對2019年武漢市高三二月調考理科第20題的探究與思考

☉湖北省武漢市第二中學 張鵠

☉湖北省武漢市教育科學研究院 孔 峰

☉湖北省武漢市黃陂區第一中學盤龍校區 李紅春

2019年武漢市高中畢業生二月調研測試理科試卷，嚴格遵照課程標準和考試說明的要求進行命制，體現了“覆蓋面廣、難易適中、小巧靈活、貼近高考、突出能力”等方面的命題風格.各類題型背景熟悉，載體簡單，蘊含豐富，給人以自然、流暢、質樸、和諧的深刻印象.其中理科第20題直線與橢圓的綜合問題，命題立意高、構思精巧、蘊含著豐富的高等背景，凸顯了射影幾何性質初等化的轉化思想，考查了學生的數學運算、邏輯推理等數學核心素養能力，其既體現了數學的本質，又讓人感受到了命題者的深度思考.為了便于領會命題意圖，本文擬從解法推廣到背景揭示等方面進行解讀，供同仁參考.

一、試題及評析

題目武漢市2019屆高中畢業生二月調研測試理科第20題：

（1）求橢圓Γ的標準方程.

（2）過點P（1，0）作直線交橢圓Γ于A，B兩點，點Q為平面上一點，直線QA，QB，QP的斜率分別是k1，k2，k0，且k1+k2=2k0.問：點Q是否在某條定直線上運動，若存在，求該直線方程；否則，請說明理由.

試題表述簡潔，問題設計層次分明，難易梯度合理，解法靈活多樣.第一問屬于封閉問題類型，強調基本方法的運用；第二問體現開放問題特征，強化探究運算思路，選擇運算方法，彰顯了數學運算與邏輯推理在探究和表述論證過程中深度融合的特征.本題的設計目的清晰地表明解析幾何的復習備考應重在引導考生掌握基礎知識，形成扎實且全面的學科核心素養.

二、變式推廣

本題的第二問是整個題目命制的亮點，對它的引申推廣就成了水到渠成的過程.經思考，得到如下一些結論：

結論1：過點P（m，0）（m≠0）作直線l：y=k（x-m）與橢圓交于 ，兩點，為平面上一動ABQ點，直線QA，QB，QP的斜率分別是k1，k2，k0，且k1+k2=2k0，則點Q的軌跡方程是

證明：設點則

運用上述證明方法易得下面的結論2和3：

結論2：過點P（m，0）（m≠0）作直線l：y=k（x-m）與雙曲線交于 ，兩點，為平面上一動ABQ點，直線QA，QB，QP的斜率分別是k1，k2，k0，且k1+k2=2k0，

則點Q的軌跡方程是

結論3：過點P（m，0）（m≠0）作直線l：y=k（x-m）與拋物線Γ：y2=2px（p＞0）交于A，B兩點，Q為平面上一動點，直線QA，QB，QP的斜率分別是k1，k2，k0，且k1+k2=2k0，則點Q的軌跡方程是x=-m.

三、背景揭示

追蹤試題的命題軌跡，探尋試題的命題背景，有助于提升思維高度，開闊視野，促進教師向著更加深刻的專業化發展.

借助調和點列和調和線束等相關概念可以深刻揭示本題的命題思路與背景.作為一名中學數學教師，應當了解這方面的相關知識，以便更好地解答學生的疑問：為什么是這樣的結論？進而才能識破題目的神秘面紗，解析試題的內在背景，并最終把握試題的命題規律.

1.射影幾何中關于二次曲線的有關概念和定理

定義：如圖1所示，設點Q是不在平面二次曲線上的一點，過點Q引兩條割線依次交曲線于點E，F，G，H，連接EH，FG，交于點P，連接EG，FH，交于點N，則直線PN為點Q對應的極線.若Q為曲線上的點，則過點Q的切線即為極線.同理，直線QN為點P對應的極線.

圖1

定理：（1）當點P為二次曲線Γ上的點時，則點P的極線是二次曲線在點P處的切線；

（2）當點P為二次曲線Γ外的點時，過點P作二次曲線Γ的切線，切點分別為A，B，則點P的極線是直線AB；

（3）當點P為二次曲線Γ內的點時，過點P任作割線交二次曲線Γ于A，B，設曲線Γ在A，B處的切線交于點Q，則點P的極線即為點Q的軌跡.

2.借助高觀點思想方法審視試題解題過程

這里不妨假設二次曲線為橢圓，對于其他二次曲線可作類似討論.

圖2

首先，考查特殊情形，當過點P的直線為x軸時，如圖2所示，不妨設點Q在第一象限，則

k+k=2k?QH+QH=2·QH 120A HB HPH?PH+PH=2?AH-AP+PB+BH=2 A HB HA H BH?PB-AP=0?AH=AP.BHA HHBPB

這說明點P，H調和分割線段AB，其分割比為1，因此有

其次，當過點P的直線斜率存在且不等于0時，如圖3所示，

圖3

這說明點P，H調和分割線段A1B1，從而分割比為1，同上有

另外，當點P、點Q分別位于焦點和準線與x軸的交點時，即為2018年全國Ⅰ卷理科第20題第二問的情形.

由此可見，此類問題是射影幾何中調和點列和調和線束的初等化表現.弄清它們之間的內在聯系，有助于我們揭示本質，拓展認識，更有助于我們在教學中舉一反三以培養學生的類比思維能力和發散思維能力，提升學生的數學素養.F