在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中如何促進數(shù)學(xué)思維的發(fā)展

錢守旺

本專輯的主題是“在概念教學(xué)中滲透對學(xué)生抽象思維的培養(yǎng)”，首先我們搞清楚什么是數(shù)學(xué)概念，什么是數(shù)學(xué)思維，什么是抽象思維。

一、關(guān)于數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)概念是客觀現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性在人們頭腦中的反映。數(shù)學(xué)概念一般由內(nèi)涵和外延兩部分組成。數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵是概念“質(zhì)”的反映，外延則是“量”的反映，兩者相互依存，共同構(gòu)成數(shù)學(xué)概念統(tǒng)一而不可分割的兩個方面。

小學(xué)數(shù)學(xué)概念是小學(xué)數(shù)學(xué)知識的重要組成部分，也是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重難點之一，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識的基本單位，是理解和掌握數(shù)學(xué)知識的起點，是構(gòu)建數(shù)學(xué)知識框架的基石。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念是掌握其他知識內(nèi)容的基礎(chǔ)。例如，分數(shù)意義的教學(xué)，就是今后進一步學(xué)習(xí)分數(shù)加減法、分數(shù)應(yīng)用問題、比、百分數(shù)的重要基礎(chǔ)。

兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，一般有兩種方式，即概念形成和概念同化。這兩種方式也是相互聯(lián)系的，一般認為初級階段采用概念形成，高級階段使用概念同化。形成是指個體在接觸具體事物中通過辨別、抽象、分化、提出假設(shè)與檢驗假設(shè)、概括等過程獲得了一類事物的關(guān)鍵屬性。同化是事物的關(guān)鍵屬性以定義的方式出現(xiàn)或體現(xiàn)在上下文中。例如，學(xué)生學(xué)習(xí)“平行四邊形”這一概念，教材給出的定義是“平行四邊形是兩組對邊平行且相等的四邊形”。學(xué)生首先接受新概念（平行四邊形），并與自己認知結(jié)構(gòu)中原有的知識（四邊形）聯(lián)系起來，把新概念作為原有概念的下位概念而納入概念體系;其次，他們必須精確分化新概念和原有的有關(guān)概念（如梯形、四邊形等）;最后，他們還需要使一般四邊形、平行四邊形、梯形等有關(guān)概念融合，形成一個概念體系，以便于記憶和運用。

二、關(guān)于數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)思維在小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有重要作用。沒有數(shù)學(xué)思維，就沒有真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。小學(xué)生思維是一種心理活動的歷程。數(shù)學(xué)思考貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程之中，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該使學(xué)生能夠認識并掌握數(shù)學(xué)思考的基本方法，如歸納、類比、猜想與論證等;使學(xué)生根據(jù)已有事實進行數(shù)學(xué)推測、論斷和解釋，逐步養(yǎng)成“推理有據(jù)”的習(xí)慣，能夠反思自己的思考過程;使他們能夠理解他人的思考方式和推理過程，并能與他人進行溝通。

抽象概括是形成概念的思維過程和科學(xué)方法。通過抽象概括，使兒童對事物的感性認識轉(zhuǎn)化為理性認識，沒有抽象概括，就不能實現(xiàn)這個轉(zhuǎn)化，因此抽象概括也是思維過程的核心。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，無論是概念學(xué)習(xí)、規(guī)則學(xué)習(xí)還是解決問題學(xué)習(xí)，必須進行一系列的抽象概括活動，因此數(shù)學(xué)抽象概括能力是數(shù)學(xué)能力的主要構(gòu)成因素。抽象概括能力強的學(xué)生，對數(shù)學(xué)材料概括迅速、全面而深刻，能正確地揭示數(shù)學(xué)材料的本質(zhì)屬性。而抽象概括能力差的學(xué)生，學(xué)習(xí)中概括不全面、不深刻，不能抓住數(shù)學(xué)材料的本質(zhì)屬性，往往易受非本質(zhì)屬性的干擾，甚至把非本質(zhì)屬性代替本質(zhì)屬性。

造成學(xué)生抽象概括能力差異的原因主要有：①對數(shù)學(xué)材料的觀察能力較差，沒有足夠的感性材料作為抽象概括的基礎(chǔ)，影響了抽象概括能力的發(fā)展。②不善于對數(shù)學(xué)材料進行比較，就不能區(qū)別數(shù)學(xué)材料的本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性，也就不能抽象。③缺少概括的動機，一些學(xué)生只滿足于知識的結(jié)論，不愿通過自己的積極思維，抽象概括出學(xué)習(xí)材料的本質(zhì)屬性。

