“1”的加減乘除

☉湖北省棗陽市第一中學 陳剛明

“1”在高中數學的不同章節中有著不同的等量代換形式，靈活使用“1”的加減乘除運算能夠使高中數學中的相關運算達到“柳暗花明又一村”的效果.現舉例說明：

一、“1”的加法

例1計算的值.

解：原式

例2求的值.

解：

以上兩個例子均采用的方法是在所求式子的首項前加“1”，配湊后使用相關性質進行計算.

二、“1”的減法

例3（2013年新課標全國2理）設a=log36，b=log510，c=log714，則（ ）.

解析：本例中要比較的三個數都形如“loga2a”，由對數函數的性質loga2a=loga2+logaa=loga2+1可知，把每個數都減去“1”，還得“廬山真面目”，即a=log36=1+log32，b=log510=1+log52，c=log714=1+log72，則只要比較log32，log52，log72的大小即可.在同一直角坐標系下作出函數圖像，由三個函數圖像的相對位置關系，可知a＞b＞c，故選D.

例4在數列{an}中，當n≥2，n∈N*時，an=2an-1-1，且a1=2，求數列{an}的通項公式.

解：由an=2an-1-1可得，an-1=2（an-1-1），

所以{an-1}構成以a1-1為首項，2為公比的等比數列.

所以an-1=1·2n-1=2n-1.

所以an=2n-1+1.

點評：本例中在原等式的兩邊同時減去“1”，把遞推數列化歸為等比數列，進而求出數列{an}的通項公式.

三、“1”的乘法

例5已知x，y＞0且x+2y=1，求的最小值.

解：因為x+2y=1，

例6已知f（x）是定義在［-1，1］上的奇函數，若m，n∈［-1，1］，m+n≠0時，有，證明：（fx）在［-1，1］上是增函數.

證明：任取-1≤x1＜x2≤1，則

因為-1≤x1＜x2≤1，所以x1+x2≠0.

所以f（x）在［-1，1］上是增函數.

例7求函數的值域.

解：函數的定義域為［0，+∞），

四、“1”的除法

例8已知tanα=2，求sinαcosα+sin2α的值.

解 ：

點評：本例中把sinαcosα+sin2α除以sin2α+cos2α=1轉化為齊次式，分子分母再同時除以cos2α，使得問題得解.

例9函數f（x）的圖像如圖1所示，下列數值排序正確的是（ ）.

圖1

解：f′（2），f′（3）分別是x為2，3時圖像上對應點處的切線斜率，因為，所以（f3）-（f2）是圖像上x分別為2和3時所對應的兩點連線的斜率，故選B.

點評：本例中把f（3）-f（2）除以3-2=1，使得f（3）-f（2）具有明確的幾何意義（兩點連線的斜率），然后從幾何圖象就可以判斷出它們的大小關系.