線性塞曼劈裂對自旋-軌道耦合玻色-愛因斯坦凝聚體中亮孤子動力學(xué)的影響*

文林 梁毅 周晶 余鵬 夏雷 牛連斌 張曉斐

1) (重慶師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院,重慶 401331)

2) (重慶郵電大學(xué)理學(xué)院,重慶 400065)

3) (中國科學(xué)院國家授時中心,時間頻率基準(zhǔn)重點實驗室,西安 710600)

利用變分近似及基于Gross-Pitaevskii方程的直接數(shù)值模擬方法,研究了自旋-軌道耦合玻色-愛因斯坦凝聚體中線性塞曼劈裂對亮孤子動力學(xué)的影響,發(fā)現(xiàn)線性塞曼劈裂將導(dǎo)致體系具有兩個攜帶有限動量的靜態(tài)孤子,以及它們在微擾下存在一個零能的Goldstone激發(fā)模和一個頻率與線性塞曼劈裂有關(guān)的諧振激發(fā)模.同時給出了描述孤子運動的質(zhì)心坐標(biāo)表達(dá)式,發(fā)現(xiàn)線性塞曼劈裂明顯影響孤子的運動速度和振蕩周期.

1 引言

孤子作為一種非線性波,因其獨特的傳播性質(zhì)及潛在的應(yīng)用價值,已成為非線性科學(xué)研究領(lǐng)域的重要研究課題之一.孤子也是自然界中的一種普遍的非線性現(xiàn)象,并廣泛地存在于各種非線性介質(zhì)中,如水波、等離子體、粒子物理、分子生物學(xué)及光纖等[1].特別地,隨著玻色-愛因斯坦凝聚(BEC)和簡并費米氣體的實驗實現(xiàn),大量的研究結(jié)果展示,超冷原子氣體中也存在物質(zhì)波孤子現(xiàn)象,實驗上已經(jīng)相繼觀察到了物質(zhì)波亮孤子、暗孤子及渦旋孤子等非線性現(xiàn)象[2-13].由于物質(zhì)波孤子在相干原子光學(xué)、原子干涉儀及原子輸運等領(lǐng)域中存在著潛在的應(yīng)用價值,研究超冷原子氣體中的孤子動力學(xué)性質(zhì)也成為了近幾十年的熱點研究課題之一.

近年來,人造自旋-軌道耦合在超冷原子氣體中的實驗實現(xiàn),也為探索規(guī)范場中孤子的動力學(xué)性質(zhì)提供了平臺[14-17].一方面,自旋-軌道耦合使得體系單粒子基態(tài)在有限動量處簡并[18,19],自旋-軌道耦合在BEC中將導(dǎo)致許多新奇的靜態(tài)孤子,例如條紋孤子和分?jǐn)?shù)渦旋能隙孤子等[20-42].另一方面,在多組分BEC中,孤子可看作是具有贗自旋的粒子,自旋-軌道耦合將孤子自旋與質(zhì)心耦合在一起,使得孤子的自旋旋進(jìn)將影響其質(zhì)心運動.例如,孤子自旋周期性翻轉(zhuǎn)將提供一個周期性的力去驅(qū)使孤子質(zhì)心做周期性振蕩[43-46].由此可見,自旋-軌道耦合為孤子的宏觀量子調(diào)控提供了新的手段.

實驗上在超冷原子氣體中產(chǎn)生人造自旋-軌道耦合時,不同分量間的能量差及Raman激光的頻率差將產(chǎn)生一個有效的線性塞曼劈裂[14-17],它使得單粒子能譜的對稱結(jié)構(gòu)被破壞,并導(dǎo)致許多新奇的量子態(tài),如BEC中的極化平面波態(tài)、超冷費米氣體中的拓?fù)涑鲬B(tài)和Majorana費米子等[47-51].除此以外,甚至在沒有自旋-軌道耦合的旋量BEC中,塞曼劈裂也會導(dǎo)致一些新奇的拓?fù)涔伦討B(tài)[52].因此,在具有自旋-軌道耦合的BEC中,線性塞曼劈裂將對孤子的動力學(xué)性質(zhì)產(chǎn)生明顯的影響.

