題組引領 變式鞏固 思維對話
——以高三一輪基本不等式復習為例

☉江蘇省張家港高級中學 徐 艷

專題復習是高三數學教學的重要環節，通過復習可以摸清學生學情、糾正學生錯誤、幫助學生提高分析問題和解決問題的能力；鞏固、梳理、整合學生已學過的知識，將零散的知識系統化、結構化，完善認知，促進學生解題思想方法的形成，提升學生的綜合素養；診斷出教師在教學中的薄弱環節，查漏補缺，以明確下一階段努力的目標.本文以高三一輪復習中的“基本不等式專題”為例，談談如何利用題組及變式進行高效復習的探索與嘗試.具體做法如下：

一、題組引領，鞏固四基

教師首先要在課前精心設計復習題組，認真仔細地篩選題目.要分析所選題目的設計意圖是什么？是否符合新課程標準的理念？難易程度是否符合本班學生的實際學情？是否覆蓋到了相關的重要知識點和考點？是否能把要復習的知識點回歸到教材中相應的章節中去？是否把數學的基礎知識、基本技能、基本思想和方法融入其中？是否能通過題組引領并落實學生對基礎知識以及技能方法的鞏固等.

例1（蘇教版必修5 P10510）設實數x＞-1，求函數y=的最小值，并求對應x的值.

方法1：利用基本不等式

思路1（配湊）：因為x＞-1，所以

思路2（換元）：令

設計理由：兩個思路都是利用基本不等式來解決問題.思路1中的配湊和思路2中的換元都是為了構造出y=的形式，再由積為定值求和的最小值的基本不等式來解決，若對這兩種方法進行比較的話，配湊更直接些！

方法2：函數法

思路3：利用配湊或換元構造出的形式后再由對勾函數的單調性可知：函數在（0，1）上單調遞減，（1，+∞）上單調遞增，從而可得在t=1時，的最小值為2，進而得的最小值為1.

方法3：導數法

思路4：設.由f（′x）＞0，得x＞0；由f（′x）＜0，得-1＜x＜0.所以函數f（x）在（-1，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增，從而當x=0時，f（x）取得最小值為1.

設計理由：通過換元或配湊可以把原題轉化成y=t+的形式，又由t＞0，故可利用基本不等式來求解出最值.但要注意到“一正、二定、三相等”的條件，若改變題目中的條件“x＞-1”，則此題就可能無法運用基本不等式來求解了，所以基本不等式在應用時有其特殊性和局限性.而方法二和方法三抓住了問題的本質，體現了函數與方程的數學思想.通過對這三種方法的比較，可以讓學生摸索出它們之間的聯系以及使用條件，滲透數學基本思想，培養學生應用基本不等式解決問題的工具意識和定位意識.

例2若x＞0，求函數的最小值.

思路1（配湊）

思路2（換元）：令t=2x+1＞1，即

則

設計意圖：和例1一樣，利用配湊或換元構造成積為定值的形式，若對這兩種方法進行比較的話，換元更合適些.通過設計此類表面上兩數相乘并不是定值的兩數相加求最值問題，可以培養學生觀察、分析問題的能力以及對式子進行變形的技巧，讓學生感受到不能死記基本不等式的形，而是要抓住它的質.

二、變式探究 發散思維

數學中的變式教學是指：運用不同的變化規律，對題目進行不同角度、不同層次、不同背景的變化，有意識地引導學生在“變”的過程中發現“不變”的本質及解題規律.如：

例3（蘇教版必修5 P10616）已知正數x，y滿足x+2y=1，求的最小值.

思路：因為x＞0，y＞0，x+2y=1，

所以

當且僅當等號成立.

設計意圖：在求解雙變量最值問題時，若已知兩個正數x，y滿足ax+by=1（a＞0，b＞0），求的最小值，或已知兩個正數x，y滿足，求ax+by（a＞0，b＞0）的最小值問題，常用的解題方法是“1”的代換，解題原理仍然是通過構造積為定值來找和的最小值，相應地可以設計以下變式，層層遞進、螺旋上升！

變式1：求函數的最小值.

變式2：已知x＞0，y＞0，且xy=x+y，求x+2y的最小值.

變式3：已知x＞0，y＞0，且x+2y=1，求的最小值.

變式4：已知a＞0，b＞0，且，求a+2b的最小值.

變式5：已知x≥0，y≥0且x+y=2，求的最小值.

設計意圖：變式1的解題方式是應用了“x+（1-x）=1”這個隱含條件；變式2是通過換元把一元變量的最值問題轉化成了二元變量的最值問題，再用“1”的代換來求最值，此變式的解題方法可見于2018年的江蘇卷第13題：

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD=1，則4a+c的最小值為______.

變式3和例3比較類似，只是所求式子的分母復雜了些，故可通過換元把分母變簡單，過程如下：

變式4和變式5是變式3的提升，深入挖掘題目中的信息，通過換元以及對代數式的變形，將問題化歸為易解決的問題.學生在解題時經常會遇到的障礙就是原本會做的題，若題目的條件或結論稍微發生改變就束手無策了.所以通過設計這些變式，可以讓學生抓住問題的本質，掌握知識、方法和技能，有利于培養學生思維的求異性和把握數學知識的靈活性，做到舉一反三，進而提升轉化能力，感受數學的魅力，增強學習數學的興趣.

三、課后鞏固 內化升華

波利亞說過：問題是數學的心臟！問題是引發學生思考和探索的向導，有了問題，學生的好奇心才會激起；有了問題，學生的思維閥門才能開啟；有了問題，學生的探究活動才有了載體.所以學習數學離不開解題，離不開訓練，課堂上的一題多解、一題多變的目的是培養學生的思維能力，而不是簡單的讓學生去記憶模仿.所以可以設計相應的課后習題讓學生及時鞏固，既為內化課上知識，又為提升解題能力.

“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行！”學生只有親身經歷了探究的過程，才能促進知識體系的科學建構以及思維水平的顯性提升，才能積累數學活動的經驗，把所學的知識方法應用到解決新的問題中去，達到提升數學核心素養的目的.

題組不是零星題目的隨意組合，更不是題目的簡單疊加堆砌，它構建了課堂的整體框架，它貫穿著數學思想方法、數學知識點間的內在聯系.通過題組引領，變式鞏固，思維對話可以把教材中知識的邏輯結構轉化為學生的認知結構，讓學生把握問題的特征，感悟解題的規律，掌握解題的方法，真正實現“解一題—通一類—會一片”的飛躍，達到知其然更知其所以然的目的，使學生的學習過程成為再發現、再創造的過程！ F