“直線的斜率”之教學設計

☉江蘇省華羅庚中學 梁正玲

當前的數學課堂教學伴隨課改的深入而逐漸形成了自主先學、小組討論、交流展示、質疑拓展、檢測反饋、總結反思的模式.本文是筆者的一次公開課的具體設計與反思，借助“直線的斜率”這一內容將設計前后的所思所想以文字的形式進行表達，期待同行教師的指導.

教學設計與反思：

一、從雜亂到有序的課堂導入

設計一：

1.在同一坐標系內作出一次函數y=x+1、y=2x+1、y=-x+1的圖像，對其共同特點和不同特點進行觀察.

2.現有一個正方形和一個直角三角板，正方形的邊長是100cm，直角三角板的一個腰長是30cm，該正方形的對角線應怎樣作出？

設計二：

預習課本中的內容并初步感受何為坡度，何為斜率？

如圖1所示，在A、B兩個滑梯中，你更喜歡哪個呢？它們的“陡”和“緩”又該如何刻畫呢？

圖1

設計三：

自我嘗試（片段實錄）：

自主預習并進行以下探究以初步獲得坡度、斜率的概念及概念間的異同.

如圖2所示，大家都玩過滑滑梯，如果要令這一游戲玩起來更刺激，大家認為應該對這一滑梯進行怎樣的改造呢？這其中的“陡”和“緩”又該如何刻畫呢？

圖2

生1：方案一：不改變寬度的同時增加其高度；方案二：不改變高度的同時縮短其寬度.

生2：高度和寬度同時改變也是可行的，不過應該令高度/寬度的比值變大，這樣才能使坡度變大.

師：很好，坡度變大其實就是高度/寬度的比值變大.

設計反思：

設計一中所設計的兩個問題與后面的概念引入是脫節的.設計二能從生活實例中引導學生感受概念，學生雖然不太懂得怎樣進行討論和回答，但明顯比設計一自然了很多.設計三能從滑梯這一實物中抽象出三角形并引導學生自主動手實踐和思考，學生在直觀性、目的性、操作性俱佳的設計中能夠很好地感受坡度的概念，同時建立在新舊知識上的設計很好地促進了學生的探究和思考.

二、從茫然到有據的概念探索

設計一：

1.大家能舉出生活中涉及傾斜程度的實例并談談其傾斜程度的刻畫嗎？

2.各小組對生活中的樓梯、滑梯、山坡等進行類比并討論其傾斜程度的刻畫，思考數學范疇內的直線的傾斜程度的刻畫.

設計二：

1.大家認為圖3中的兩條直線之間有何區別呢？這種區別又應該如何數量化呢？

2.直線的斜率一般應怎樣定義？

圖3

設計三：

1.在同一坐標系內作出一次函數y=x+1、y=2x+1、y=-x+1對應的圖像l1、l2、l3，請觀察其共同點與不同點并思考確定直線所需的要素，并類比坡度思考直線的傾斜程度應怎樣刻畫.（PPT呈現）

師：大家根據自己的預習所得和以下任務進行小組交流討論.

小組活動（PPT呈現）：

（1）檢查所作直線的正確與否并分享直線的作法，在其共同點與不同點的比較中感受確定直線所需的要素.

（2）類比滑梯的刻畫計算直線l1與l2哪個更陡？

（3）你能通過計算比較出直線l1和l3的傾斜程度嗎？

各小組代表在討論后進行交流成果的展示.

生3：對于第（1）小題，我們組認為兩點就可以確定一條直線，圖中的三條直線均通過一個點，這是它們的共同點，不過它們各自的傾斜程度并不相同，因此它們是不同的直線，由此可見，由一個點以及直線的傾斜程度也是可以確定直線的.

對于第（2）小題，（投影展示）我們認為可以在直線l1上選兩點（-1，0）、（0，1）并構造出直角三角形，計算出其坡度是1，同理l2的坡度是2，因此我們認為l2比l1陡.

生4：我們組計算l1的坡度時選取了（0，1）、（1，2）這兩個點，結果是一樣的，由此可見，點的選取可以是任意的，大家覺得對嗎？

眾生：是一樣的，因為相似三角形對應邊的比例是一樣的啊.

師：這個問題問得很棒，大家的回答也很棒，因此任意選兩點是沒有問題的.

