分法”的教學

黃穗

【摘 要】微積分的不定積分法在整個高等數學的應用具有重要作用，其中“湊微分法”（第一類積分法）是三大計算方法之一，核心思想是通過“湊”微分，把關于復合函數的不定積分轉化為基本初等函數的不定積分。

【關鍵詞】不定積分;湊微分法;數學分析

微積分中的不定積分法在整個高等數學的教學和應用中具有舉足輕重的作用。就整個微積分學而言，不定積分是從導數的角度來定義的，因此，在某種程度上可以看成是微分的逆運算;其后是在定積分、多重積分、線積分、面積分的計算基礎。就整個高等數學而言，不定積分的計算也是微分方程、數值分析、勒貝格積分等的基本工具。因此，在關于不定積分法的教學過程中，為了使學生能夠理解掌握并熟練應用積分法，教材會有針對性地對不同類型的問題提供不同的積分法，教師也會安排較多課時，通過計算大量的例題、布置較多作業完成教學。

在三大積分法（包括湊微分法、第二類換元法、分部積分法）中，首當其沖的即是“湊微分法”，我們也稱之為第一類換元法。相較于其他兩種積分法，湊微分法更為靈活多變，處理的問題也更為廣泛。在湊微分法的教學過程中，我們首先要確定的是，湊微分法解決的是哪類函數的不定積分問題;其次是“湊什么”、“怎么湊”的問題;最后需要解決湊微分法與其他積分法的綜合應用。

現在先回答第一個問題。湊微分法主要解決的是復合函數求不定積分節分的問題。我們通過以下例題進行說明。

湊微分法的使用靈活多變，要求使用者對積分公式表中的積分較為熟悉，可通過觀察分析被積函數的結構確定“湊什么”“怎么湊”的問題。此積分法在含三角函數的不定積分計算中尤為重要，需要通過大量練習才能熟悉掌握，從而為更復雜的計算打好基礎。

【參考文獻】

[1]歐陽光中等.數學分析（上冊）第四版[M].高等教育出版社，2018

[2]華東師范大學數學系.數學分析（上冊）第四版[M].高等教育出版社，2010

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