本文以一維自旋-軌道耦合雙組份BEC為研究對象,深入研究線性塞曼劈裂對亮孤子動力學(xué)性質(zhì)的影響.假設(shè)體系的原子相互作用守恒SU(2)對稱性,并取雙曲正弦函數(shù)作為亮孤子的試探波函數(shù),本文首先利用變分法導(dǎo)出了試探波函數(shù)中的變分參數(shù)(未知參數(shù))隨時間演化所滿足的歐拉-拉格朗日方程; 然后求解歐拉-拉格朗日方程的固定點解,在自旋-軌道耦合強(qiáng)度較弱時,發(fā)現(xiàn)了兩個近似的靜態(tài)亮孤子解; 進(jìn)一步對這兩個靜態(tài)孤子做線性穩(wěn)定性分析,獲得了一個零能的Goldstone激發(fā)模和一個諧振激發(fā)模,前者對應(yīng)于平移對稱性的破缺,后者的振蕩頻率與線性塞曼劈裂的強(qiáng)度有關(guān);最后,通過求解歐拉-拉格朗日方程,獲得了變分參數(shù)的含時精確解,并發(fā)現(xiàn)線性塞曼劈裂明顯地影響孤子的運動速度和振蕩周期.這些變分計算結(jié)果與基于Gross-Pitaevskii (GP)方程的直接數(shù)值模擬結(jié)果相吻合.

2 理論模型

考慮沿 z 方向的一維均勻自旋-軌道耦合雙組分BEC[14-17].在由同一種原子的兩種不同超精細(xì)態(tài)所形成的雙組分BEC的實驗中,由于兩個分量的種內(nèi)原子相互作用強(qiáng)度和種間原子相互作用強(qiáng)度通常比較接近,本文將假設(shè)兩者相等,即原子間的相互作用守恒SU(2)對稱性.因此,在平均場近似下,系統(tǒng)的動力學(xué)性質(zhì)可用如下的無量綱化GP方程描述：

方程中 ψs(z,t) 為描述兩個分量的動力學(xué)性質(zhì)的波函數(shù)( s=↑,↓ 代表兩個不同的分量),且滿足歸一化條件,z和t 分別為空間坐標(biāo)和時間; n=|ψ↑|2+|ψ↓|2為總密度分布; ε 為線性塞曼劈裂的強(qiáng)度; ?和kR分別表示Raman激光強(qiáng)度和自旋-軌道耦合強(qiáng)度; g＜0 代表原子間的吸引相互作用強(qiáng)度.當(dāng)自旋-軌道耦合存在時,GP方程((1a),(1b))不可積[25],本文利用變分近似方法解析研究孤子的動力學(xué)性質(zhì)[1].在變分近似方法中,體系所對應(yīng)的拉格朗日量為

其中 ? 代表復(fù)共軛.

對于SU(2)自旋對稱的均勻雙組分BEC,假設(shè)BEC凝聚在單個準(zhǔn)動量為 k 的態(tài)上,則可以利用雙曲正弦函數(shù)作為亮孤子的試探波函數(shù),并取兩個分量孤子的寬度η-1、質(zhì)心坐標(biāo)〈z〉和波矢 k 相等,即

其中變分參數(shù)θ,η,〈z〉,k和φs都是時間的函數(shù);φs代表兩個組分中亮孤子的相位; θ 可描述兩個亮孤子的振幅比.將波函數(shù)(3)代入拉格朗日量(2)式,并 定 義 φ±=(φ↑±φ↓)/2 及 β=kRk+ε,則

方程(5a)和(5b)說明孤子的寬度僅由原子間的相互作用決定,且兩個孤子的動量守恒.方程(5c)—(5e) 表明,自旋-軌道耦合將 θ 、〈z〉及 φ-耦合在一起,并且線性塞曼劈裂也影響這些參數(shù)的動力學(xué)演化,這將導(dǎo)致孤子展現(xiàn)出有趣的動力學(xué)特征.

