中小學課堂中數學教師講解行為有效性探究

趙士元

(蘇州市吳中區教學研究室 215104)

筆者曾對某區域小學四年級共6895人，初中二年級共5317人以及高中二年級共1733人作過一次關于數學教師教學行為的問卷調查，問卷涉及教師講解、自主探究、交流互助等七大方面的內容，調查結果誘發我對數學教師教學行為的一些思考.

何為教學行為？教學行為是由教學的行為主體(教師和學生)以及所有與行為主體相關聯的因素綜合作用產生的一種行為方式，這種行為方式不僅與教學內容相關也與受教育對象以及教學條件等諸多元素有關，它受制于教師自身的教育理念以及對教學內容、受教對象的把握能力，其在教學過程中的表現形式有顯性和隱性的兩種.顯性教學行為以課堂教學中教師的有聲講解和肢體表達為代表、而隱性教學行為重點是指資料收集、教師教育觀、教師學生觀等一切在作出可見行為之前在頭腦中先期形成的思想、觀念等行為.隱性的教學行為支配著教師的外顯行為，反過來顯性的教學行為則是隱性教學行為內在需求的外顯表現，而課堂教學效果則是各種教學行為共同作用的結果，其中教師講解行為對課堂教學效益的影響最大.本文擬根據平時的課堂觀察和調查研究對“教師講解”這一教學行為提出個人見解，意在尋求一種比較有效的帶有一定普適性的數學講解行為.

1 教師講解要提升趣味性

一位資深的數學教師在談到課堂教學時說過這樣一句話：“課堂有趣學生愛，課堂無趣討人厭”，數學課，歷來以枯燥乏味而聞名，其中很大一部份原因是教師課堂講解缺乏趣味性所致.在本次調查問測中我們設計了這樣一個問題：

問題一：老師在講解問題時，語言幽默風趣、自然流暢嗎？

A．是 B．基本是

C．有時是 D．不是

三個不同學段的學生選擇A的比例分別為小學78%、初中47%、高中39%，說明超過60%的高二學生認為數學教師的課堂講解缺乏趣味性.主要原因有二：一是高中階段的教學內容與初中和小學相比具有更明顯的理性成份，需要學生更多地用理性思維而不是感性思維去感知教學內容；二是許多高中教師認為高中學生較初中生和小學生具有更強的理性思考能力，因此課堂教學中無需再強調講解的趣味性，而這恰恰是高中教師認識上的偏差.事實上，不管是哪個學段的學習，他們都喜歡充滿趣味的課堂，而且充滿趣味的課堂能最大限度地調動學生的學習積極性,讓學生在輕松的氛圍中自由獲得知識、掌握技能最終學會學習.

當然，課堂教學中的趣味性隨年齡段的不同而有不同的表現形式，如果不顧學生學情一味地追求趣味很有可能落入“俗套”.

案例1一節“誘導公式”的公開課

教師在講解完“cos(-α)=cosα”后為了讓學生能形象地記住這一公式，用了一個比較“形象的比喻”，下面是這段比喻的實錄.

師：同學們，我們怎么來記憶“sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα”這兩個公式？

師：這樣理解是可以的，但這個學生實際上在頭腦中再次推導了這兩個公式，這不算真正的記憶.

師：老師教你們一種記憶方式.

(此時，學生帶著渴望的神情等待教師講解)

師：我們把余弦符號中間的字母看成是一張嘴，而“-”是一顆糖，這嘴有點饞，把這顆糖吃掉了，所以公式“cos (-α)=cosα”中的“-”不見了，而正弦的嘴還沒長好，所以這顆糖沒有吃掉.

這段講解看似很富趣味，但實際上有幾點值得我們深思：首先，這位學生的理解非常好，從認識論的角度來看，學生記憶本身就有有意識記和無意識記，而這位學生能從定義本身出發理解這兩個公式，這是非常值得肯定的，它是屬于有意識記的范疇.但是老師卻用否定的語氣進行評價，這不利于學生的自主發展；其二，對于高中學生而言，再用什么糖果之類的比喻未免有點太“兒童化”了，這種比喻不符合高中學生的年齡特點；其三，這樣的比喻本身帶有科學性錯誤，我們暫且認定“cosα”中的字母“o”是一張嘴巴，它把糖吃了，而“sinα”沒長嘴巴，但如果我們繼續考慮書本沒介紹的公式“cot(-α)=-cotα”，同樣長了個嘴巴，為什么這里不吃糖了？難道這張嘴太“老”了，啃不動糖了？

2 教師講解要突出整合性

教師的講解行為實際上體現了教師對教學內容的處理和把握能力.無論是哪個學段的教師對于教學內容的講解都有一個共性的要求：講解要突出重點，否則講解面面俱到、主次不分，學生的學習也就無法抓住重點內容，同時要追求“整合”以培養學生融合性思維的能力，否則學生學到的知識過于“碎片化”，不利于學生分析問題和解決問題的能力.但從我們的調查分析來看，在不同的學段中教師的講解行為存在著明顯的差異，小學階段的數學教師比較重視重點內容的講解而不很重視教學內容的整合和重組，而中學階段的數學教師則反之，他們對內容的“整合和重組”的重視程度更甚于教學內容本身.這與中小學階段教學內容的深度和寬度有關，我個人認為這是比較正常的.但也有部份中學教師在講解時過于“單一化”，講解時重視知識點的講解而忽視數學知識的整體把握.

