題型規律研究，展望命題趨勢*
—— 基于全國高考圓錐曲線問題

☉山東省淄博實驗中學 王 萍

圓錐曲線是平面解析幾何的核心內容，也是高考重點考查的內容之一，解題方法靈活多變.圓錐曲線的基本特點是解題思路比較簡單，規律性較強，但運算過程往往比較復雜，在近幾年的高考題中，選擇、填空、解答三種題型均涉及該內容.選擇題、填空題主要考查圓錐曲線的標準方程及幾何性質等基礎知識，解答題則綜合考查學生的邏輯思維能力、運算能力、空間想象能力、分析問題與解決問題的能力等.

一、近8年全國高考圓錐曲線部分考點分析

以新課標高考全國Ⅰ卷為例，就近8年全國新課標高考圓錐曲線部分考點分析如下：

年份 文科卷理科卷題型 題號 分值 考點 題型 題號 分值 考點2011 2012 2013選擇 4 5 橢圓的離心率 選擇 7 5 雙曲線的方程與離心率選擇 9 5 拋物線的方程與三角形的面積 填空 14 5 橢圓的定義與標準方程解答 20 12 以數量積為載體求解軌跡方程，導數的意義與點到直線的距離公式選擇 4 5 橢圓的標準方程與離心率，等腰三角形的性質 選擇 4 5 橢圓的標準方程與離心率，等腰三角形的性質選擇 10 5 雙曲線與拋物線的位置關系，等軸雙曲線的標準方程與性質 選擇 8 5 雙曲線與拋物線的位置關系，等軸雙曲線的標準方程與性質解答 20 12 以拋物線為載體求解參數的值與圓的方程，點到直線的距離的比值 解答 20 12 以拋物線為載體求解參數的值與圓的方程，點到直線的距離的比值選擇 4 5 雙曲線的離心率與漸近線方程 選擇 4 5 雙曲線的離心率與漸近線方程選擇 8 5 拋物線的定義與方程，三角形的面積 選擇 10 5 橢圓中點弦問題，橢圓的標準方程解答 21 12以動圓與兩圓相切為載體結合橢圓的定義求解軌跡方程，直線與橢圓的位置關系，弦長問題解答 20 12以動圓與兩圓相切為載體結合橢圓的定義求解軌跡方程，直線與橢圓的位置關系，弦長問題選擇 4 5 雙曲線的方程與離心率 選擇 4 5 雙曲線的方程與幾何性質，點到直線的距離2014 2015選擇 10 5 拋物線的方程與定義 選擇 10 5 拋物線的方程與定義，向量的線性關系式解答 20 12以過圓內一定點的弦的中點為載體求解軌跡方程，直線的方程，三角形的面積解答 20 12以橢圓的幾何性質為載體求解橢圓的方程，直線與橢圓的位置關系，三角形的面積，基本不等式與直線方程選擇 5 5 拋物線的性質，橢圓的標準方程與性質 選擇 5 5 雙曲線的標準方程，向量的數量積，參數的取值范圍問題填空 16 5 雙曲線的定義，直線與雙曲線的位置關系，最值問題 填空 14 5 橢圓的標準方程與幾何性質，圓的標準方程解答 20 12以拋物線與直線的方程為載體求解切線方程，直線與拋物線的位置關系，探索存在性問題

年份 文科卷理科卷選擇 5 5 直線與橢圓的位置關系，橢圓的離心率，點到直線的距離 選擇 5 5 雙曲線的方程與幾何性質，參數的取值范圍2016解答 20 12 以拋物線與直線方程為載體求解線段的比值，直線與拋物線的位置關系 選擇 10 5 拋物線與圓的位置關系以及幾何性質解答 20 12以圓的方程及平面幾何知識為載體結合橢圓的定義求解軌跡方程，直線與橢圓的位置關系，四邊形面積的取值范圍選擇 5 5 雙曲線的方程與幾何性質，三角形面積 選擇 10 5 拋物線的方程，直線與拋物線的位置關系，基本不等式2017選擇 12 5 橢圓的方程，直線與橢圓的位置關系 填空 15 5 雙曲線的方程與幾何性質解答 20 12 以拋物線為載體求解直線的斜率，直線與拋物線的位置關系以及直線的方程 解答 20 12 以橢圓為載體求解橢圓的方程，直線與橢圓的位置關系，定值（點）問題選擇 4 5 橢圓的方程與幾何性質 選擇 8 5 拋物線的方程與幾何性質，直線與拋物線的位置關系，平面向量的數量積2018解答 20 12 以拋物線為載體求解直線的方程，直線與拋物線的位置關系，直線的斜率與傾斜角 選擇 11 5 直線與雙曲線的位置關系解答 19 12 以橢圓為載體求解直線的方程，直線與橢圓的位置關系，直線的斜率與傾斜角

二、全國高考圓錐曲線部分試題特點及命題規律

（1）從地位角度上看：圓錐曲線這部分內容在新課標高考中一直占據著非常重要的地位，理科試卷總體比較穩定，文科試卷對應題量有稍微變小的趨勢（主要轉化為直線與圓的相關內容），總體體現出穩中求新，且地位穩定的特點.