三、概念教學(xué)中如何培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維

概念學(xué)習(xí)過程，就是對客觀事物的本質(zhì)屬性進行抽象概括的過程，也是舍棄事物非本質(zhì)屬性的過程。特別是一些較難的數(shù)學(xué)概念，教學(xué)時需要一個深入細致的探究過程。根據(jù)數(shù)學(xué)的特點和兒童的認知特點，教學(xué)時要注意以下幾點。

1. 遵循兒童的認知規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生抽象、概括出所學(xué)概念的本質(zhì)特征。數(shù)學(xué)內(nèi)容是一個有著密切聯(lián)系的整體，新學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容總是建立在已學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容基礎(chǔ)上的。學(xué)生在新學(xué)習(xí)一個數(shù)學(xué)概念時，很可能用到原有的知識，教學(xué)時可以先回顧這些相關(guān)知識，再引入新學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程，自主地“發(fā)現(xiàn)”概念是掌握概念、理解數(shù)學(xué)概念間相關(guān)性的一種有效途徑。把概念教學(xué)設(shè)計成學(xué)生在教師指導(dǎo)下的發(fā)現(xiàn)活動，對學(xué)生思維、能力的發(fā)展具有極為重要的意義。

2. 注意正確地理解所學(xué)的概念。教學(xué)經(jīng)驗表明，學(xué)生對某一概念的理解常常顯示出不同的水平，盡管他們都參加同樣的活動如操作、比較、抽象和概括等。有些學(xué)生甚至可能完全沒有理解概念的本質(zhì)特征。這就需要檢查所有的學(xué)生是否理解所學(xué)的概念。

3. 掌握概念間的聯(lián)系和區(qū)別。學(xué)習(xí)概念，關(guān)鍵是要掌握它的內(nèi)涵和外延。比較所學(xué)的概念并弄清它們的區(qū)別，可以使學(xué)生深刻地理解這些概念，并消除彼此間的混淆。數(shù)學(xué)的特點之一是邏輯的嚴謹性，數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系十分緊密。尋找概念之間的縱向與橫向聯(lián)系，組成概念系統(tǒng)，有助于概念的理解和深化，便于提取和運用。同時，建立概念的結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)，使數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，也有助于知識遷移，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

4. 重視概念的應(yīng)用。學(xué)習(xí)概念的應(yīng)用有助于學(xué)生進一步加深理解所學(xué)的概念，把數(shù)學(xué)知識同實際聯(lián)系起來，并且發(fā)展學(xué)生的邏輯思維。學(xué)生在理解概念時，有時會出現(xiàn)一些對概念的誤解。教師應(yīng)該把這種情況看作是一種正常的現(xiàn)象，因為每一個新概念的建構(gòu)都必須經(jīng)過自我調(diào)整階段，所以幫助學(xué)生如何主動發(fā)現(xiàn)問題，并主動重新建構(gòu)新概念才是最重要的。

四、APOS理論下的概念教學(xué)模式

20世紀末，美國數(shù)學(xué)教育學(xué)家杜賓斯基等人在數(shù)學(xué)教育研究的實踐過程中提出了APOS理論。該理論起源于作者試圖對皮亞杰的“反思性抽象”理論進行拓展，這是一種關(guān)于數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的理論，也是一種建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論。APOS理論指出在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的過程中，一般要經(jīng)歷四個階段。

第一階段——操作階段。概念不能由教師簡單地傳授給學(xué)生，而要靠學(xué)生依據(jù)已有的知識和經(jīng)驗主動地建構(gòu)，因此概念的引入情境就顯得非常重要。設(shè)置問題情境要注意以下四個方面：①能有助于概念的現(xiàn)實背景和形成過程的揭示;②適合學(xué)生的學(xué)習(xí)水平，使學(xué)習(xí)活動能順利展開;③適當(dāng)?shù)膯栴}數(shù)量，使學(xué)生能獲得充足的活動體驗;④要有趣味性，可以用多種多樣的形式引起全體學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。操作階段一定離不開具體形象的學(xué)習(xí)材料及學(xué)生參與的動手、動腦活動。

第二階段——過程階段。如果說操作活動是讓學(xué)生尋找學(xué)習(xí)的大門，那么對操作活動進行思考則是找到打開學(xué)習(xí)大門的鑰匙。在這一階段，教師可引導(dǎo)學(xué)生在頭腦中對前面的操作活動進行描述和反思，建立與概念的聯(lián)系，初步經(jīng)歷關(guān)于概念的思維內(nèi)化、壓縮過程，逐步抽象出操作活動所特有的性質(zhì)。教師要給予適當(dāng)?shù)奶崾尽⒔ㄗh，引導(dǎo)學(xué)生通過思維運算、反省和抽象，對概念所具有的直觀背景和形式定義進行必要的綜合，從而比較順利地完成由“操作”到“過程”的轉(zhuǎn)型。

