挖掘幾何直觀背景 探索函數(shù)問(wèn)題解決

☉江蘇省南菁高級(jí)中學(xué) 過(guò)家福

函數(shù)是認(rèn)識(shí)和刻畫世界、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要知識(shí)工具，是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容，同時(shí)也是高考中最重要的考查內(nèi)容之一．眾所周知，函數(shù)具有豐富的代數(shù)特征，數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)的培養(yǎng)均可以在函數(shù)的教學(xué)過(guò)程以及函數(shù)問(wèn)題的解決過(guò)程中得到充分的呈現(xiàn)，同時(shí)函數(shù)圖像也蘊(yùn)含了諸多幾何性質(zhì)，在實(shí)際教學(xué)和解題中注重挖掘和滲透幾何直觀背景，這對(duì)培養(yǎng)直觀想象這一核心素養(yǎng)也是至關(guān)重要的．在研究和解決函數(shù)問(wèn)題時(shí)，若能將函數(shù)的幾何特征與代數(shù)運(yùn)算相結(jié)合，那必定能起到相得益彰、事半功倍的效果．

縱觀近幾年的一些高考函數(shù)真題，常常面目溫和、表述簡(jiǎn)潔、易于入手而難以深入，能夠體現(xiàn)出高考試題命制過(guò)程中對(duì)不同思維層次、不同能力的遞進(jìn)要求，函數(shù)問(wèn)題是具有較強(qiáng)的選拔功能的熱點(diǎn)考查素材．若考試僅僅從代數(shù)角度出發(fā)，通過(guò)分類討論等方法“暴力”地進(jìn)行計(jì)算，難免會(huì)耗時(shí)、費(fèi)力且過(guò)程煩瑣．反之，若能充分挖掘函數(shù)的幾何背景，緊扣函數(shù)的“數(shù)、形”兩面性，往往能收到“柳暗花明又一村”的效果．本文以近幾年江蘇、浙江的高考試題為例，與大家一起探討．

一、以形切入

問(wèn)題1：已知λ∈R，函數(shù)當(dāng)λ=2時(shí)，不等式f（x）＜0的解集是______；若函數(shù)f（x）恰有2個(gè)零點(diǎn)，則λ的取值范圍是______．

分析：此題要求能正確地理解分段函數(shù)的意義，分析圖像變化的特點(diǎn)．顯然，在函數(shù)解析式確定的前提下，我們可以從圖形的視角直接切入，作出函數(shù)的圖像，并在動(dòng)態(tài)變化的過(guò)程中尋求λ的取值．

圖1

圖2

（1）如圖1，當(dāng)λ=2時(shí)，從圖形中明顯可以得到f（x）＜0的解集是（1，4）．

（2）如圖2，分類討論當(dāng)λ在變化時(shí)，函數(shù)零點(diǎn)的變化情況．

①當(dāng)λ≤1時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)1＜λ≤3時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)3＜λ≤4時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)；④當(dāng)λ＞4時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).

若函數(shù)f（x）恰有2個(gè)零點(diǎn)，則λ的取值范圍是（1，3］∪（4，+∞）．

說(shuō)明：從核心素養(yǎng)的角度來(lái)說(shuō)，本題主要涉及數(shù)學(xué)學(xué)科中的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)．第（1）問(wèn)可直接解不等式得到x的解集，亦可作出分段函數(shù)的函數(shù)圖形，通過(guò)觀察函數(shù)零點(diǎn)的位置來(lái)得到解集．本小題主要考查學(xué)生對(duì)基本知識(shí)與基本方法的掌握．第（2）問(wèn)隨λ值的變化，分段函數(shù)的圖像也會(huì)發(fā)生相應(yīng)的動(dòng)態(tài)變化．考生需要理解圖像動(dòng)態(tài)變化的過(guò)程，這種直觀想象的過(guò)程必須在日常教學(xué)中進(jìn)行滲透，方可讓學(xué)生在考試中做到有備無(wú)患．本題綜合而言難度不是很大，解答思路也比較直接，教師在教學(xué)中需要不斷進(jìn)行滲透及強(qiáng)化，讓學(xué)生做到不丟分．