（2）從方向角度上看：圓錐曲線這部分的考題的命題方向遵循《考試大綱》和《考試說明》，立足“雙基”，回歸“教材”，突出數學思想方法和能力等方面的考查.

（3）從題型角度上看：圓錐曲線部分的題型以選擇題、解答題為主，有時也出現個別填空題，題量基本維持在“一大（解答題）二小（選擇題或填空題）”，總分值大體維持在17-22分左右.

（4）從考頻角度上看：結合近8年新課標高考數學文理卷來看，考查橢圓、雙曲線、拋物線知識出現的次數分別為16次、13次、17次，次數基本相當；而在解答題中，以考查橢圓與拋物線為主，其中考查橢圓、拋物線知識出現的次數分別為6次、7次.

（5）從難度角度上看：圓錐曲線部分的考題主要以中檔題和難題為主，選擇題一般位于4～5題與9～10題的位置，填空題一般位于14～15題的位置，大題一般位于19～20題的位置.從近兩三年的試卷來看，圓錐曲線部分考題的總體難度有所下降，維持在中檔及中檔偏上的層次.

（6）從考點角度上看：重點考查橢圓、雙曲線、拋物線這三類圓錐曲線的定義、標準方程與幾何性質，以及直線與圓錐曲線的位置關系、軌跡方程的求解、圓錐曲線與直線、圓、函數、平面向量、導數、不等式等知識的綜合與交匯問題等.

三、全國高考圓錐曲線部分命題形式與命題趨勢

1.圓錐曲線的命題形式

圓錐曲線問題在高考中以中低檔題來直接考查相關的定義、標準方程與幾何性質等，而以中高檔題來考查綜合問題的常見類型主要有軌跡方程的求解、位置關系的判定、弦長問題、最值與定值（包括定點、定直線等）問題、對稱問題等，可以適當拉開考生之間的差異，起到高考的選拔功能.

同時，圓錐曲線問題也是交匯與綜合的主陣地之一，通過圓錐曲線自身的特點，與相應的數學知識加以交匯，經常與數列、函數、三角函數、平面幾何、平面向量、導數等知識加以綜合，在這些知識的交匯點處巧妙地設計層次不同、難度可控的試題，既是考查各數學知識點間的綜合應用，也是考查綜合能力的一大場所，是歷年高考試卷中創新與綜合的熱點之一.

2.圓錐曲線的命題趨勢

高考命題的趨勢：圓錐曲線與直線、圓、平面向量、數列、函數以及實際應用的綜合問題等.從這幾年的高考題中可以看出考查這些方面的綜合性越來越強，靈活性越來越大，知識內容的考查也頗具深度.

四、圓錐曲線復習策略與教學建議

1.加強數學思想和數學方法的復習

在圓錐曲線問題中，要加強數形結合、分類討論、函數與方程、化歸與轉化等思想的應用，在解題過程中要加以訓練與綜合.

2.加強圓錐曲線與相關知識綜合的應用

根據近幾年高考的命題熱點與趨勢，圓錐曲線在集中交匯直線、圓的相關知識的基礎上，還要注意其與函數、方程、不等式、三角函數、平面幾何、平面向量以及導數等相關知識的交匯與綜合，加強相關訓練，全面提升綜合能力與應用能力.

3.加強圓錐曲線常見五類綜合問題的應用

在綜合問題中，圓錐曲線問題往往是多個交匯問題綜合在一起，一般常見的綜合問題有：軌跡問題、弦問題、參數問題、最值與定值問題以及創新問題.

（1）軌跡問題

求解曲線的軌跡方程是高考的熱點之一.而結合直線與圓錐曲線方程的綜合軌跡問題，更是實現了對學生理解數學思想方法的水平和分析問題能力的考查，如數形結合、分類討論等重要的思想方法，代數運算、恒等變形的能力以及與圓錐曲線方程有關的知識和規律的掌握情況，所以一般都是比較難的綜合題，因而一直是高考命題的熱點問題.

（2）弦問題

弦問題中比較常見的有弦長問題、中點弦問題、弦的最值問題等.此類問題往往可以通過轉化，把幾何問題代數化，再結合“根與系數的關系”來處理.同時注意弦長公式的應用、中點弦的“點差法”的應用等.

（3）參數問題

參數問題中比較常見的有方程問題、對稱問題等，經常通過直線與圓錐曲線的位置關系來加以巧妙地設置，或是通過圓錐曲線的參數方程來轉化，再根據相關條件來判斷相應的參數問題.

（4）最值與定值問題

最值與定值問題往往通過圓錐曲線的位置關系、參數問題等來設置，包括代數式的最值與定值，數量積的最值與定值，定點、定直線以及定角度等相關問題.

（5）創新性問題

對于創新性問題，變化比較大，往往是在前面四類問題的基礎上加以合理設置“新面孔”來進行創新，注意從基本知識入手，通過圓錐曲線的定義、標準方程與幾何性質等基本條件，結合相關知識加以創新與應用。注意數形結合思想、化歸與轉化思想的應用，通過圖形的直觀性以及等價轉化等思維幫助分析解決問題．W