去掉多余桿件的方式計算超靜定桁架結構內力

魯麗君 張東煥 王春光 楊志剛

摘 要：文章介紹了采用去掉多余約束桿件的方式計算超靜定桁架內力的計算過程。以一次超靜定桁架為例，去除多余約束桿件并分別按相對、相背離兩種方式假設廣義多余未知力方向，詳細介紹了兩種情況下的位移協調條件的分析過程，建立了相應的力法方程;并對兩種情況下的力法方程進行求解計算，得出互為反號的內力計算結果，同時對計算結果進行了分析，得出了完全一致的計算結論。

關鍵詞：超靜定桁架;多余桿件;方向假設;內力計算

中圖分類號：O342

文章編號：2095-624X（2019）06-0142-03

用力法計算超靜定桁架結構內力時，解除多余約束的方式有兩種：一種是切斷多余約束桿件，一種是去掉多余約束桿件。這兩種不同的解除約束的方式所對應的位移協調條件不一樣，建立的位移協調方程（即力法方程）不同。其中去掉多余約束桿件的解除約束方式在建立力法方程時對學生知識綜合運用能力要求較高，需要綜合運用前期所學的《理論力學》《材料力學》知識，正確分析位移協調條件，才能建立出力法方程。這比采用切斷多余約束桿件的方式建立力法方程要困難得多，而現有的各種《結構力學》教材以及相關輔導資料中很少有采用去掉多余約束桿件的方式計算超靜定桁架內力的講解。李廉錕編著的《結構力學》第六版[1]例題7-2采用切斷多余約束桿件的方式講解了一次超靜定桁架結構內力的計算過程，但對去除多余約束桿件的方式只給出了方程，而沒有講解方程的建立過程。這里以該例題為例，詳細講解采用去掉多余約束桿件的方式計算該超靜定桁架結構內力的步驟與過程。

一、 建立力法方程

李廉錕編著的《結構力學》第六版例題7-2，原結構為一次超靜定桁架（圖1）。采取去掉上弦桿34的方式解除多余約束，得到一次超靜定桁架的基本結構（圖2）。去掉的弦桿34用作用于結點3、4的廣義多余未知力（一對大小相等、方向相反沿上弦桿34軸向的力）代替，由于廣義多余未知力未知，它的方向可按相向（圖3（a））和背離（圖3（b））兩種情況假設，而得到圖3所示的超靜定桁架結構的基本體系。基本體系的受力與原結構（圖1）等效，即問題轉化為圖3（a）、圖3（b）所示結構體系的計算。為了方便后續分析對比，圖3（a）和圖3（b）中廣義多余未知力分別用X、X表示，下面分別討論這兩種不同方向假設下的力法方程。

1.廣義多余未知力指向——相向

基本體系如圖3（a）所示，根據位移協調條件：基本體系中與廣義多余未知力對應的變形應與原結構相應的伸縮變形相同。去掉上弦桿34后（圖3（a））與廣義多余未知力X對應的變形為3、4結點的相對水平位移，它應該與原結構（圖1）上弦桿34的變形相同。

基本體系在X和結點3、4上的外力F共同作用下所產生的3、4結點間的相對水平相對位移，根據疊加原理等于X與荷載F分別作用時產生的位移之和，即δX+△;

δ——系數。單位多余未知力——即令X=1時所引起的沿X'1方向的位移;

△——自由項。外荷載集中力F所引起的沿X方向的位移;

原結構3、4節點的相對水平位移即為弦桿34的軸向變形記作△1。根據多余未知力相向假設（圖3（a）），可推知上弦桿34受力方向如圖4——弦桿34上的力與圖3（a）中的廣義多余未知力X互為作用力與反作用力[2]：

建立力法方程時結點3、4的相對水平距離以與圖3（a）所示基本體系中廣義多余未知力方向一致為正，即結點3、4的相對水平距離以相對縮小為正;而由圖4可知弦桿34受拉，桿件伸長，即原結構（圖1）結點3、4的相對水平距離增大，因此根據位移協調條件：結點3、4的相對水平位移為負值。力法方程如下：

