基于數學模型構建與應用基礎上的數學核心素養的培養

☉江蘇省海門中學 陸 娟

數學教育因為教育信息化的迅速發展而逐漸形成了運用數學知識解決實際問題的這一趨勢.利用數學知識建立數學模型并解決實際問題是培養學生數學核心素養能力的重要手段，也是化抽象為具體的有效措施.數學建模其實就是運用數學思維對各個事物之間的關系和規律進行觀察、分析以及用數學語言來表達與呈現.本文結合具體的數學案例談談幾種常見數學模型的建構與應用.

一、三角函數模型

常見的三角函數模型：（1）正弦型函數模型y=Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0）；（2）余弦型函數模型y=Acos（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0）；（3）正切型函數模型y=Atan（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0）.

例1已知函數（x∈R）.

（2）求f（x）的最小正周期及單調遞增區間.

探析：這是三角函數中關于“數”的一道練習，建構已經學過的正弦型、余弦型、正切型函數模型可以對此類題目中的定義域、值域、最小正周期等問題進行求解.

解析：（1）則

（2）因為ω=2，因此（fx）的最小周期.由2kπ-

故f（x）的單調遞增區間為

二、立體幾何模型

教師在教學中應善于引導學生從現實生活中抽象出幾何模型并強調數學建模的學習價值與意義，使學生能夠在運用數學建模方法來探索與解決實際問題的過程中積累更多的經驗，并在提升學生數學學習的積極性的同時令學生的數學建模能力也得到發展.

例2如圖1所示，某工廠需要建一個倉庫，要求倉庫上部的形狀為正四棱錐P-A1B1C1D1，下部的形狀為正四棱柱ABCDA1B1C1D1，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍.

（1）若AB=6m，PO1=2m，則該倉庫的容積是多少？

圖1

（2）若正四棱錐的側棱長是6m，則當PO1為多少時，倉庫的容積最大？

模型建構探析：從問題2出發并以PO1為自變量建立體積的函數關系式.該倉庫涉及的兩種幾何體的底是相同的，都為正方形，聯想到正四棱錐的高與底面邊長，用PO1=h來分別表示正方形邊長及柱體的高H=4h，兩者的底面積都是x2=2（36-h2），結合柱體、錐體的體積公式得，聯想到利用導數來對其最值進行研究.當有最大值.

解析：（1）由PO1=2，知OO1=4PO1=8.

因為A1B1=AB=6，因此正四棱錐P-A1B1C1D1的體積

正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積V柱=AB2×OO1=62×8=288（m3）.

所以倉庫的容積V=V錐+V柱=24+288=312（m3）.

（2）設A1B1=am，PO1=hm，則0＜h＜6，|OO1|=4h.連接O1B1.

因為在Rt△PO1B1中

因此可得a2=2（36-h2）.則倉庫容積V=V錐+V柱=a2·4h+

利用導數或不等式放縮即可求得其最值，當PO1=時，倉庫的容積最大.

素養教學評析：從圖1中很快就可以觀察出倉庫的容積即為正四棱錐與正四棱柱容積之和，學生由此也可以較為容易地構建出數學模型并令本題得以解決.

三、向量模型

建立向量模型并借助于空間向量的運算能夠很好地解決涉及空間角度的很多問題.

例3如圖2所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，平面PAD⊥平面ABCD，點M在棱PB上，PD∥平面

（1）求證：M是PB的中點；

（2）求二面角B-PD-A的大小；

（3）求直線MC與平面BDP所成角的正弦值.

圖2

圖3

應用分析：直線和平面平行、平面和平面垂直、直線與平面所成角、二面角的平面角都是本題所要考查的知識點.（2）取AD的中點G，可得PG⊥AD，結合面面垂直的性質可得PG⊥平面ABCD，連接OG，則PG⊥OG，再證明OG⊥AD.然后以G為坐標原點，分別以GD、GO、GP所在的直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，求得平面PBD和平面PAD的法向量，根據兩個法向量所成角的大小即可得二面角B-PD-A的大小；

解析：（1）略.

（2）取AD的中點G，由PA=PD，得PG⊥AD.又因為平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，PG?平面PAD，所以PG⊥平面ABCD.連接OG，則PG⊥OG.由G為AD的中點，O為AC的中點，可得OG∥DC，則OG⊥AD.以G為坐標原點，分別以GD、GO、GP所在的直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，由AB=4，得

設平面PBD的法向量為m=（x，y，z），由

取平面PAD的一個法向量為n=（0，1，0），則cos〈m，故二面角B-PD-A的大小為60°.

教師在教學中應引導學生運用科學的眼光對空間問題進行分析，使學生能夠聯想到已有的知識與經驗，然后對問題進行抽象與轉化，使學生在空間向量的輔助下發揮想象并對空間幾何體的數量關系進行有效的分析.

四、建構函數模型解決不等式問題

例4若函數f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有極值，且導函數f′（x）的極值點與f（x）的零點相同.

（1）求b關于a的函數關系式，并寫出其定義域；

（2）證明：b2＞3a；

（3）假如f（x），f′（x）這兩個函數的所有極值之和大于等于求a的取值范圍.

解析：（1）先求得導函數的極值點為代入，化簡可得由極值的存在條件得a＞3.

（3）求證f（x）的兩個極值之和等于0，然后根據根與系數的關系代入并化簡可得：導函數的極值不小于，構造差函數，利用導數研究其單調性可得：h（a）在（3，+∞）上單調遞減，根據，即可求出a的取值范圍為a∈（3，6］.

教學解讀：多次構造函數模型是順利解決本題的關鍵，由此可見，構造數學模型對培養學生的數學核心素養是正確無誤的.

學生的數學運算、邏輯思維、數學分析以及空間直觀想象等核心素養與能力在數學模型案例的探析教學中均得到了有意義的鍛煉與發展，因此，教師應重視模型構建教學并善于引導學生在這一鍛煉過程中獲得數學核心素養的發展.W