論教材中向量習題編排之“用心良苦”

☉江蘇省連云港市海濱中學 宋麗萍

☉山東省濟南市萊蕪區雪野鎮中心中學 張光發

《平面向量》是蘇教版必修4第二章的內容，它不僅是高中數學中非常重要的知識點，也是我們解決諸多數學問題時常用的數學工具之一.平面向量是每年高考的必考內容，它的考查內容主要集中于向量的線性表示、向量的坐標運算以及向量的數量積這幾個方面，且在選擇題、填空題和解答題中都有出現過，難度不算大，以基礎題和中檔題為主，這類考題應該是考生比較容易得分的題目，因此，在平時的學習過程中，我們要認真研讀教材，弄清教材編寫者的意圖，只有對一類問題窮追不舍、舉一反三，才能在考試時做到“萬無一失”.本文就和大家一起來體會教材在處理向量的線性表示這一基本問題時的“用心良苦”.

【教材原題1】教材第69頁練習題第8題：如圖1，在△OAB中，C是AB的中點，設

【教材解讀】這個練習題安排在向量的數乘這一小節后面，我想編者的意圖應該是希望學生可以借助于向量的數乘的知識來表示并加深對向量的數乘的理解，因此我們可以這樣來解：

圖1

其實，如果我們對題設條件中“C是AB的中點”仔細推敲，不難發現，可以借助這個中點將圖形補成一個平行四邊形，如圖2所示，然后根據向量加法的平行四邊形法則，

圖2

【教材原題2】如圖3，在任意四邊形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點.求證

圖3

圖4

【教材解讀】教材在此處安插本題，是對上面一道練習題的跟進，此題中隱含了原題1中的基本圖形：連接EB、EC，如圖4所示，根據原題1中的結論，我們就能迅速將向量，然后再由向量加法的三角形法則，得

另外，此題也是對教材第64頁的思考“如果平面內有n個向量依次首尾連接組成一條封閉的折線，那么這n個向量的和是什么？”的實踐，根據這個思考的結論：這n個向量的和是0，那么在封閉折線EFBA和封閉折線EFCD中，我們就有0，將兩式相加，有2

以上兩道教材原題都是從中點的角度來考慮，那么如果點不是中點，又該如何呢？教材在第71頁練習題第7題中給出了這類情形：

【教材原題3】如圖5，在△OAB中，C是AB上一點，且

圖5

圖6

【教材解讀】本題是將教材原題1中的中點C修改為三等分點C，雖然圖形稍有變化，但是仍然沒有擺脫原題1中的基本圖形的影響，我們可以取CB的中點D，構造向量OD，如圖6所示，根據原題1中的基本圖形和結論，在△OAD中，有而這種解法所涉及的圖形在教材中又進一步加強，如教材第72頁習題2.2中第10題：

【教材原題4】如圖7，設點P、Q是線段AB的三等分點，若試用a，b表示向量

圖7

這里我們就不再重復解答此題了，其解法和上題類似.

由此可以看到在教材原題1、原題3、原題4中，都是將點O與線段AB上某個定點之間所對應的向量用不共線的向量來表示，而且我們發現向量前的系數之和為常數1，在這里我們自然就要思考這樣的問題：如果將點O與線段AB上的任意一點之間所對應的向量用不共線的向量來表示，是不是向量前的系數之和也為常數1呢？教材上考慮到了這一點，我們一起來看課本第71頁例4：

【教材原題5】如圖8，在△OAB中，C為直線AB上一點，■

圖8

【教材解讀】此題只要將中的向量用向量表示即可解出，即，整理得（.有沒有發現向量前的系數相加為.從教材的編排順序上，我們不難看出編者的“用心良苦”，由直線上的定點逐步過渡到直線上的動點，這就把定向量問題轉變到動向量問題上來，這種潛在的轉變，符合學生學習數學知識時的認知規律，體現了我們數學中的從熟悉到陌生、從特殊到一般的轉化思想，至此，我們不難得出以下結論：

【結論】已知向量不共線，C為直線AB上任一點，若那么s+t=1.

上述結論是教材原題5的結論的延伸，其證明思路與方法和教材原題5類似，根據C為直線AB上任一點，得共線，再據平面向量共線定理，有而后用向量表示向量即可得到.讀到這里，你會不會問：如果將向量用兩個不共線的向量且s+t=1，那么A、B、C這三點是否共線呢？對于這個問題，我們教材在習題上也有了安排，請看教材第73頁第15題：

【教材原題6】已知向量不共線，設實數，且滿足a+b=1，求證：A，B，P三點共線.

【教材解讀】此題主要還是為了增強學生對向量共線定理的理解，在此處證明三點共線，其本質就是向量共線，即證明以點A，B，P中的任意兩點構成的具有公共點的兩個向量共線，而向量共線的證明正是向量共線定理的作用所在，只要將b=1-a代入，化簡即可得到共線得證，因此實施有效的轉化是解決本題的關鍵.

向量的線性表示是向量的一種重要的表達形式，是向量部分的入門知識，也是后續學習向量知識的基石，因此我們在平時的學習中要對教材認真研讀，細細品味，體會編者在教材中安排相關習題的意圖，并適時加以小結、歸納，如果我們對每個知識板塊都能如此用心，那么高中數學的學習就會變得順暢起來.