里德伯電磁感應透明中的相位*

嚴冬 王彬彬 白文杰 劉兵 杜秀國 任春年

1) (長春大學理學院,材料設計與量子模擬實驗室,長春 130022)

2) (長春科技學院基礎部,長春 130000)

3) (青島科技大學信息科學與技術學院,青島 266046)

本文在典型的里德伯電磁感應透明系統中研究弱探測場在相互作用原子系統中的傳播特性,重點關注基于偶極阻塞效應的探測場相位的合作光學非線性行為.通過與探測場透射率和光子關聯作對比,發現相位的光學響應具有新特性： 共振和Autler-Townes劈裂條件下相位對入射場強和初始光子關聯不敏感,而在兩者之間的頻率范圍內相位響應具有非線性特征,尤其在經典光頻率處最顯著.此外,提高主量子數和原子密度都會促進相位的非線性效應.綜上,與探測場透射率和光子關聯一樣,相位可以作為合作光學非線性的另一個標識來刻畫非線性現象,對里德伯電磁感應透明研究是一個有力的補充.

1 引言

電磁感應透明(electromagnetically induced transparency,EIT)本質上是原子與激光場相互作用引起的量子干涉效應,理論上具有零吸收、強色散的典型特點[1,2],因此被廣泛應用于操控原子介質的光學特性[3].例如,實現顯著的光群速度減慢[4-6],高效率的光信息可逆存儲[7-9],單光子脈沖的量子通信[10,11],全光電磁誘導的光柵[12],光子晶體[13,14],光開關和光路由[15,16]等,這些研究應用在量子光學與量子信息領域具有非常重要的作用和價值.

以上研究和應用中所涉及的原子系綜均為獨立原子系綜,即忽略了原子之間的相互作用和耦合.目前,對EIT的研究應用已經拓展到強相互作用的超冷里德伯原子領域,結合里德伯原子特性的EIT技術產生一批更為重要的應用.例如： 實現光子相位門[17],高分辨率的光譜探測[18],單光子水平的光學操控[19,20]和單光子元器件[21-25],凸顯出里德伯EIT技術在前沿光學研究與量子信息領域的重要性.

一方面,里德伯原子間強烈的長程偶極-偶極相互作用會映射到EIT的光譜上,產生依賴探測場強度與光子統計特征的合作光學非線性效應,具體表現在探測場透射率和光子關聯的光學響應上[26-32].另一方面,在涉及里德伯原子的電磁感應光柵中觀察到相位的集體合作非線性效應,即探測場相位對入射場強和光子關聯具有強烈的敏感性[33].但是在EIT研究中,鮮有涉及此類非線性的相位研究.特別地,在量子光學和量子信息領域,相位本身就扮演著非常重要的角色,具有不可或缺的地位[3].

本文考慮最典型的里德伯電磁感應模型,即在三能級梯形原子結構中考察強相干場作用下弱探測場在一維超冷原子介質中的穩態傳播行為,重點研究探測場相位的非線性光學響應特征.通過與另外兩種已知的合作光學非線性標識-探測場透射率和光子關聯做對比研究,發現探測場相位也具有明顯的依賴入射場強和關聯的非線性行為.但是與其他兩類標識明顯不同,最典型的是共振處觀察不到相位的非線性特征,而最顯著的相位非線性特征卻發生在經典光頻率處.探究相位的非線性特性,對相互作用原子系統中EIT研究是個有力的補充,推動單光子水平的量子操控研究以及新現象、新技術的開發.

文章結構如下： 第2節介紹系統模型,進而給出描述系統演化的動力學方程; 第3節推導超級原子滿足的條件極化率和探測場強度、二階關聯函數以及探測場相位滿足的傳播方程; 第4節進行數值結果分析與討論; 最后為總結.