生3：對于第（3）小題，我們計算得出了相同的坡度，不過，其傾斜方向顯然是不一樣的，由此可見，僅僅用坡度來區分直線應該是不靠譜的，大家是否有其他好辦法？

師：表達得很到位，他提出的問題值得我們思考，大家是否覺得此時需要一個新的量來刻畫呢？

生5：我們是這樣想的，l1、l3和x軸的交點并不一樣，由此可見，兩條直線相對于x軸的正方向來說，存在著不同的傾斜角度，因此，是否可以考慮用正負號來表達直線的傾斜程度呢？

生6：我們組也觀察到了l1和l3方向上的不同，因此，找準方向應該是必須的，正負之分也就很自然了.

師：很有想法，大家一起來計算一下，用這種方法來區分l1和l3可行嗎？

（學生驗證出其可行性）

師：事實上，這一比值就是用來刻畫直線傾斜程度的，叫做直線的斜率.大家認為如何給其下定義呢？

生8：分母不能為零，因此x1≠x2，若x1=x2，則k不存在，此時直線PQ⊥x軸.大家可有其他補充？

師：很好，與x軸不垂直的直線的斜率為定值，直線的方向也因為斜率而得到刻畫，（板書課題）這也是今天的研究主題.

設計反思：

設計一雖然能夠聯系生活實際，但學生解決第四個問題時往往會感覺無所適從，因此探究過程也就缺失了.設計二中的問題2并不能令學生在直線的量化區別中感到思維上的清晰與明確，很多學生根本無從回答.設計三使學生在探究目標與任務的引領下獲得了有效的思考，學生在獲得概念、量化區分直線的過程中也更好地體會到了斜率的概念學習的必要性.

三、從無邏輯到有章法的習題選擇

設計一、二：

例1 已知直線過P（3，2）、Q（3t，t）兩點，直線斜率如何？

例2 在同一坐標系內作出一次函數y=x+1、y=2x+1、y=-x+1的圖像并分別求出其斜率.

設計三：

例1 如圖4所示，直線l1、l2、l3均經過點P（3，2），同時l1、l2、l3又分別經過點Q1（-2，-1）、Q2（4，-2）、Q3（-3，2），試求直線l1、l2、l3的斜率.

例2 經過點（3，2）作直線并令直線的斜率分別是：（1）；（3）0.

圖4

小組活動（PPT呈現活動要求）：

（1）各組推薦2位同學板書題1、題2（1）.

（2）大家從題1中三條直線在坐標系中的分布情況中可有什么發現？

（3）請大家將題2（1）的解題方法寫在白紙上并作交流.

（生10作交流并回答了問題2，繼而進行如下變式練習.）

變式1：已知直線過P（3，2）、Q（3t，t）兩點，該直線斜率如何？

（應該考慮斜率的存在情況）

變式2：求直線y=x+1、y=-x+1的斜率.

（討論發現直線的斜率是一次項的系數）

師：確定斜率之后是不是就可以確定直線了呢？多少條？相互間的位置關系如何？

生11：無數條且相互平行.

師：例2中的直線可以確定嗎？該直線可以作出嗎？

生12板書并講解：一直一個點，因此要再確定一個點.設點P（x，y），則，因此則直線也就可以作出了，大家可有補充？

生13：上述方程有無數組解，因此，應該取一個特殊點并作出圖象.

師：非常好，很細心，值得大家學習，解題中的規范性也是需要大家注意的.

生15：可選（0，0）、（4，3）兩點并作出直線，過點（3，2）作出其平行線.

生16：由斜率的定義可得，把（3，2）向右水平移動4個單位后再豎直向上移動3個單位，可得點（7，5）.

師：太棒了，大家選擇自己喜歡的方法來完成（2）、（3）兩題吧.

設計反思：

設計一、二對于學生預習后的知識掌握情況高估了，學生或許能夠很好地解題，但對于其中的知識與方法卻是沒有辦法進行提煉和變式的.設計三能在例題的基礎上進行變式，使學生在演算、講解的實踐中真正體會到斜率的含義與作用.

檢測促學：

1.已知直線l過點A（-1，2m）、B（m，m+3），其斜率為2，則實數m=______.

2.已知直線l的斜率k=2，直線l上有一點P（2，3），如果將點P沿x軸方向向右移動3個單位，再沿y軸方向向上移動______個單位后所得的點P1還在直線上.

總之，我們的數學課堂教學必須立足于學生的認知基礎，同時也應注意思維的延展性，唯有如此才能促進學生的數學核心素養的有效提升.F