對2018年全國卷Ⅲ理科21題（Ⅱ）的質疑*

☉四川內江師范學院數(shù)學與信息科學學院 劉成龍

☉四川省瀘州市瀘州高級中學 呂榮春

百度百科對質疑的解釋是提出疑問.提出疑問是創(chuàng)新的重要表現(xiàn)，敢于質疑是科學研究的良好品格.有質疑、有爭鳴才能喚醒固化的思維，才能在碰撞中閃現(xiàn)智慧的火花.2018年全國卷Ⅲ理科第21題（下文簡稱21題）無論是參考答案，還是試題命題上都存在值得質疑的地方，本文將從四個角度對21題提出質疑.

一、試題再現(xiàn)

已知函數(shù)f（x）=（2+x+ax2）ln（x+1）-2x.

（Ⅰ）若a=0，證明：當-1＜x＜0時，f（x）＜0；當x＞0時，f（x）＞0.

（Ⅱ）若x=0是f（x）的極大值點，求a.

二、四點質疑

質疑之一：證明過程嚴謹嗎？

答案是試題的重要組成部分.考試中心提供的（Ⅱ）的參考答案（華西都市報刊登）有不妥之處，為了行文方便先摘錄如下：

（Ⅱ）（?。┯桑á瘢┲?，當x＞0時，f（x）＞（2+x）ln（1+x）-2x＞0=f（0），這與x=0是f（x）的極大值點矛盾.（ⅱ）若a＜0，設函數(shù)由于當時，2+x+ax2＞0，故h（x）與f（x）的符號相同.又h（0）=f（0）=0，故x=0是f（x）的極大值點當且僅當x=0是h（x）的極大值點.

如果6a+1＞0，則當，且時，h′（x）＞0，故x=0不是h（x）的極大值點.

如果6a+1＜0，則a2x2+4ax+6a+1=0存在根x1＜0，故當時，且時，h（′x）＜0，所以x=0不是h（x）的極大值點.

如果6a+1=0，則

當x∈（-1，0）時，h′（x）＞0；當x∈（0，1）時，h′（x）＜0.所以x=0是h（x）的極大值點.綜上

疑問：上述證明中利用“2+x+ax2＞0，h（x）與f（x）具有相同的極大值點x=0.”的依據(jù)是什么呢？是顯然的嗎？我們認為這并不顯然.事實上，若m為大于零的常數(shù)，則具有相同的極值點，這是顯然的，但2+x+ax2為大于零的變量，此時h（x）與f（x）還具有相同的極值點嗎？這需要證明，但參考答案并沒有給出解釋，且這個“結論”在中學教材上也找不到根據(jù).解答上述“結論”需要借助以下引理：

已知函數(shù)f（x）滿足f（0）=0，函數(shù)g（x）滿足：存在δ＞0，使得對任意的x∈（0，δ），都有g（x）＞0恒成立，令h（x）=，則x=0是（fx）的極大值點的充要條件是x=0是h（x）的極大值點.

這個引理的證明，需要深刻理解鄰域的概念及符號的表達，而高中生沒有接觸過鄰域的概念，更談不上運用符號語言進行證明，所以看似顯然的結論其實并不顯然.

因此，21題第（Ⅱ）問的參考答案不嚴謹.

質疑之二：試題背景公平嗎？

試題背景指命題時選取素材中含有的知識、模型、問題、思想和方法，這些知識、問題、思想和方法稱為數(shù)學背景.我們不禁要問該試題背景公平嗎？

21題含有豐富的高等數(shù)學背景，借助高等數(shù)學工具能夠快速解答，比如：借助極值點的第二充分條件，由f（3（）0）=0且f（4（）0）＜0可得又如，根據(jù)極大值點的定義：當x∈（0，δ）時，f′（x）＜0，因為δ可以無限趨近于0，可直接使用洛必達法則，得，同理可得進而得到；再如，由y=ln（x+1）在（1，2）階的帕德逼近函數(shù)為，結合函數(shù)表達式可直接看出答案為很明顯熟悉高等數(shù)學背景的同學解答本題幾乎沒有什么障礙，但因不熟悉高等數(shù)學背景而使用初等解法求解卻難于上青天.

因此，21題第（Ⅱ）問背景明顯不公平.

質疑之三：試題選拔功能真的好嗎？

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》指出：“高考是我國最為重要的選拔性考試，數(shù)學高考命題應依據(jù)人才選拔的要求，發(fā)揮數(shù)學高考的選拔功能.”［1］我們不禁要問21題的選拔功能真的好嗎？

從對考生的訪談來看，絕大部分考生認為試題太難，不知道怎么下手；從對教師的訪談來看，多數(shù)教師認為試題解答涉及精妙的構造，有濃濃的大學數(shù)學分析味道，以至于所給的參考答案很難看懂；從閱卷場反饋的信息來看，某省近30萬理科考生近乎無人用初等解法做對，且用高等解法做對的不足30人，可見，用初等解法做對的比例幾乎為零，用高等解法做對的比例也不足萬分之一.不難看出，就算是運用高等解法解答正確的比例也遠遠低于“名?！钡恼袖洷壤踔恋陀凇耙槐尽钡恼袖洷壤@然以此來選拔人才不具有科學性和合理性.同時，從試題命制層面上看，21題難度系數(shù)遠低于0.2，按考試大綱規(guī)定難度在0.2以下的試題不宜出現(xiàn)在試卷中.

因此，21題第（Ⅱ）問不具備良好的選拔功能.

質疑之四：試題的導向功能好嗎？

高考試題具有數(shù)學測評、科研選題、命題示范、知識延展、思維訓練、思想承載、教學導向和德育滲透等功能.［2］21題對2019年的復習備考有何啟示呢？2019年的高考復習我們應何去何從？高三復習是否需要命制偏難怪試題？高三復習是否需要補充高等數(shù)學相關知識？等等.基于前文的分析，21題有引導高三復習補充高等數(shù)學知識之嫌，當然這與中學數(shù)學的教學實際不相符.同時，21題也有引導用偏難怪選拔人才之意，這與數(shù)年來高考選拔人才的方式相悖.

因此，21題第（Ⅱ）問不具備良好的導向功能.

三、對命制壓軸題的一點思考

高考壓軸題具有選拔功能無可厚非，但試題的難度不能肆意拔高，試題的背景理應公平，試題的立意不能脫離實際，試題應具有良好的導向功能.對此，我們認為命題應該做到以下幾點：

首先，試題應該具有公平的背景，這是試題命制的前提，否則將失去考查的意義；其次，命制試題是一個嚴謹?shù)倪^程，尤其是像高考這樣的重大考試，試題及答案均應該精心打磨，不應出現(xiàn)爭議；再次，試題的立意應該符合中學數(shù)學的教學實際，要具有良好的導向功能；最后，高考的選拔功能要適度，要切實有利于為高校選拔一批人才.

總之，高考壓軸題——想說愛你不容易應是常態(tài)，而高考壓軸題——想說愛你不可能應該杜絕.