2.廣義多余未知力指向——背離

同理基本體系（圖3（b））中，與廣義多余未知力X對應的變形為3、4結點的相對水平位移應與原結構（圖1）上弦桿34的伸縮變形相同。基本體系在多余未知力X和結點3、4上的外力F共同作用下，根據疊加原理，與廣義力X對應的3、4結點間的相對水平相對位移為δX+△;系數δ，自由項△含義與2.1中的δ，△相同，即

δ——系數。單位多余未知力——即令X=1時所引起的沿X方向的位移;

△——自由項。外荷載集中力F所引起的沿X方向的位移;

根據多余未知力相背離假設（圖3（b）），可推知原結構上弦桿受力如圖5——弦桿34上的力與圖3（b）中的廣義多余未知力X互為作用力與反作用力，弦桿34的軸向變形記作△1：

根據圖3（b）建立力法典型方程時，結點3、4的相對水平距離以與圖3（b）所示基本體系中多余未知力方向一致為正，即結點3、4的相對水平距離以增大為正。而由圖5可知原結構上弦桿34受壓，桿件壓縮，結點3、4的相對水平距離減小。同理根據位移協調條件：結點3、4的相對水平位移為負值，力法方程如下：

根據廣義多余未知力指向——相向與廣義多余未知力指向——背離的分析對比發現：去除多余約束桿件34，廣義多余未知力不論按圖3（a）相向假設還是按圖3（b）背離假設，位移協調條件是一樣的，與多余廣義未知力的方向假設無關。將力法方程（1）與方程（2）進行移項整理得到如下方程：

二、力法方程求解

根據《結構力學》知識，系數δ、δ和自由項△、△的計算公式如下：

F、F——單位廣義多余未知力單獨作用時，即X=1、X=1單獨作用在基本結構（圖2）上時所引起的各桿件的內力值;

F、F——3、4結點集中力F單獨作用時所引起的基本結構（圖2）中各桿件的內力值;

1——基本結構（圖2）中各桿件的長度;

EA——基本結構（圖2）中各桿件的材料常數。

根據公式（5）和公式（6），計算基本結構（圖2）分別在單位廣義多余未知力X=1;3、4結點荷載F作用下各桿的內力F、F，計算結果如圖6所示。各桿件桿長數據、內力計算結果匯總列于表1。

同樣計算基本結構（圖2）分別在單位廣義多余未知力X=1;3、4結點荷載F作用下各桿的內力F、F，計算結果如圖7所示。各桿件桿長數據、內力計算結果匯總列于表2。

根據系數計算公式（5）和表1與表2中內力和桿長數據計算可得：

同理根據自由項計算公式（6） 和表1與表2中內力和桿長數據計算可得：

將系數和自由項計算結果代入方程（3）和方程（4）并消去相同參數EA可得：

求解方程（7）和方程（8）可得：

X與X絕對值相等，異號。X計算結果表明：多余未知力的方向與X假設方向相同，即弦桿34受力如圖4，弦桿34承受拉力;X計算結果則表明：多余未知力方向與X方向相反，即弦桿34實際受力與圖5方向相反，同樣可推知弦桿承受同樣大小的拉力，計算結論完全一致。

去除多余約束桿件方式求解超靜定桁架結構的關鍵在于建立位移協調方程時與所解除約束對應的位移數據的確定——即方程（1）和（2）等號右邊數值的確定，特別是數值正負號的確定。去除多余約束桿件后廣義多余未知力分別按相向和相背離假設，在分析位移協調條件時略有差異——正、負號處理上的差異，但最后分析得出的位移協調條件——方程（1）和方程（2）完全相同，即位移協調方程與廣義多余未知力的方向假設無關。

雖然采用力法計算超靜定桁架結構內力時，切斷多余桿件方式建立位移協調方程——即力法方程相對更容易;但去除多余桿件方式的分析和求解過程有助于加強對力法基本思想的理解，加深對力法位移協調條件的認識，從而更好地掌握和運用力法。

參考文獻：

[1]李廉錕.結構力學（上冊）（第6版）[M].北京：高等教育出版社，2017.

[2]哈爾濱工業大學理論力學教研室.理論力學（I）（第7版）[M].北京：高等教育出版社，2009.

[3] 孫訓方，方孝淑，關來泰.材料力學（I）（第5版）[M].北京：高等教育出版社，2009.

作者簡介：魯麗君（1977—），女，山東理工大學建筑工程學院講師，研究方向：結構疲勞損傷預測與評估。