重疊函數和分組函數的加法與乘法生成子對的相互轉化

張廷海， 覃 鋒

(江西師范大學 數學與信息科學學院，江西 南昌 330022)

在圖像處理[1]，決策和偏好建模[2]等應用領域都涉及到分類問題，即根據每個對象的隸屬度將其分配到適當的類中。三角模和三角余模作為重要的聚合算子[3]被廣泛地應用于其中，然而，在許多情況下，三角模和三角余模所要求的結合性并不滿足，于是，Bustince et al.[4]分別在2009年和2012年引入了重疊函數和分組函數這兩個特殊的聚合算子，并應用于該領域。

重疊函數可用于圖像處理中測度表示對象和背景的兩個函數的重疊程度，它是定義在[0,1]×[0,1]上的交換、遞增、連續且滿足適當的邊界條件的二元函數，而分組函數是重疊函數的對偶概念。近幾年來，它們在理論和應用上都得到快速的發展，取得了不少成果。2013年Bedregal et al.[5]研究了重疊函數和分組函數的遷移性、齊次性、冪等性和自同構性等重要性質。Jurio et al.[6]討論了重疊函數和分組函數的一些性質及其在圖像閾值分割中的應用。2014年Dimuro et al.[7,8]研究了阿基米德重疊函數的相關性質。2016年喬軍勝和胡寶清[9]又給出了利用乘法生成子對來表示重疊函數和分組函數的方法及其相應的性質。大家知道，在三角模和三角余模的表示問題上，通過加法和乘法生成子來表示是兩種極其重要的方法，并且兩種生成子之間有著緊密的聯系，基于這一思想，在本文中我們發現重疊函數和分組函數的加法生成子對與乘法生成子對之間的相互轉化關系，并由此獲得了這兩類函數與其對應生成子對之間的相互關系的新結論，從而為這兩類函數的兩種生成子對及其相應性質的轉換提供了一種有效途徑。

1 預備知識

本節將介紹重疊,分組函數的概念及它們之間的聯系，并給出一些具體例子。

定義1[4]若二元函數O:[0,1]2→[0,1]滿足以下條件：

(O1)O是交換的；

(O2)O(x,y)=0?xy=0；

(O3)O(x,y)=1?xy=1；

(O4)O是遞增的；

(O5)O是連續的；

則稱O為重疊函數。

例1重疊函數作為一類合取聚合算子，它與三角模既有交叉又有不同，但重疊函數類比三角模類廣泛得多，下面給出一些常見的重疊函數。

(1)任意的無零因子連續三角模；

(2)OmM(x,y)=min {x,y}max {x2,y2}；

(4)Op(x,y)=xpyp,p>0；

定義2[5]若二元函數G:[0,1]2→[0,1]滿足以下條件：

(G1)G是交換的；

(G2)G(x,y)=0?x=y=0；

(G3)G(x,y)=1?x=1或y=1；

(G4)G是遞增的；

(G5)G是連續的；

則稱G為分組函數。

正如三角模與三角余模關于嚴格(或強)否定具有對偶性，分組函數與重疊函數也關于嚴格(或強)否定是對偶的。下面給出相關概念和性質。

定義3[5]若連續、嚴格遞減函數N:[0,1]→[0,1]滿足N(0)=1,N(1)=0，則稱N是嚴格否定，若進一步對任意x∈[0,1]有N(N(x))=x，則稱N是強否定。

命題1[5]設O是重疊函數，G是分組函數，N是嚴格否定，則

(1)ON(x,y)=N(G(N(x),N(y)))是重疊函數；

(2)GN(x,y)=N(O(N(x),N(y)))是分組函數。

稱命題1中的重疊函數ON為G的N對偶重疊函數,分組函數GN為O的N對偶分組函數。特別地，當N是標準模糊否定N(x)=1-x時，稱重疊函數ON與分組函數GN分別是G和O的對偶函數。

由命題1可知，給定嚴格(或強)否定N，由重疊函數可得到對應的對偶分組函數，反之亦然。因此，我們可由N(x)=1-x得到與例1中各重疊函數對偶的分組函數。

例2(1)任意的無1因子連續三角余模；

(2)GmM(x,y)=1-min{1-x,1-y}max{(1-x)2,(1-y)2}；

(4)Gp(x,y)=1-(1-x)p(1-y)p,p>0；

2 重疊,分組函數的加法生成子對的概念與有關性質

在重疊函數的表示問題上，DimuroandBedegral[8]在2013年首先引入了重疊函數的加法生成子對的概念，這使得作為二元函數的重疊函數可由兩個一元函數和加法運算來表示。

