放縮法在數列不等式證明中的應用

☉湖北省武漢市建港中學 陳遠秀

一、考情分析

1.關注以下幾個遞推關系

（1）已知a1，且an+1=pan+q（p，q為常數）；

（2）已知a1，且an+1=pan+f（n）（p為常數，f（n）為一次函數、二次函數或指數函數）；

（3）已知a1，且an+1=f（n）an；

（4）已知a1，且（a，b，c，d為常數）；

（5）已知a1，a2，且an+2=pan+qan+1（p，q為常數）.

2.在解決數列與不等式問題時，常常會用到以下放縮模型

（3）利用一個不等式的恒成立問題“若a＞1，b＞0，c＞0且a＞b時，不等式對n≥m且m，n∈N*恒成立，求實數λ的取值范圍”進行放縮.

上面這個不等式恒成立模型可拓展成：“若a＞1，b＞0，c＞0且a＞b時，不等式對n≥m且m，n∈N*恒成立，求實數λ的取值范圍”，用同樣的方法來操作即可求解.

二、考題再現

1.（2015年浙江高考數學理）已知數列{an}滿足且an+1=an-an2（n∈N*）.

（2）設數列{an2}的前n項和為Sn，證明：

2.（2015年重慶高考數學理）在數列{an}中，a1=3，an+1an+λan+1+μan2=0（n∈N*）.

（1）若λ=0，μ=-2，求數列{an}的通項公式；

三、典例探討

例1已知數列{an}的前n項和Sn，滿足：an+Sn=1.（1）求數列{an}的通項公式.

解：（1）由an+Sn=1退一位得an-1+Sn-1=1（n≥2），兩式相減可得：2an=an-1，

所以數列{an}為等比數列.所以

①當n=1時

當n≥2時所以當n≥2時，Tn=c1+c2+c3+…+cn≤1+

②當n=1時

當n≥2時，

當n≥3時，令

所以當n≥3時

所以當n≥3時

例2設數列{an}滿足a1=a，an+1an-an2=1（n∈N*）.

（1）若，求實數a的值；

因為，所以可得

若，則a無實數解，

由a2=2可得a=1成立，所以a=1.

（2）因為當n≥2時

所以當n≥2時

所以an2≥2+2（n-1），即an2≥2n.

所以

因為an2≥2n，所以當n≥2時