2 系統模型與動力學方程

如圖1所示,本文研究強控制場相干作用下的弱量子探測場在一維冷原子系綜中傳播的透射光學響應.|g〉為原子基態,|e〉為激發態,|r〉為高激發里德伯態.控制場?c相干驅動|e 〉?|r〉躍遷,為單光子失諧,ωc和ωre分別為控制場頻率和對應的能級躍遷頻率.量子探測場相干作用在|g 〉?|e〉躍遷上,其中為耦合強度為湮滅算符,?ge代表原子躍遷的電偶極矩,ε0為真空介電常數.?p=ωp-ωeg為單光子探測失諧,其中 ωp和ωeg分別為探測場頻率和對應的能級躍遷頻率.當兩個相距為 R 的冷原子同時激發到里德伯態|r〉上,它們之間的相互作用表示為van der Waals (vdW)勢V=?C6/R6,其中C6為vdW系數.這樣,系統總的哈密頓寫為

前者為原子與激光光場之間的相互作用哈密頓：

圖1 (a)量子探測場 在控制場 相干作用下的一維冷原子系綜中傳播,原子系綜可以看作是由獨立的超級原子構成的; (b)左側為具有vdW 相互作用的三能級原子結構圖; 右側為等價的無相互作用超級原子能級結構圖Fig.1.(a) Under the control of a classical field ,a quantum probe field propagates in a one-dimensional cold atomic ensemble of non-interacting superatoms.(b) Left,level structure of the three-level interacting cold atoms described by a vdW potential; right,an equivalent energy level structure of a non-interacting superatom.

后者為原子間相互作用哈密頓：

式中 Rij為第i個原子與第j個原子之間的距離;N為原子個數.當 m=n 時g,e,r )代表第i個原子的投影算符,而 m /=n 時則為原子躍遷算符.

基于平均場近似,原子躍遷部分可以用算符的平均值來描述： z 處小體積元內所有原子躍遷算符的平均值為這樣,當量子探測場在一維原子介質中傳播,描述系統空間分布和時間演化的海森伯-郎之萬方程為：

其中 γe和γr分別為對應能級的相干弛豫速率;(z)為vdW相互作用引起的能級移動,在這里轉化為|g 〉?|r〉躍遷的雙光子失諧.需要強調的是,(4)式中已經考慮了以下兩個條件： 第一,大多數原子在基態布居; 第二,探測場為弱場.因此在傳播過程中有所以原本在(4)式中出現的躍遷算符平均值自然也可以忽略不計.

當原子被足夠強的激光場相干照射,由于偶極-偶極相互作用,一定空間內出現不超過一個里德伯激發的現象稱為偶極阻塞效應(dipole blockade effect).對于如圖1(b)所示的三能級梯形原子系統,其偶極阻塞半徑利用嚴格的偶極阻塞效應可以定義超級原子： 由于阻塞體積內至多只有一個原子處于里德伯態,所以大多數原子行為與二能級原子一致,進而將阻塞區域內所有原子看作一個具有集體行為的大原子,稱這個大原子為超級原子.這樣做的好處是超級原子之間的相互作用可以忽略不計,從而大大降低多體原子系統希爾伯特空間的維度,簡化計算和降低計算難度.基于偶極阻塞效應和弱探測場條件,用以下3個集體態： 超級原子基態超級原子激發態和超級原子里德伯態足可以描述超級原子的能級結構(如圖1(b)所示).需要強調的是,超級原子能級結構與超級原子形狀無關,只取決于原子間的有效躍遷.在此基礎上,定義超級原子的躍遷算符和投影算符要獲得超級原子滿足的海森伯-郎之萬方程,只需將(4)式中的單原子算符用對應的超級原子算符替代,同時探測拉比頻率算符變為增強的即可.

3 條件極化率與探測場傳播方程

其中二能級原子極化率：

和三能級原子極化率

因為冷原子介質具有各向異性,所以探測場的光學響應會隨著位置發生變化,穩態探測場強度滿足傳播方程：

探測場在傳播過程中,其光子關聯也會發生改變.二階關聯函數滿足傳播方程：

在此基礎上,需要將(5),(8)式以及(9),(10)式中涉及探測場的部分全部換成既有強度又考慮關聯的形式這樣既能利用平均場理論簡化多體問題的難度,又能最大程度地考慮到探測場的量子關聯屬性.

聯立探測場強度、二階關聯函數以及探測場相位滿足的耦合方程組(5)—(11),同時給定方程初值,即處探測場的利用統計手段來求解： 首先將長度為的一維原子樣品平均分成片段,這樣做的目的是保證每一片段只包含一個超級原子,在每一個超級原子中通過Monte-Carlo采樣判斷里德伯原子激發概率直到最后一個里德伯原子.重復多次并取平均值,能夠獲得量子探測場穿過冷原子樣品的穩態透射率、二階關聯函數值以及探測場相位值.