3 靜態(tài)孤子

變分法僅僅是一種近似方法,有必要將歐拉-朗格朗日方程(5a)—(5e)的固定點解與GP方程的數(shù)值解作對比[1].一方面,可利用虛時演化方法求解GP方程的靜態(tài)孤子數(shù)值解,其結(jié)果展示在圖2(a)和(b)中.對于弱的自旋-軌道耦合( ? /?1 ),圖2(a)展示歐拉-朗格朗日方程(5a)—(5e)的固定點解與GP方程的靜態(tài)孤子數(shù)值解相一致.然而,對于強(qiáng)自旋-軌道耦合( ? /?1 )的情況,兩者存在著明顯的差別(見圖2(b)),圖2(a),(b)中變分靜態(tài)孤子解分別取自于圖1(d)和1(a)中的藍(lán)色和紅色曲線.因此,在弱自旋-軌道耦合情況下,變分法能產(chǎn)生一個較好的靜態(tài)孤子近似解.另一方面,也可以將歐拉-朗格朗日方程(5a)—(5e)的固定點解作為初始條件去數(shù)值求解含時GP方程,如果孤子在含時演化中能夠保持其初始波形而不運動,則歐拉-拉格朗日方程(5a)—(5e)的固定點解可認(rèn)作是GP方程的靜態(tài)孤子近似解.這些含時演化結(jié)果展示在圖2(c)—(f)中,從中可以看出,對于弱自旋-軌道耦合的情況( ? /?1 ),盡管線性塞曼劈裂導(dǎo)致初始孤子具有一個有限的動量,但是這些孤子總是能保持其初始的波形而靜止在初始位置(見圖2(c)，(d)).相反,對于強(qiáng)自旋-軌道耦合的情形( ? /?1 ),GP方程的含時數(shù)值演化結(jié)果表明,孤子將偏離初始位置,它不僅沿著 z 方向線性運動,而且運動過程中還會出現(xiàn)振蕩運動(見圖2(e)，(f)).

圖1 (a)，(b) Ω /=0.5 時固定點解 和 隨線性塞曼劈裂 ε 的變化; (c)，(d) Ω /=1.5 時固定點解 和 隨線性塞曼劈裂ε的變化; (e) Ω /＜1 時臨界值 εc 隨 Ω 的變化Fig.1.(a) and (b) show the and change with ε for Ω /=0.5 ; (c) and (d) display and change with ε for Ω/=1.5; (e) shows the critical value εc versus Ω for Ω /＜1.

利用線性穩(wěn)定性理論可進(jìn)一步分析這些靜態(tài)孤子在微擾下的穩(wěn)定性及激發(fā)模式[1,53].設(shè)變分參數(shù),其中 δ A 代表在微擾下變分參數(shù)相對于其固定點解的偏離,ω 為激發(fā)的本征頻率.將代入歐拉-拉格朗日方程,并保留至δA 的一階項,可得矩陣方程：

圖2 (a)和(b)分別展示 kR=0.2Ω和kR=1.5Ω 時,變分靜態(tài)孤子解(圓圈)與GP方程（2）靜態(tài)孤子的數(shù)值解(實線)的對比,其他參數(shù)取值為 ε=0.3,Ω=0.5 及 g=-10 ; (c)—(f)分別為(a)和(b)中的變分靜態(tài)孤子解作為初始條件在含時GP方程中的動力學(xué)演化Fig.2.(a),(b) show the comparisons between the variationally predicted stationary soliton solutions (circles) and the numerical solutions (solid lines) of stationary solitons of GP equation (2) for kR=0.2Ω and kR=1.5Ω with Ω=0.5,respectively.The other parameters are ε=0.3 and g=-10 ；(c)-(f) are the dynamical evolutions of solitons in time-dependent GP simulations by using the variationally predicted stationary soliton solutions in (a) and (b) as initial wave functions,respectively.

圖3 Ω /=0.5 (a)和 Ω /=1.5 (b)時,頻率ω±=±2Ω/sin 2 隨線性塞曼劈裂強(qiáng)度ε的變化Fig.3.The frequency ω±=±2Ω/sin changes with ε for Ω /=0.5 and Ω /=1.5 in (a) and (b),respectively.

