第二十二屆北京高中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽決賽試題及參考解答

一、標(biāo)準(zhǔn)田徑場(chǎng)被俗稱為400米田徑場(chǎng)，如下圖所示．最內(nèi)側(cè)跑道由兩條86米長(zhǎng)的直道和兩條半徑約為36.3米的半圓弧線彎道構(gòu)成．每條跑道寬度1.25米，共有8條跑道．一所新建學(xué)校，由于面積狹小，不能建立標(biāo)準(zhǔn)田徑場(chǎng)，只能建300米的小田徑場(chǎng)，它的最內(nèi)側(cè)跑道內(nèi)沿全長(zhǎng)為300米且和標(biāo)準(zhǔn)田徑場(chǎng)比例相同，共有六條1米寬的跑道．

(1)計(jì)算小田徑場(chǎng)最內(nèi)側(cè)跑道中一條直道的長(zhǎng)度及彎道的半圓弧線的半徑；

(2)把田徑場(chǎng)完整地放在一個(gè)剛好能包容它的矩形中，這個(gè)矩形稱為這個(gè)田徑場(chǎng)的“占地矩形”．小田徑場(chǎng)設(shè)置了百米直道，能否在占地矩形內(nèi)象標(biāo)準(zhǔn)田徑場(chǎng)那樣將百米賽終點(diǎn)線設(shè)在AB處(如圖)?如果不行，線段AB至少向右延長(zhǎng)多少米?

(3)如果在小田徑場(chǎng)上進(jìn)行400米比賽，不允許運(yùn)動(dòng)員變道，終點(diǎn)為百米賽的終點(diǎn)，最內(nèi)側(cè)跑道的起點(diǎn)設(shè)在百米起跑線處，每條跑道長(zhǎng)度按照內(nèi)側(cè)線長(zhǎng)度計(jì)算，求第六條跑道的起點(diǎn)位置；

(4)在(3)中給了賽跑路徑及計(jì)算賽程的要求，也就是給了“模型假設(shè)”，你認(rèn)為對(duì)400米賽跑有不盡合理之處嗎?

解(1)設(shè)小田徑場(chǎng)最內(nèi)側(cè)跑道內(nèi)沿的一條直線段長(zhǎng)度為x米，半圓弧線半徑為y米．

由條件可知，2x+2πy=300，x:y=86:36.3，解得：x≈64.49，y≈27.22．

(2)若百米賽終點(diǎn)線設(shè)在AB處，在占地矩形的長(zhǎng)邊可用直線賽道長(zhǎng)度為

64.49+27.22+6≈97.71(米)，

可見，無法在占地矩形內(nèi)將百米賽終點(diǎn)線設(shè)在AB處．至少向右延長(zhǎng)2.29(米)．

(3)各條跑道的每一圈長(zhǎng)度互不相等，第一道(最內(nèi)側(cè)跑道)是300米，第六道是

2×64.49+2×(27.22+5)π=332.32(米)．

按比賽規(guī)定，在400米賽中，既然終點(diǎn)為百米賽的終點(diǎn)，第一道的運(yùn)動(dòng)員起點(diǎn)設(shè)在百米賽的起跑線處剛剛合適，若第六道的運(yùn)動(dòng)員起點(diǎn)也設(shè)在百米賽的起跑線處就不合適了，他比第一道的運(yùn)動(dòng)員將多跑32.32米．因此，第六條道的起跑點(diǎn)位置應(yīng)當(dāng)設(shè)在百米起跑線右邊32.32米處．

(4)有兩個(gè)不合理之處．

第一個(gè)，每個(gè)運(yùn)動(dòng)員在自己的跑道上剛好跑完一個(gè)完整的彎道全程，而彎道的長(zhǎng)度是彼此不同的，也就是任兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員在400米賽中的直道、彎道距離都不等，略顯不公．

第二個(gè)，計(jì)算賽程是以跑道內(nèi)沿長(zhǎng)度為準(zhǔn)，而實(shí)際上，運(yùn)動(dòng)員若踩著內(nèi)側(cè)線跑步就是犯規(guī)，于是，若不踩線犯規(guī)，運(yùn)動(dòng)員就要離開邊線一段距離，于是，跑完全程就要多于400米．

二、在1772年，自然學(xué)家J.R.Forster首先提出：生物種數(shù)量是隨著區(qū)域的面積擴(kuò)大而增加的．這是一個(gè)最基本的生態(tài)學(xué)規(guī)律．從這之后，一批自然學(xué)家走遍全球各地的島嶼，搜集并記錄了大量的面積與相應(yīng)生物種數(shù)的數(shù)據(jù)，它們的生態(tài)模式和趨勢(shì)慢慢地顯示出來了，生物種的增加速率出現(xiàn)了降低的趨勢(shì)．基于大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，1920年，O.Anenius給出了物種-面積的冪函數(shù)表達(dá)式，即生物種-面積模型