4 數值結果討論與分析

考慮實驗驗證的可行性,這里采用實際的實驗參數來進行數值計算,然后進行理論分析與討論.在超冷87Rb原子中,選取 5S1/2|F=2,mF=2〉、5P3/2|F=3,mF=3〉和 70S1/2分別對應于圖1(b)中的基態|g〉、激發態|e〉和里德伯態|r〉.弛豫速率γe=3.0 MHz和γr=0.02 MHz.原子密度為ρ(z)=1.5×107mm-3,樣品長度為 L=1.5 mm,vdW系數C6/(2π)=8.8×1011s-1·μm6,其他具體參數見圖下文字說明.

首先掃描探測場來觀察透射光譜.圖2(a)和(b)顯示,當入射探測場拉比頻率 ?p(0) 很弱時,共振頻率處透射率Ip(L)/Ip(0)≈1,而Autler-Townes (AT) 劈裂處,即 ?p=±?c有Ip(L)/Ip(0)≈0,并且透射光一直為經典光表現為典型的線性EIT.隨著入射探測場拉比頻率增大到?p(0)/(2π)=0.3 MHz,出現明顯的合作光學非線性效應,具體表現為： 共振頻率處有明顯的吸收現象,透明窗口由透明轉為部分透明,對應的二階關聯函數也從經典光變為反聚束光特別地,AT劈裂處則變為聚束光進一步增大入射場強,非線性效應更加明顯,說明在未飽和之前,合作光學非線性效應是強烈依賴于入射探測場強度的.從圖2(c)可以看出,與探測場透射率和二階關聯函數相比,探測場相位也表現出明顯依賴于入射場強的非線性特性,但是又有明顯差異,體現出獨特的非線性效應.具體來說,在共振頻率和AT劈裂處,前者相位?p(L)=0保持不變而后者不敏感.介于二者之間的頻率區域才顯示出非線性效應,特別突出的是在?p≈1.4 MHz(?p≈-1.4 MHz )出現極大值(極小值)并且表現出明顯的入射場強敏感性： 隨著入射場強的增加,極大值變小而極小值變大.需要強調的是,?p≈± 1 .4 MHz 對應于經典光與其他兩種非線性標識一樣,相位的非線性特征也來源于條件極化率.當探測場極弱的時候,根本不存在里德伯激發,表現為三能級透明結構的相位,而當探測場足夠強就轉變為二能級吸收型原子相位特征.

圖2 (a)探測場透射率 Ip(L)/Ip(0),(b)二階關聯函數(L)/(0),(c)探測場相位 ?p(L)/π作為探測失諧?p/(2π)的函數.黑色實線,藍色折線以及紅色點線分別對應入射探測場拉比頻率 Ωp(0)/(2π)=0.01,0.3 MHz和0.6 MHz的情況.單光子失諧 ?c=0,控制場拉比頻率Ωc/(2π)=2.5 MHz,其他參數見正文描述Fig.2.(a) The transmitted probe intensity Ip(L)/Ip(0),(b) the second-order correlation function (L)/(0),(c) probe phase ?p(L)/π as a function of the probe detuning ?p/(2π).The black solid,blue dashed and red dotted curves are corresponding to incident probe Rabi frequencies Ωp(0)/(2π)=0.01,0 .3 MHz and 0 .6 MHz,respectively.The single-photon detuning ?c=0 and the Rabi frequency of control field Ωc/(2π)=2.5 MHz.Other parameters are described in the text.

圖3給出透射光譜的相空間結構,用來重點考察探測場相位與其他兩類非線性標識對頻率和入射場強依賴的一致性.為了盡量保證弱探測場的前提條件,這里探測場拉比頻率滿足?p(0)/(2π)∈[0.01,0.75]MHz.很明顯,相位分布關于共振點所在的對稱軸呈現完美的反對稱特征.除了共振頻率?p/(2π)=0,AT劈裂 ( ?p=±?c)直至大失諧(|?p|/ ( 2π)＞＞3 MHz )以外,都可以看出相位明顯依賴于探測場強度,特別是在 ?p≈±1.4 MHz 頻率處.此時,相位的極值始終對應于經典光增大探測場強度也不會改變.原因在于條件極化率中不存在失諧對探測場強度的依賴關系,這個從(5)—(8)式也很容易看出.