解該矩陣方程,可得到本征頻率ω1=ω2=0和,以及對應(yīng)的本征矢量V1=(0,0,0,0)T,V2=(0,1,0,0)T及V±=,其中上標(biāo)“ T ”表示轉(zhuǎn)置.根據(jù)線性穩(wěn)定性分析理論可知[1],所有4個本征頻率都為實數(shù),說明靜態(tài)孤子在微擾下是動力學(xué)穩(wěn)定的.與本征矢量 V1相對應(yīng)的零能模表明,孤子在擾動下將保持不變.而與本征矢量 V2相對應(yīng)的零能模就是所謂的Goldstone模.由于本征矢量 V2中的δ〈z〉/=0,而δk,δθ及δφ-均為0,說明孤子質(zhì)心坐標(biāo)在擾動下將偏離其平衡位置而以零頻率振動,即孤子在擾動下將以固定速度做線性運動,其平移對稱性被破缺[54].對于頻率為 ω±的諧振模,孤子在擾動下將以頻率ω±而振蕩,且 ω±也與線性塞曼劈裂有關(guān)(見圖3， 圖3(a),(b)中的分別取圖1(a)和(c)中的數(shù)據(jù)).

4 孤子的運動

通過求解含時歐拉-拉格朗日方程的解,可研究線性塞曼劈裂對孤子的運動的影響.由于自旋-軌道耦合將變分參數(shù)〈z〉、θ及φ-非線性地耦合在一起,很難直接求解歐拉-拉格朗日方程的精確解.為此,首先引入滿足條件的復(fù)值旋量,并定義亮孤子自旋

及Sz=|χ↑|2-|χ↓|2=-cos(2θ).結(jié)合歐拉-拉格朗日方程,可導(dǎo)出孤子自旋滿足的運動方程

該方程為常系數(shù)線性微分方程組,其精確解為

其中

c=?Sx,0+βSz,0,下標(biāo)“0”標(biāo)記Sx,y,z的初始值,它們由變分參數(shù)θ和φ-的初始值θ0和φ-,0決定.從解 (8a)—(8c)式中可反解得出的解,即

其中已假設(shè)孤子質(zhì)心的初始值為0.從精確解中可以看出,在自旋-軌道耦合、Raman耦合及線性塞曼劈裂的作用下,孤子的質(zhì)心運動是周期振蕩及線性運動的疊加,其振蕩頻率及線性運動速度均與線性塞曼劈裂強(qiáng)度有關(guān).

對于給定的初始條件,我們數(shù)值求解GP方程(1a),(1b),并將GP方程的數(shù)值解與變分精確解做對比.為了研究線性塞曼劈裂對孤子運動的影響,本文考慮初始條件并假設(shè)BEC的凝聚動量如果線性塞曼劈裂為零,變分精確解為說明孤子并不會運動,與GP方程的數(shù)值模擬結(jié)果一致(見圖4(a)—(c)).圖4(a)—(f)其他參數(shù)取值為然而,當(dāng)線性塞曼劈裂不為零時,孤子質(zhì)心的變分精確解為

圖4 (a)—(f)初始值為的孤子動力學(xué)演化孤子振蕩周期及速度 隨線性塞曼劈裂的變化Fig.4.(a)-(f) show the dynamical evolutions of initially balanced solitons with in GP simulations,in (d)-(f); oscillation period and moving velocity of solitons change with the linear Zeeman splitting.

5 結(jié) 論

本文研究了線性塞曼劈裂對一維自旋-軌道耦合雙組份BEC中亮孤子的動力學(xué)性質(zhì)的影響.通過選擇雙曲正弦函數(shù)作為亮孤子的變分試探波函數(shù),可運用變分法導(dǎo)出變分參數(shù)隨時間演化所滿足的歐拉-拉格朗日方程.求解不含時的歐拉-拉格朗日方程,在弱自旋-軌道耦合情況下,獲得了兩個近似的靜態(tài)孤子解.基于線性穩(wěn)定性分析,進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)了一個零能的Goldstone激發(fā)模和一個諧振激發(fā)模,前者對應(yīng)于在外界擾動下靜態(tài)孤子的平移對稱性破缺,后者表明靜態(tài)孤子在外界擾動下將做諧振運動,其諧振頻率也與線性塞曼劈裂有關(guān).最終,通過求解含時歐拉-拉格朗日方程,描述孤子質(zhì)心運動的精確變分解被獲得,并發(fā)現(xiàn)線性塞曼劈裂將明顯地影響孤子的運動速度和諧振周期.所有這些變分計算結(jié)果都與GP方程的直接數(shù)值模擬相吻合.