S=cAz

(*)

式中A表示島嶼的面積，S表示島上生物種的數(shù)量，常數(shù)c和z由觀測(cè)資料確定，z一般是很小的一個(gè)數(shù)，通常在[0.2，0.3]的范圍內(nèi)．

因?yàn)檫@個(gè)冪函數(shù)來自于對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)的擬合，僅僅描述了現(xiàn)象，并沒有從生物進(jìn)化上給出解釋，所以，有的自然學(xué)家對(duì)冪函數(shù)的模型提出了質(zhì)疑．盡管遭到質(zhì)疑，這個(gè)函數(shù)表達(dá)式仍然是一個(gè)可供參考的生態(tài)學(xué)規(guī)律．

(1)有人關(guān)注林地面積對(duì)生物種數(shù)的影響，猜想：如果有50%的現(xiàn)存林地被毀掉，將有50%的生物種滅絕．請(qǐng)利用(*)式，在z=0．25的條件下對(duì)這個(gè)猜想作出判斷；

(2)如果島嶼的90%或99%的面積被大海淹沒，用(*)式作預(yù)報(bào)，在z=0.25的條件下將分別有多大比例的生物種保存下來；

(3)依據(jù)上述計(jì)算結(jié)果，分別闡述生物種-面積模型的合理性以及“有的自然學(xué)家對(duì)冪函數(shù)的模型提出了質(zhì)疑”的合理性．

解(1)將現(xiàn)存林地面積記作A0，毀林后的林地面積為A1，現(xiàn)存的生物種數(shù)量為S0，毀壞林地后的生物種數(shù)為S1．則有A1=A0-50%A0=50%A0，根據(jù)(*)式，有

于是有

即S1=84%S0．即滅絕的生物種數(shù)為現(xiàn)存生物種數(shù)的16%．猜想是錯(cuò)的．

(2)將現(xiàn)在的島嶼面積記作A0，淹沒k%后的島嶼面積為Ak，現(xiàn)在的生物種數(shù)為S0，淹沒后的生物種數(shù)為Sk.則有Ak=A0-k%A，根據(jù)(*)式，有

于是有

即島嶼的90%的面積被大海淹沒，保存下來的生物種數(shù)是原來的56%；島嶼的99%的面積被大海淹沒，保存下來的生物種數(shù)是原來的32%．

(3)由(1)產(chǎn)生的計(jì)算結(jié)果告訴我們，雖然隨著面積的減少生物種也要減少，但生物種數(shù)的減少比例相對(duì)面積的減少比例要小很多．一般來說，物種的滅絕是一個(gè)極其緩慢的過程，生存面積的變化，首先影響到的是生物種內(nèi)的個(gè)體數(shù)逐漸減少(可能成為“受威脅的”物種)，如果是繼續(xù)減少的趨勢(shì)，這個(gè)物種就被看作是“瀕危的物種”，再下去將出現(xiàn)物種滅絕．面積的減少最直接的影響是生物種內(nèi)個(gè)體數(shù)的減少，至于出現(xiàn)生物種數(shù)量的減少(即生物種的滅絕)還需要一個(gè)漫長(zhǎng)的過程．生物數(shù)與生物種數(shù)是兩個(gè)不同的概念，生物數(shù)量與生物種數(shù)減少情況差別很大．

另外，人們觀察記錄的數(shù)據(jù)是在一定面積的封閉區(qū)域內(nèi)(如島嶼)生物種的數(shù)量經(jīng)過漫長(zhǎng)時(shí)間復(fù)雜的進(jìn)化演替過程后的最終的結(jié)果．生物種-面積模型僅僅是對(duì)這個(gè)最終結(jié)果前提下面積與生物種數(shù)狀況的描述，并沒有涉及到生物種演化的具體過程．彼時(shí)觀察到的數(shù)據(jù)形成的結(jié)論能不能用來表示又經(jīng)過幾百年生物進(jìn)化后的此時(shí)的生物種數(shù)與面積的關(guān)系?誰也說不準(zhǔn)，這樣簡(jiǎn)單地將物種數(shù)量歸結(jié)為面積的大小是不全面的．再看(2)的結(jié)論，當(dāng)海島面積減少到原來面積的1%時(shí)，保存下來的生物種數(shù)是原來的32%，這個(gè)結(jié)論有點(diǎn)出乎意料，在地域較大的情況下也許沒問題，當(dāng)面積較小時(shí)，再縮到原來的1%，很難說還會(huì)有原來32%的物種．因此，質(zhì)疑生物種-面積模型是有道理的.