命題2[8]設θ:[0,1]→[0,]和?:[0,]→[0,1]是連續、遞減函數，且滿足：

則函數Oθ,?:[0,1]2→[0,1],Oθ,?(x,y)=?(θ(x)+θ(y))是重疊函數。

定義4設θ:[0,1]→[0,]和?:[0,]→[0,1]是連續、遞減函數，若二元函數Oθ,?:[0,1]2→[0,1],Oθ,?(x,y)=?(θ(x)+θ(y))是重疊函數，則稱函數對(θ,?)為重疊函數Oθ,?的加法生成子對，也稱Oθ,?是由(θ,?)加法生成的。

我們將看到命題2的結論僅是充分而不必要的，但當(θ,?)是重疊函數Oθ,?的加法生成子對時，函數θ和?的上述條件可相互確定。

定理1設θ:[0,1]→[0,]和?:[0,]→[0,1]是連續、遞減函數，且

Oθ,?(x,x)=?(θ(x)+θ(x))=?()=0，由重疊函數定義的O2知x=0。

命題3[10]設σ:[0,1]→[0,]和ζ:[0,]→[0,1]是連續、遞增函數，且滿足：

則函數Gσ,ζ:[0,1]2→[0,1],Gσ,ζ(x,y)=ζ(σ(x)+σ(y))是分組函數。

定義5設σ:[0,1]→[0,]和ζ:[0,]→[0,1]是連續、遞增函數，若二元函數Gσ,ζ:[0,1]2→[0,1],Gσ,ζ(x,y)=ζ(σ(x)+σ(y))是分組函數，則稱函數對(σ,ζ)為分組函數Gσ,ζ的加法生成子對，也稱Gσ,ζ是由(σ,ζ)加法生成的。

類似于重疊函數與分組函數的對偶性，它們的加法生成子對(θ,?)與(σ,ζ)也關于標準否定N(x)=1-x是對偶的。

引理1[10]設θ:[0,1]→[0,]和?:[0,]→[0,1]是滿足命題2中條件的連續、遞減函數，考慮函數σθ:[0,1]→[0,]和ζ?:[0,]→[0,1]，其中σθ(x)=θ(1-x),

ζ?(x)=1-?(x)，則σθ和ζ?滿足命題3的條件。

由此引理，可以得到類似于定理1的以下結論。

定理2設σ:[0，1]→[0,]和ζ:[0,]→[0,1]是連續、遞增函數，且

證明：令θσ(x)=σ(1-x)，?ζ(x)=1-ζ(x)，則θσ,?ζ是連續、遞減函數，且由命題1可知二元函數

Oθσ,?ζ(x,y)=?ζ(θσ(x)+θσ(y))=1-ζ(σ(1-x)+σ(1-y))=1-Gσ,ζ(1-x,1-y)

此外，在文[9]中，喬軍勝和胡寶清還刻畫了重疊函數(分組函數)與其加法生成子對的其它性質。

命題4[9]設θ:[0,1]→[0,]和?:[0,]→[0,1]是連續、遞減函數，且

例3考慮兩函數θ:[0,1]→[0,]，?:[0,]→[0,1]，

這些例子說明，命題2只是充分而不必要的，但當?是嚴格的函數時，命題2就成為下列充分必要的結論。

命題5[9]設θ:[0,1]→[0,]是連續、遞減函數，?:[0,]→[0,1]是連續、嚴格遞減函數，則(θ,?)是重疊函數Oθ,?的加法生成子對的充要條件是θ滿足?滿足

命題6[9]設σ:[0,1]→[0,]和ζ:[0,]→[0,1]是連續、遞增函數，且

命題7[9]設σ:[0,1]→[0,]是連續、遞增函數，ζ:[0,]→[0,1]是連續、嚴格遞增函數，則(σ,ζ)是分組函數Gσ,ζ的加法生成子對的充要條件是σ滿足滿足

事實上，對于任意可以利用加法生成子對表示的重疊函數和分組函數，也可以通過兩個一元函數和乘法運算來表示，下面給出重疊函數和分組函數的乘法生成子對的概念及與其加法生成子對的聯系。

3 重疊函數的乘法生成子對的概念及與其加法生成子對的轉化

命題8[9]設g,h:[0,1]→[0,1]是兩個連續、遞增的函數，且滿足：

則函數Og,h:[0,1]2→[0,1],Og,h(x,y)=g(h(x)h(y))是重疊函數。

定義6設g,h:[0,1]→[0,1]是兩個連續、遞增的函數，若二元函數

Og,h:[0,1]2→[0,1],Og,h(x,y)=g(h(x)h(y))是重疊函數，則稱函數對(g,h)為重疊函數Og,h的乘法生成子對，也稱Og,h是由(g,h)乘法生成的。

