矩陣特征值的估計

程克玲

（呂梁學院汾陽師范分校，山西汾陽032200）

作為矩陣的重要參數，特征值可以看做是復平面上的一個點[1]，矩陣特征值的計算與估計在理論和實際應用中都是非常重要的。隨著矩陣階數的增加，特征值的精確計算難度加大，甚至無法實現。

SScchhuurr引理[6]任意n×n實矩陣A，存在酉矩陣U與上三角矩陣R，使得

式中，UH表示將矩陣U共軛轉置，R中的元素，可能為復數。

證 給定n×n實矩陣A，可以求出A的n個特征值，不妨設為λ1,λ2,…,λn（順序沒有要求）。假設存在上述的U與R，只要將它們求出，即可說明其存在性，同時也說明了其構造或求解的過程。同時為了過程簡略，設特征值互不相同。特殊情況再加以說明。

先看乘積的第一列：Au1=Ur1。由于R為上三角陣，且對角元為A的特征值，所以列向量r1只有第一個元素為λ1，其余元素全為0。所以上式就可以化為Au1=λ1u1。u1為A的特征值λ1對應的特征向量當然存在。再利用酉矩陣的性質（不同的列向量都正交，且為單位向量），所以要將u1單位化。這樣，得到U的第一列u1。

繼續考察Au2=Ur2。

式中含有u2及r12共n+1個變量，需要n+1個獨立方程才可解出。然而上式含有n個方程，u1與u2垂直，u2單位長度，共n+2個條件。但在上式中，λ2為A的特征值，所以n個方程并不是相互獨立的。列出n+2個方程，剛好可以解出u2與r12。

一般情況，考察Auk=Urk。

與前面討論類似，共有uk中的n個變量和rk中的 (k-1)個變量 (r1k,r2k,…,r(k-1)k)，rkk=λk為已知的特征值。所以共有(n+k-1)變量。上式中含有n個方程，利用u1,u2…,uk-1與uk垂直，可得(k-1)個方程，再加上uk為單位向量，共(n+k)個方程，正好可以解出所有的(n+k-1)變量。

如此繼續，直到第n步的Aun=Urn。這樣，便可以解出所有的rij與uk，矩陣U與R便可以確定了。

定理 11 設A∈Cn×n,λ1,λ2,…,λn是A的特征值，則

式（1）～（3）中任一等式成立，必有其余兩個等式成立。而任一等式成立的充分必要條件是A為正規矩陣。

證 根據Schur引理，對任意的A∈Cn×n,存在U∈Un×n,使A=UTUH，T的主對角線上的元素是A的特征值。由于矩陣的F-范數在酉變換下不變，因此 ‖A‖F=‖T‖F,令T=(trs)(r,s=1,2,…,n,r＞s時，trs=0)，則有

由推論1易得下面兩個結論：

1）Hermite矩陣的特征值都是實數；

2）反Hermite矩陣的特征值為零或純虛數。

因為當AH=A時，C=0,Im(λi)=0,即λi為實數，i=1,2,…,n;當AH=-A時，B=0,Re(λi)=0,即λi為零或純虛數，i=1,2,…,n.

證 由式（3）得

由于A是實矩陣，其復特征值成共軛對出現。因此，當λ是實特征值時，式（4）是自然成立的；而當λ是復特征值時，有

此即式（4）成立。

解A為反對稱矩陣，其特征值為

因此，所給矩陣A（實反對稱矩陣）的特征值的模不超過0.3464，且由推論2得到的更好些。