二、整體代換

問(wèn)題2：已知t為常數(shù)，函數(shù)y=|x2-2x-t|在［0，3］上的最大值為2，則t=______．

分析：本題的絕對(duì)值中為二次函數(shù)，若對(duì)二次函數(shù)的正負(fù)性進(jìn)行討論，其對(duì)考生邏輯思維的要求相當(dāng)高．筆者曾經(jīng)做過(guò)測(cè)試，發(fā)現(xiàn)學(xué)生都是從討論二次函數(shù)的視角逐一分析，這樣的困難在于小題大做，大大浪費(fèi)了時(shí)間，而且違背了命題者真正的意圖．其實(shí)從整體換元的角度入手，可以將其降維到數(shù)軸上，利用一維絕對(duì)值來(lái)解決問(wèn)題．令s=x2-2x∈［-1，3］，即將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y=|s-t|，s∈［-1，3］，y的最大值為2，求t的值．如圖3，易得t=1．

圖3

問(wèn)題3：已知a∈R，函數(shù)在區(qū)間［1，4］上的最大值是5，則a的取值范圍是______．

分析：本題與問(wèn)題2類似，通過(guò)換元變復(fù)雜函數(shù)為簡(jiǎn)單函數(shù)，通過(guò)絕對(duì)值的幾何意義，即距離對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解答．令，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=|t-a|≤5-a在t∈［4，5］上恒成立.顯然，當(dāng)a＞5時(shí)不成立；當(dāng)a≤5時(shí)，即y=|t-a|≤|5-a|，如圖4，易得

圖4

說(shuō)明：?jiǎn)栴}2、問(wèn)題3呈現(xiàn)的是學(xué)生最為恐懼的題型，分別在二次函數(shù)和對(duì)勾函數(shù)外加上了絕對(duì)值，伴隨著參數(shù)的變化，函數(shù)圖像便發(fā)生了較為復(fù)雜的變化.本題型除了呈現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科中的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)以外，還包含著對(duì)邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng).學(xué)生在解決此類問(wèn)題時(shí)，若采用直接作圖的形式，顯然是行不通的.本題型的核心便是理解|x-a|即為數(shù)軸上橫坐標(biāo)為x的點(diǎn)與橫坐標(biāo)為a的點(diǎn)之間的距離.通過(guò)邏輯分析對(duì)進(jìn)行換元，將二維圖形抽象到一維數(shù)軸上來(lái)，再通過(guò)“距離”便可輕易解答.這樣的邏輯推理與數(shù)學(xué)抽象需要學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)有全面的認(rèn)識(shí)和靈活運(yùn)用的能力，教師在教學(xué)中更需要重視對(duì)學(xué)生思維的培養(yǎng)，重視學(xué)生思想方法的發(fā)生、生成、內(nèi)化和升華的過(guò)程，這是數(shù)學(xué)基本功中的“內(nèi)力”，并非一朝一夕能夠改變的，需要細(xì)水長(zhǎng)流，才能讓核心素養(yǎng)得以落實(shí).

三、心中有圖

問(wèn)題4：若函數(shù)f（x）=x2+ax+b在區(qū)間［0，1］上的最大值為M，最小值為m，則M-m（ ）.