圖3 (a)探測場透射率 Ip(L)/Ip(0),(b)二階關聯函數(L)/(0),(c)探測場相位 ?p(L)/π作為探測失諧?p/(2π)和入射探測場拉比頻率 Ωp(0)/(2π) 的函數.其他參數同圖2Fig.3.(a) The transmitted probe intensity Ip(L)/Ip(0),(b) the second-order correlation function (L)/(0),(c) the probe phase ?p(L)/π as a function of the probe detuning ?p/(2π) and theRabi frequency of the incident probe field Ωp(0)/(2π).Other parameters are the same as in Fig.2.

文獻[30]表明,合作光學非線性除了表現在對探測場強度的依賴以外,還具有入射場量子屬性(光子關聯)的敏感性.圖4選取較強的入射場強,在易于產生非線性光學效應的前提下給出透射區光譜對頻率和入射光子關聯依賴的相空間結構.與圖3類似,相位也呈現反對稱空間結構,敏感區域發生在共振頻率和AT劈裂之間.在?p≈±1.4 MHz頻率處出現極值,當初始關聯函數改變較小的時候,相位變化不明顯,但是整體上仍然可以看出對入射光子關聯的依賴性.

進一步把頻率固定在 ?p≈±1.4 MHz 處,考察相位對入射探測場強度和初始光子關聯的敏感性.從前面的研究可知,這個頻率對應的是相位的極值,當發生非線性效應時候,相位的絕對值會變小,圖5也能顯示出這個特點.另外,由圖5還可以推測出： 相位的非線性效應會在探測場強度和初始光子關聯較大的情況下達到飽和.

圖4 (a)探測場透射率 Ip(L)/Ip(0),(b)二階關聯函數(L)/(0),(c)探測場相位 ?p(L)/π 作為探測失諧?p/(2π)和初始二階關聯函數 (0) 的函數.入射探測場拉比頻率Ωp(0)/(2π)=0.3 MHz,其他參數同圖2Fig.4.(a) The transmitted probe intensity Ip(L)/Ip(0),(b) the second-order correlation function (L)/(0),(c) probe phase ?p(L)/π as a function of the probe detuning ?p/(2π) and the initial second-order correlation function (0).The Rabi frequency of the incident probe field Ωp(0)/(2π)=0.3 MHz and other parameters are the same as in Fig.2.

圖5 探測場相位?p(L)/π 作為入射探測場拉比頻率Ωp(0)/(2π)和初始二階關聯函數(0) 的函數 (a)探測失諧 ?p=1.4 MHz ; (b)探測失諧 ?p=-1.4 MHz.其他參數同圖2Fig.5.Probe phase ?p(L)/π as a function of the Rabi frequency of the incident probe field Ωp(0)/(2π) and initial second-order correlation function (0) ： (a) Probe detuning ?p=1.4 MHz ; (b) probe detuning ?p=-1.4 MHz.Other parameters are the same as in Fig.2.

圖6 探測場相位?p(L)/π 作為(a)主量子數 n 和(b)原子密度 ρ 的函數.入射探測場拉比頻率Ωp(0)/(2π)=0.3 MHz,初始二階關聯函數(0)=1.其他參數同圖2Fig.6.Probe phase ?p(L)/π as a function of (a)the principal quantum number n and (b) the atomic density ρ.The incident probe intensity Ωp(0)/(2π)=0.3 MHz and the initial second-order correlation function (0)=1.Other parameters are the same as in Fig.2.

最后檢查主量子數和原子樣品密度對相位的影響.由文)獻[34]可知,vdW系數C6≈n11(c0+c1n+c2n2,n 為主量子數,c0=11.97,c1=-0.8486,c2=0.003385.從圖6可以看出共振頻率處相位一直保持為零,不受主量子數和密度變化影響.而?p≈±1.4 MHz頻率處的相位,隨著主量子數和原子密度的增加而被不斷被壓縮,非線性效應明顯.原因就在于每個超級原子內包含的原子數增多了,前者是原子密度不變阻塞半徑增大引起的,而后者阻塞半徑不變,僅是原子密度增大的結果.

5 結 論

本文討論了一維三能級里德伯原子氣體的透射光學響應,重點研究EIT條件下的相位性質.結果表明,除了探測場透射率和光子關聯以外,探測場相位也具有典型的光學非線性效應,成為合作光學非線性的另一個標識.通過對比研究,發現相位非線性的獨特之處： 共振點和AT劈裂頻率不存在非線性現象,而對應經典光的失諧處,非線性效應更強,更為敏感.最后改變主量子數和原子樣品密度,發現隨著主量子數和原子樣品密度的增大,相位的非線性效應也增強.