第三階段——對象階段。對象階段是對前面“操作”與“過程”的抽象，認識到了概念的本質(zhì)，對其賦予形式化的定義，使其達到精致化，成為一個具體的對象，在以后的學(xué)習(xí)中以此為對象去進行新的活動。教師一定要意識到一點：一個數(shù)學(xué)概念由“過程”到“對象”的建立大多數(shù)時候是既困難又漫長的，“過程”到“對象”的抽象需要經(jīng)過多次反復(fù)、循序漸進、螺旋上升，直至學(xué)生真正理解概念。所以，除了關(guān)于概念意義的簡潔表述外，還要增加一些學(xué)生喜聞樂見的例子，使學(xué)生在頭腦中建立起的概念不但精致而且更具直觀結(jié)構(gòu)形象。

第四階段——概型階段。概型階段是概念學(xué)習(xí)的最高層面。概型的形成要經(jīng)過長期的學(xué)習(xí)活動來完善，起初的概型包含反映概念的特例、抽象過程、定義及符號，經(jīng)過學(xué)習(xí)建立起與其他概念、規(guī)則、圖形等的聯(lián)系，最后在頭腦中形成關(guān)于這個概念的綜合的心理圖式。概念教學(xué)的高級目標(biāo)就是讓學(xué)生在頭腦中形成關(guān)于概念的綜合心理圖式，使概念以個性化的方式存在于不同學(xué)生的頭腦中，并在學(xué)生原有知識結(jié)構(gòu)中擁有豐富的知識的“場”。

以上四個學(xué)習(xí)階段反映了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念過程中真實的思維活動，應(yīng)當(dāng)循序漸進，一般不能逾越，也不能只停留在具體、直觀、視覺化的階段，必須逐級地反省、抽象，最后完成數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)。

歸納概念是建立概念的一個重要環(huán)節(jié)，也是訓(xùn)練學(xué)生思維的重要環(huán)節(jié)。教師應(yīng)放手讓學(xué)生自己歸納概念的意義。盡管學(xué)生的歸納可能不全面、不確切或者表達不清，但畢竟是學(xué)生自己開動腦筋積極思考的結(jié)果。教師可以針對學(xué)生表達不準確的地方進行補充。這樣既可使學(xué)生看到自己思考歸納的成果，又可以看到自己的不足，從中逐步提高歸納和概括的能力。

教師在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中還應(yīng)注意以下幾個問題。第一，無論是從實際引入，還是從已知引入，學(xué)生獲得概念都必須經(jīng)過從具體形象到抽象過渡這一過程。教師應(yīng)該設(shè)計多樣化的活動，讓學(xué)生主動積極地參與到學(xué)習(xí)活動中去。第二，概念本質(zhì)屬性只有一個，但可以有不同的表達。當(dāng)學(xué)生初步建立概念后，教師應(yīng)注意讓學(xué)生把概念用自己的語言表達出來，加深對概念的理解。教師也可以采用不同的方式敘述概念。如果學(xué)生對各種不同形式的敘述和表達都能理解和掌握，那么學(xué)生的思維能力、數(shù)學(xué)語言表達能力也會得到發(fā)展。但也要注意，由于學(xué)習(xí)活動必須經(jīng)歷一個由淺入深，由易到難的認知過程，如果過早地采用這種“變式”教學(xué)，學(xué)生因缺乏相應(yīng)的感性經(jīng)驗作支柱，反而會增加學(xué)生學(xué)習(xí)中的困難。

總之，小學(xué)生數(shù)學(xué)概念的建立是學(xué)生主體進行思維的一個復(fù)雜活動。教學(xué)中，要依據(jù)小學(xué)生的認知規(guī)律，從直觀引入，從感知表象再進行抽象（概念的形成），從已知到未知（概念的同化），逐步建立概念。教師要通過點撥、引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生，組織學(xué)生通過嘗試、自學(xué)、操作、討論、質(zhì)疑、交流等學(xué)習(xí)途徑，由學(xué)生自己總結(jié)，表達新知識，教師再作進一步的補充與完善。教師要運用靈活、多樣的教學(xué)方法，從學(xué)生的認知規(guī)律出發(fā)，幫助學(xué)生理解概念。同時注意要從抽象回到具體，在實際運用中鞏固和深化概念，組成概念的認知結(jié)構(gòu)，從而使學(xué)生能在掌握數(shù)學(xué)概念的同時，發(fā)展數(shù)學(xué)能力。

（作者單位：北京市朝陽區(qū)教育研究中心）