基本不等式復習課三步曲

☉江蘇省宜興市陽羨高級中學 孫 玲

基本不等式在高考中屬于C級要求，即要求學生熟練掌握，并能靈活應用.而在新授課時，如何靈活運用基本不等式解決有關問題，一直是學生的弱點與難點.因此，在基本不等式的復習課上，教師應該引導學生克服弱點與難點，并溫故知新.為此，筆者設計了基本不等式復習課三步曲，供參考與斧正.

一、引導學生梳理知識，并完成基礎訓練

作為復習課，這一步必不可少，既起到“溫故”的作用，又起到承上啟下的作用.

（一）知識梳理

1.幾個特殊的平均值

2.基本不等式

3.不等式的幾個變形

4.利用基本不等式求最值問題

已知x＞0，y＞0，（1）如果積xy是定值p，那么當且僅當x=y時，x+y有最小值是；（簡記：積定和最小）（2）如果和x+y是定值p，那么當且僅當x=y時，xy有最大值是（簡記：和定積最大）

應用注意點：一正，兩個未知數為正數；二定，兩個未知數的積定或和定；三相等，當且僅當兩個未知數（或整體）相等時取等號，注意定義域.

5.證明基本不等式的方法有分析法、綜合法和比較法

點評：復習課必須圍繞課題梳理知識點，梳理應做到全面且重要，應提取課本精華并加以深化.如果用不等式鏈來高度概括a+b，ab，a2+b2三個量之間的不等關系會更加簡潔明了.

（二）基礎訓練

1.已知a，b∈R，a+b=1，則a2+b2的最小值為______.

4.用長為4a鐵絲圍成一個矩形，則矩形的面積最大值是______.

5.下列函數中，最小值是4的有______個.

點評：以上題目涵蓋了基本不等式的簡單運用、實際應用和運用基本不等式求最值時的條件，達到了夯實基本概念和基本知識的目的，而且大部分學生都能順利解決.

二、通過例題引導學生進一步明確并掌握基本不等式的應用

例題講解一直是復習課的主旋律，因此例題的選擇十分重要，因為它是引導學生掌握知識并形成能力的載體，所以例題的選擇必須典型，同時要注意進行適當變式，以培養學生思維的靈活性.

1.證明不等式

例1（1）已知a，b，c均為實數，求證：a2+b2+c2≥ab+bc+ac；

變式1：已知a，b，c是不全相等的正數，求證

變式2：已知a，b，c是不全相等的正數，求證：lg

變式3：已知a＞b＞c，求證

點評：學會從不等式的特征分析，巧用基本不等式進行不等式的證明.注意輪換對稱式的識別，并應用疊加或疊乘法解決問題，同時學會拆、湊等技巧來構建基本不等式.

2.求最值或取值范圍

例2 已知正實數a，b滿足ab=a+b+3，

（1）求a+b的最小值；（2）求ab的最小值；（3）求2a+b的取值范圍.

變式4：已知實數x，y滿足4x2+y2+xy=1，求2x+y的最大值.

點評：解決雙元代數式最值的兩條解題途徑：一是把a+b和ab看作兩個量，利用基本不等式及其變形構建不等式，通過等式消元，解不等式即可求解；二是把a、b看作兩個量，通過等式消元，構建函數關系，再利用基本不等式或函數的單調性解決問題，同時注意消元的等價性.

3.在實際問題中的應用

某村計劃建造一個室內面積為800m2的矩形蔬菜溫室.在溫室內，沿左、右兩側與后側內墻各保留1m寬的通道，沿前側內墻保留3m寬的空地.當矩形溫室的長、寬各為多少時，蔬菜的種植面積最大？最大種植面積是多少？

點評：學會根據題意列出相應的等量關系，并通過消元或構建不等式求最值.

圖1

三、引導學生了解基本不等式的高考動態

學習的目的雖然不是為了高考，但對于每一位學生來說，高考不可回避.在復習課上，教師讓學生了解基本不等式的高考命題趨勢，或高考真題回顧，能激發學生的求知欲，并能讓學生從“溫故”走向“知新”.

1.最新考綱

（1）了解基本不等式的證明過程；

（2）會用基本不等式解決簡單的最大（小）值問題.

2.高考命題趨勢

在高考中，對基本不等式的考查一般不以知識點的形式出現，而是考查它的“工具性”，即利用基本不等式解決有關最值問題與不等式問題，其常與其他知識綜合在同一考題中，以此來考查不等式應用的綜合性與靈活性.

3.高考真題

例3（2018年天津高考）已知a，b∈R，且a-3b+6=0，則的最小值為______.

解析：由a，b∈R，且a-3b+6=0得，3b=a+6，

上述解法采用了代入消元法，把兩元最值問題轉化為一元最值問題，然后再利用基本不等式求最值，這是求多元最值問題最基本的方法之一.

變式5：（2018年江蘇卷）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD=1，則4a+c的最小值為______.

解析：如圖2，因為∠ABC=120°，且BD為∠ABC的平分線，

所以∠ABD=∠CBD=60°.

又因為角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且BD=1，

由S△ABC=S△BDC+S△ABD得，

圖2

故答案為：9.

點評：高考真題體現了高考命題的方向，不僅可以讓學生感受基本不等式的高考要求，又能感受基本不等式應用中體現的數學思想，進而從高考的角度去理解基本不等式.

常言道：學無定法，教無定法.但有規律可循.筆者認為復習課也應遵循學生的認知規律，尤其是在高考的一