三、在北京地鐵4號(hào)線的車廂里，到處可見漂亮的彎管扶手，如右圖，我們將彎管形狀近似地看成是圓弧，已知彎管向外的最大突出有15公分，跨接了6個(gè)坐位的寬度，每個(gè)座位寬度43cm，求彎管的長(zhǎng)度．

解下圖是彎管形狀的示意圖．每個(gè)座位寬度43cm，六個(gè)坐位總寬度為2．58m.依題意，在右圖中，AB=2．58m，CD=0．15m，所求為AB弧長(zhǎng)．

設(shè)弧所在圓的半徑為r，由圖可得

r2=(r-CD)2+AC2=(r-0.15)2+1.292,

得r=5.622(m).

≈2.6032(m)．

即彎管的長(zhǎng)度約為2.6米．

(1)人們直觀地認(rèn)為：用多次測(cè)量的平均值來估計(jì)μ，要比用一次測(cè)量值好．請(qǐng)你通過數(shù)學(xué)的定量分析予以證明；

(2)如果天平的精度σ=0.05，用天平測(cè)量多少次能使估計(jì)值的精度達(dá)到0.01？

注：在回答問題中，可能要用到隨機(jī)變量均值和方差的如下性質(zhì)：

1°設(shè)X是隨機(jī)變量，a是一個(gè)常數(shù)，則

E(aX)=aEX,E(X+a)=EX+a,

D(aX)=a2D(X),D(X+a)=D(X)

2°設(shè)X1和X2是隨機(jī)變量，則

E(X1+X2)=EX1+EX2

3°設(shè)X1和X2是獨(dú)立的隨機(jī)變量，則

D(X1+X2)=D(X1)+(X2)

解(1)假設(shè)做了n次獨(dú)立的測(cè)量，測(cè)量值分別是X1，X2，…，Xn，這n次測(cè)量值的平均值是

利用方差的性質(zhì)，有

五、有一種病毒在人群中傳播，使人群成為三種類型：感染病毒后康復(fù)(所有康復(fù)者都對(duì)病毒免疫)，記作R型；沒感染病毒但可能會(huì)感染病毒，記作S型；已感染病毒，記作I型．病毒防疫部門每周統(tǒng)計(jì)一次病毒傳播情況，將第n周的感染病毒后康復(fù)人群記作Rn，將第n周的沒感染病毒但可能會(huì)感染病毒人群記作Sn，將第n周的已感染病毒人群記作In．

經(jīng)長(zhǎng)期統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)規(guī)律：如果開始時(shí)整個(gè)人群是S型，那么，第n周的S型人群在n+1周時(shí)，其中93%仍為S型，7%為I型；第n周的I型人群在n+1周時(shí)，其中65%為I型，35%為R型；第n周的R型人群在第n+1周時(shí)仍為R型．

(1)根據(jù)已知條件，將前兩周各種類型人群發(fā)生的概率填在下面樹狀圖的括弧內(nèi)；

(2)對(duì)于任意自然數(shù)n，將事件Sn、In、Rn的概率分別記作un，vn，wn，即un=P(Sn)，vn=P(In),wn=P(Rn)．分別求數(shù)列{un}和數(shù)列{vn}的通項(xiàng)公式；

(3)對(duì)病毒傳播的長(zhǎng)期演變做出推斷．

解(1)括弧中的數(shù)為發(fā)生的概率

(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)規(guī)律有

un+1=0.93un

①

vn+1=0.65vn+0.07un.

②

由①，得{un}是公比為0.93的等比數(shù)列，又因?yàn)閡0=P(S0)=1，

所以，{un}的通項(xiàng)公式un=0.93n．

由②，得vn+1=0.65vn+0.07un

=0.65vn+0.07×0.93n,

以上各式左右分別相加，注意v0=0，得

所以，{vn}的通項(xiàng)公式為

(3)因?yàn)槿巳褐豢赡苁荢、M、I三種類型，所以u(píng)n+vn+wn=1．

又因?yàn)閿?shù)列{un}是公比為0.93的等比數(shù)列，當(dāng)n充分大以后，un趨近于0；數(shù)列{vn}是公比都小于1的兩個(gè)等比數(shù)列的差，因此當(dāng)n充分大以后，vn趨近于0.

于是，數(shù)列{wn}趨近于1．因此，從長(zhǎng)遠(yuǎn)來看，所有人都可以對(duì)病毒免疫．