面朝大海，春暖花開
——一道江蘇模擬試題的探究

☉江蘇省常熟中學 曹正清

圓錐曲線的定值問題一直是高考數學的常見題型之一，也是備受命題者、老師與學生關注的焦點之一，難度一般為中等及中等偏上.圓錐曲線的定值問題充分體現出動與靜的完美統一，是解析幾何知識的綜合與交匯問題，其背景生動，內容豐富，綜合性較強，趣味性也較強，充分將函數與解析幾何融為一體，要求有較強的綜合能力與應變能力，充分考查學生的數學能力與素養.

一、問題呈現

問題（2019屆江蘇省徐州市高三12月月考）如圖1所示，在平面直角坐標系xOy中，過橢圓的左頂點A作直線l，與橢圓C和y軸正半軸分別交于點P，Q.

圖1

（1）若AP=PQ，求直線l的斜率；

（2）過原點O作直線l的平行線，與橢圓C交于點M，N，求證：為定值.

本題以橢圓為問題背景，通過巧妙設置以線段長度相等的條件來確定對應的直線斜率，又以平行線的關系來巧妙設置直線MN，通過點P的運動帶動點Q與直線MN的運動，進而求證線段的比值為定值.背景簡單，立意新穎，思想豐富，知識融合，動靜結合，實屬難得，具有非常好的學習、觀摩、研究、拓展的價值.

二、問題解決

解析：（1）分析1：設出點Q的坐標，利用中點的坐標公式確定點P的坐標，代入橢圓C的方程確定相應的參數值，再利用直線的斜率公式即可求解對應的斜率.

方法1：依題意，橢圓C的左頂點A（-2，0），設Q（0，m）（m＞0），由AP=PQ，可得

代入橢圓

解得（負值舍去）.

所以直線l的斜率為

分析2：設出直線l的斜率，進而確定對應的直線方程，并與橢圓C的方程聯立，通過二次方程的轉化，利用根與系數的關系來確定點P的橫坐標xP，利用線段的關系得到xP=-1，進而得以求解對應的斜率.

方法2：依題意，橢圓C的左頂點A（-2，0），

設直線l的斜率為k（k＞0），點P的橫坐標為xP，

則直線l的方程為y=k（x+2）， ①

又橢圓

聯立①②得（4k2+1）x2+16k2x+16k2-4=0，

則，從而

因為AP=PQ，所以xP=-1，

所以，解得（負值舍去）.

（2）分析1：先根據直線l的方程確定點Q的坐標，利用兩點間的距離公式確定AQ，通過聯立方程組，并借助根與系數的關系，以及弦長公式分別求解AP與MN的值，代入對應的比值關系式并化簡即可得以證明.

證法1：設直線l的斜率為k（k＞0），則直線l的方程為y=k（x+2），

令x=0，得y=2k，則Q（0，2k），

可得

聯立方程組消元可得

則

可得

由題可知直線MN的方程為y=kx，

分析2：設出直線l的方程，通過聯立方程組，并借助根與系數的關系，結合點A的橫坐標得到xP的關系式，同理得到xN的關系式，利用對應的比值關系式所對應的線段長度轉化為其在x軸上的射影的對應比值，進而加以化簡即可得以證明.

證法2：依題意，橢圓C的左頂點A（-2，0），

設直線l的斜率為k（k＞0），點P的橫坐標為xP，

則直線l的方程為y=k（x+2）， ①

聯立①②得，（4k2+1）x2+16k2x+16k2-4=0，

設點N的橫坐標為xN，則直線MN的方程為y=kx，③

通過取極端位置，以特殊情況來確定一般條件下的定值問題.利用點P與點Q重合的極端位置來加以分析，可以有效減少復雜的計算，得以簡單化證明.但在實際解決此類解答題時很少用，可以用來引導思維或者在解決小題時采用.

取極端位置，令P與Q重合，此時Q（0，1），可得AP·AQ=AQ2=4+1=5，

可得直線l的斜率為，直線MN的方程為

從而，即證.

三、問題探究

探究1：通過改變題目中的橢圓方程為一般形式，可得以下變式

變式1：如圖1所示，在平面直角坐標系xOy中，過橢圓的左頂點A作直線l，與橢圓C和y軸正半軸分別交于點P，Q.過原點O作直線l的平行線，與橢圓C交于點M，N，試求證為定值

證明：依題意，橢圓C的左頂點A（-a，0），

設直線l的斜率為k（k＞0），點P的橫坐標為xP，

則直線l的方程為y=k（x+a）， ①

令x=0，得y=ka，則Q（0，ka），

聯立①②得，（a2k2+b2）x2+2a3k2x+a2（a2k2-b2）=0，

又直線MN的方程為y=kx， ③

四、結論拓展

其實，把相應的橢圓問題深入拓展到圓、雙曲線之中，也有類似的結論.

探究2：通過改變題目中的橢圓方程為圓的方程，可得以下結論

結論1：在平面直角坐標系xOy中，過圓C：x2+y2=r2（r＞0）與x軸負半軸的交點A作直線l，與圓C和y軸分別交于點P，Q.過原點O作直線l的平行線，與圓C交于點M，N，則有為定值

具體的推導過程可以結合以上的解析思路加以分析與證明.

探究3：通過改變題目中的橢圓方程為雙曲線的方程，可得以下結論

結論2：在平面直角坐標系xOy中，過雙曲線的左頂點A作直線l，與雙曲線C的另一支和y軸分別交于點P，Q.過原點O作直線l的平行線，與雙曲線C的兩支分別交于點M，N，則有為定值

具體的推導過程可以結合以上的解析思路加以分析與證明.

其實，在探究圓錐曲線中的定值問題時，往往可以發現點、直線、圓、圓錐曲線等知識之間的內在聯系與規律，從而加強對相關內容的正確理解與掌握，有助于數學解題能力與應用能力的提高，真正達到提升數學能力，拓展數學素養的目的.F