定理3設θ:[0,1]→[0,]和?:[0,]→[0,1]是滿足命題2的連續、遞減函數，則存在滿足命題8的連續、遞增函數hθ,g?，使得

Og?,hθ(x,y)=g?(hθ(x)hθ(y))=?(-lnhθ(x)hθ(y))=?(-lne-[θ(x)+θ(y)])=?(θ(x)+θ(y))=Oθ,?(x,y)是重疊函數。

稱定理3中的函數對(g?,hθ)為由重疊函數的加法生成子對(θ,?)所得的乘法生成子對。

由此定理可知，由重疊函數的加法生成子對(θ,?)經h(x)=e-θ(x)和g(x)=?(-lnx)可得其對應乘法生成子對(g,h)。反之，由重疊函數的乘法生成子對(g,h)經θ(x)=-lnh(x)和?(x)=g(e-x)也可得其對應加法生成子對(θ,?)。

根據定理3，可以得到以下重疊函數的乘法生成子對(g,h)的對應于加法生成子對的下列性質。

命題9設g,h:[0,1]→[0,1]是連續、遞增的函數，且Og,h(x,y)=g(h(x)h(y))是重疊函數，則以下結論等價。

證明：由定理1和定理3立即可得。

命題10設O:[0,1]2→[0,1]是由(g,h)乘法生成的重疊函數，則

證明：由命題4和定理3立即可得。

定理4設h:[0,1]→[0,1]是連續、遞增函數，g:[0,1]→[0,1]是連續、嚴格遞增函數，則以下條件等價

(1)(g,h)是重疊函數Og,h的乘法生成子對；

證明：(1)(2)若(g,h)是重疊函數Og,h(x,y)=g(h(x)h(y))的乘法生成子對，則由定理3可知函數θ(x)=-lnh(x)是連續、遞減函數，?(x)=g(e-x)是連續、嚴格遞減函數，且(θ,?)加法生成重疊函數Oθ,?(x,y)=Og,h(x,y)，再由命題5可知θ滿足?滿足又由定理3可知，這等價于h滿足滿足

4 分組函數的乘法生成子對的概念及與其加法生成子對的轉化

命題11[9]設s,t:[0,1]→[0,1]是兩個連續、遞減的函數，且滿足：

則函數Gs,t:[0,1]2→[0,1],Gs,t(x,y)=s(t(x)t(y))是分組函數。

定義7設s,t:[0,1]→[0,1]是兩個連續、遞減的函數，若二元函數

Gs,t:[0,1]2→[0,1],Gs,t(x,y)=s(t(x)t(y))是分組函數，則稱函數對(s,t)為分組函數Gs,t的乘法生成子對，也稱Gs,t是由(s,t)乘法生成的。

定理5設σ:[0,1]→[0,]和ζ:[0,]→[0,1]是滿足命題3的連續、遞增函數，則存在滿足命題11的連續、遞減函數tσ,sζ，使得

證明：類似定理3的證明，只需令tσ(x)=e-σ(x)，sζ(x)=ζ(-lnx)，x∈[0,1]，即可證得。

此定理也說明，分組函數的加法生成子對和乘法生成子對之間也可以相互轉化，于是可以得到以下有關分組函數的乘法生成子對的類似于其加法生成子對的性質。

命題12設s,t:[0,1]→[0,1]是連續、遞減函數，且Gs,t(x,y)=s(t(x)t(y))是分組函數，則以下結論等價。

證明：由定理2和定理5即可證得。

命題13設G:[0,1]2→[0,1]是由(s,t)乘法生成的分組函數，則

證明：由命題6和定理5即可證得。

定理6設t:[0,1]→[0,1]是連續、遞減函數，s:[0,1]→[0,1]是連續、嚴格遞減函數，則以下條件等價

(1)(s,t)是分組函數Gs,t的乘法生成子對；

證明：類似于定理4可證得。

由以上關于重疊函數(分組函數)的加法生成子對與乘法生成子對的聯系以及重疊函數和分組函數的對偶性，我們可以得到，若(θ,?)是某重疊函數Oθ,?的加法生成子對，則σ(x)=θ(1-x)和ζ(x)=1-?(x)就是其對偶分組函數Gσ,ζ的加法生成子對，g(x)=?(-lnx)和h(x)=e-θ(x)是Oθ,?的乘法生成子對，s(x)=1-?(-lnx)和t(x)=e-θ(1-x)是Gσ,ζ的乘法生成子對，且這四個生成子對可相互確定。