A.與a有關(guān)，且與b有關(guān) B.與a有關(guān)，但與b無(wú)關(guān)

C.與a無(wú)關(guān)，且與b無(wú)關(guān) D.與a無(wú)關(guān)，但與b有關(guān)

分析：本題是一道含有兩個(gè)參數(shù)的二次函數(shù)問(wèn)題，若考生通過(guò)對(duì)稱軸在［0，1］區(qū)間內(nèi)進(jìn)行分類討論，那么作為一道選擇題，其計(jì)算量就過(guò)大了.如果考生能夠熟練地掌握函數(shù)的圖像特征，那么只需從幾個(gè)最值點(diǎn)入手，便可快速地解決問(wèn)題.因?yàn)樽钪翟趂（0）=b，f（1）=1+a+中取得，所以最值之差一定與b無(wú)關(guān).所以答案是B.

問(wèn)題5：已知函數(shù)

（1）若f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）處導(dǎo)數(shù)相等，證明：f（x1）+f（x2）＞8-8ln2；

（2）若a≤3-4ln2，證明：對(duì)于任意k＞0，直線y=kx+a與曲線y=f（x）有唯一公共點(diǎn).

分析：本題的函數(shù)由兩個(gè)最常見(jiàn)的函數(shù)組成，第（1）問(wèn)為中檔題，證明一個(gè)條件不等式，思路較為常規(guī).第（2）問(wèn)有清晰的幾何背景，可以從多個(gè)角度思考，考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，體現(xiàn)了很好的區(qū)分度，為部分學(xué)生搭建了展示自己實(shí)力的舞臺(tái).本題是2018年浙江卷最后一道解答題，本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)求解的基本知識(shí)以及利用導(dǎo)數(shù)解決復(fù)雜函數(shù)的能力.從問(wèn)題的層次來(lái)說(shuō)，難度適度、循序漸進(jìn)，第（1）問(wèn)從基本層面入手，利用抽象獲得第（2）問(wèn)的研究思路則較為開(kāi)闊，是區(qū)分學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力素養(yǎng)的一道不錯(cuò)的試題.相比2017年浙江卷最后一道數(shù)列不等式的壓軸題來(lái)看，回歸到函數(shù)導(dǎo)數(shù)知識(shí)，凸顯了兩重優(yōu)勢(shì)：第一，命題者可以有更為寬闊的命題思路，容易命制更好的試題；第二，學(xué)生可以有不同的、多角度的切入視角，不同的學(xué)生能用不同的方式去思考，體現(xiàn)了廣泛的入口，做到了不同層次的區(qū)分.

圖5

說(shuō)明：?jiǎn)栴}4由于含有雙參數(shù)a、b，學(xué)生若想直接作出函數(shù)圖像，則難度較大；若根據(jù)對(duì)稱軸的位置分別求出M-m的值，則解答過(guò)程比較煩瑣，不符合浙江省小題小做的考試風(fēng)格.其實(shí)學(xué)生只要做到心中有圖像，便可輕易得到最值在中取得，這對(duì)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)、直觀想象素養(yǎng)以及數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的要求較高.問(wèn)題5的關(guān)鍵在于將“直線y=kx+a與曲線y=f（x）有唯一公共點(diǎn)”轉(zhuǎn)化為與y=k兩個(gè)函數(shù)在x∈（0，+∞）上有唯一交點(diǎn)”，即將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“函數(shù)h（x）=的圖像單調(diào)且值域?yàn)椋?，+∞）”．雖然此題在解答過(guò)程中并未作出任何一個(gè)函數(shù)的圖像，但是卻以函數(shù)圖像的唯一交點(diǎn)為背景載體，需要學(xué)生具備較強(qiáng)的邏輯素養(yǎng)與抽象素養(yǎng)．

本文以高考函數(shù)題的解決為載體，從作出函數(shù)圖像來(lái)直接解決問(wèn)題到推理函數(shù)形狀以深入研究問(wèn)題，從直觀想象素養(yǎng)到邏輯推理素養(yǎng)層層深入，展現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的重要思想方法．?dāng)?shù)與形是相互交融、彼此聯(lián)系的，缺一不可．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)與形之間轉(zhuǎn)換與鏈接，有計(jì)劃地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的形成，為學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升奠定基礎(chǔ)．