雨后靜觀“題”意思
——對(duì)一道高考題的再研究

☉山東省昌邑市教研室 付世安

☉山東省單縣第一中學(xué) 衛(wèi)小國(guó)

一、試題呈現(xiàn)

（2017年全國(guó)Ⅰ卷理科第20題，下文簡(jiǎn)稱第20題）已知橢圓，四點(diǎn)P（11，1），P（20，1），中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.

（1）求C的方程；

（2）設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過定點(diǎn).

第20題內(nèi)涵豐富、背景深邃，文［1］進(jìn)行“一題多解、一題多變”，推廣得出一般性質(zhì)；文［2］改“斜率之和”為“斜率之積”略作論證.筆者研讀，收獲頗豐，卻頓生疑惑：“斜率之積為定值”與“直線過定點(diǎn)”等價(jià)嗎？性質(zhì)是否為圓錐曲線的統(tǒng)一性質(zhì)？筆者以斜率之積不為零且取圓錐曲線的右頂點(diǎn)為例，深入探究，終有所獲，現(xiàn)成文以供研討.

二、拓展研究

“斜率之積為定值”與“直線過定點(diǎn)”的充要條件的探究.

1.充要論證

命題1：設(shè)橢圓為橢圓的右頂點(diǎn)，直線l與橢圓相交于C，D兩點(diǎn)，且kAC、kAD分別為直線AC、AD的斜率，則直線l過定點(diǎn)的充要條件是kAC·kAD為定值.

證明：假設(shè)斜率之積為定值λ，易知直線l斜率為0時(shí)不符合.設(shè)與橢圓聯(lián)立，化簡(jiǎn)得（b2+

另一方面，設(shè)直線過x軸定點(diǎn)（n，0），即l：y=k（x-n），與橢圓聯(lián)立，化簡(jiǎn)得：

綜上所述，直線l過定點(diǎn)的充要條件是kAC·kAD為定值.

特別指出，若直線l與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí)，可得于是有如下結(jié)論：

定理1：設(shè)橢圓為橢圓的右頂點(diǎn)，直線l與橢圓相交于C，D兩點(diǎn)，且kAC、kAD分別為直線AC、AD的斜率，則直線l過x軸上定點(diǎn)的充要條件是為定值λ.

2.問題變式

斜率之積為定值與直線過定點(diǎn)的等價(jià)，在一般橢圓中是成立的.下面猜想在雙曲線、拋物線中的情形，并論證.

命題2：設(shè)雙曲線為雙曲線的右頂點(diǎn)，直線l與雙曲線相交于C，D兩點(diǎn)，且kAC、kAD分別為直線AC、AD的斜率，則直線l過x軸上定點(diǎn)的充要條件是為定值λ.

證明：假設(shè)斜率之積為定值λ，易知設(shè)直線l斜率為0時(shí)不符合.設(shè)與雙曲線聯(lián)立，化簡(jiǎn)得

另一方面，設(shè)直線過x軸定點(diǎn)（n，0），即l：y=k（x-n），此時(shí)類比橢圓同理可證.

于是在圓錐曲線中可以推廣至雙曲線，而在拋物線中的結(jié)論略有不同，更顯簡(jiǎn)潔.

命題3：拋物線y2=2px（p＞0），O為拋物線的頂點(diǎn)，直線l與拋物線相交于C，D兩點(diǎn)，且kOC、kOD分別為直線OC、OD的斜率，則直線l過定點(diǎn)的充要條件是kOC·kOD為定值λ.

證明：假設(shè)斜率之積為定值λ，易知直線l斜率為0時(shí)不符合.設(shè)l：y=kx+m，與拋物線y2=2px（p＞0）聯(lián)立可得：k2x2+（2km-2p）x+m2=0.

另一方面，設(shè)直線過x軸定點(diǎn)（n，0），即l：y=k（x-n）與拋物線y2=2px（p＞0）聯(lián)立可得k2x2-（2k2n+2p）x+k2n2=0，

于是有如下結(jié)論：

定理2：設(shè)拋物線y2=2px（p＞0），O為拋物線的頂點(diǎn)，直線l與拋物線相交于C，D兩點(diǎn)，且kOC、kOD分別為直線OC、OD的斜率，則直線l過定點(diǎn)的充要條件是為定值λ.

三、命題應(yīng)用

上述結(jié)論揭示了圓錐曲線內(nèi)“斜率定積，線過定點(diǎn)”的優(yōu)美性質(zhì)，闡釋了“化動(dòng)為靜，以靜制動(dòng)”的思想方法.而且借助變式，不難解答以下問題.

題1（人教B版選修2-1第73頁(yè)教材習(xí)題）過拋物線的頂點(diǎn)O作互相垂直的弦OA和OB.

求證：弦AB與拋物線的對(duì)稱軸相交于定點(diǎn).

簡(jiǎn)解：設(shè)拋物線方程為y2=2px（p＞0），根據(jù)kOA·kOB=-1，根據(jù)定理2，容易求得定點(diǎn)為（2p，0）.

題2（2013年卓越聯(lián)盟自主招生考試）設(shè)橢圓的離心率為，斜率為k的直線l過點(diǎn)E（0，1）且與橢圓交于C，D兩點(diǎn).

（2）設(shè)A為橢圓的下頂點(diǎn)，kAC、kAD分別為直線AC、AD的斜率，證明：對(duì)任意的k，恒有kAC·kAD=-2.

簡(jiǎn)解：（2）類比橢圓命題定理1，當(dāng)A為橢圓的下頂點(diǎn)時(shí)，直線l恒過y軸定點(diǎn)

把a(bǔ)2=6，b=2，yE=1代入得，λ=-2.命題得證.

題3（2018年浙江教育評(píng)價(jià)聯(lián)盟）設(shè)橢圓=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.

（1）略.

（2）設(shè)過點(diǎn)F1的直線l與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，試問是否存在x軸上定點(diǎn)M，使得MC，MD的斜率之積為定值？若存在，求出定值與定點(diǎn)；若不存在，說明理由.

簡(jiǎn)解：橢圓直線CD交x軸于定點(diǎn)（-1，0）.

當(dāng)M為橢圓右頂點(diǎn)（2，0）時(shí)，有

此時(shí)，定點(diǎn)為（-2，0），MC，MD的斜率之積為