案例2一節《三角函數定義》的高三一輪復習課

教師在復習完三角函數線后出示了這樣一條題：

下面是教師組織課堂教學的實錄片斷：

師：要求函數定義域，根據定義域的一般求法，我們應列出什么條件？

師：很好，函數定義域實際上就是不等式的解集，為求解這個不等式，我們需要用到三角函數線，請同學們再回憶一下剛才復習的三角函數線.

師：大家有沒有什么不同意見？

(學生沉默)

師：有沒有注意到余弦的周期性？

3 教師講解要凸顯數學性

數學課堂要有數學味、數學教師的講解也要有數學味，所謂數學味就是數學的味道：它既不是美麗的畫面也不是動聽的音樂，既不是浪漫的詩意也不是有趣的情景，它是指向數學本身的對數學問題的洞察和解析，是從數學的角度探索數學特有規律的一種情感，它倡導用數學家的思維分析和解決實際問題.數學的味道既決定于教學內容的數學本質也決定于教師對數學本質的理解.數學的味道在課堂中體現出“思辯多于追風、靈動多于機械”的教學特點，師生在充滿數學味的課堂中自由地思辯和探究并在其中不斷地成長.可是，有些教師在教學中忽視了數學課堂中的數學味，過分地追求華麗、追求熱鬧、追求時尚，把教學當成演戲.更有甚者，個別教師把課堂當作展示自己的舞臺，在課堂里盡情“表演”而對學生的學習狀態置若罔聞.

案例3一節高考數學題的評講課

已知函數f(x)=ex-ax2．

(1)若a=1，證明：當x≥0時，f(x)≥1；

(2)若f(x)在(0,+∞)只有一個零點，求a．

這是2018年全國卷(Ⅱ)的最后一條題目.下面摘錄一段課堂實錄：

師：在解第(2)小題時，我們可以設函數h(x)=1-ax2e-x.同學們想一想，這個函數與題目中給定的函數有什么關系？

(經過大約2分鐘的思考后，有一位學生舉手)

師：很好，現在老師問你一個問題，經過這樣的處理后你認為函數f(x)與g(x)之間存在什么樣的關系？

(經過約一分鐘的思考后，該學生回答)

生：由于ex總是正的，因此，f(x)在(0,+∞)只有一個零點等價于h(x)=1-ax2e-x在區間(0,+∞)上只有一個零點，所以我們只要研究函數h(x)=1-ax2e-x在區間(0,+∞)上只有一個零點時a的值.

師：這位學生講的非常好！下面我們就用熱烈的掌聲對這位學生的回答表示祝賀和感謝.

下面我們來分析這段對話，我們不否認這位學生的思考是有價值的，它能挖掘出兩個不同函數之間的內在聯系，實現了問題的轉化.但這里有幾點值得我們深思：

一是學生的回答是在教師提出了一個新的函數后進行了追根索源的思考，這一點是值得提倡的.在數學教學中，我們應讓學生學會象數學家那樣去思考問題，對一些“自然而然”的結論要學會責疑、學會探索問題根源，但在這一案例中學生完成了“由果索因”這項工作，但具有數學味的課堂同時強調“由因導果”.本案例中教師先入為主出示了函數h(x)，問題是如果教師不提出這個函數，學生能想到嗎？

二是這一轉換是等價的，但轉換過程中并沒有實現“由繁到簡”的過程，我們知道數學教學中往往要通過轉化實現“化繁為簡”、“由生疏為熟悉”、“化未知為已知”等目的，但本例的轉化并沒有實現這一意圖.從思維的常規性來看，在數學轉化過程中往往將“負指數”要化為“正指數”，但本次轉化卻是反其道而行之，實現了將“正指數問題”轉化為“負指數問題”，這有違常理，為什么要這樣轉化？教師沒有進行深入的思考，只是在“仔細”閱讀了參考答案后反推出了所謂的解題思路，而且將這一解題思路淋漓盡致地在課堂展示給學生看了.看似講得“頭頭是道”，實則只是教師的一堂“數學解題表演課”！

4 教師講解要關注生成性

教學效果是課堂教學中預設與生成共同作用的產物，沒有預設的課堂難以完成學習目標，而沒有生成的課堂是呆板低效的.在平時的課堂觀察中可以發現有些教師在上課時過分追過完美，把課堂當成講堂，教學過程井然有序、課堂結構科學嚴密，但是學生在這樣的課堂上被動地接受，知識的接受缺乏體驗性過程，學習效率低下.

案例4在案例2提到的那節課上，有這樣一條題目：

已知α的終邊經過點P(3a,4a)，則sinα=________;cosα=________.

我們認為學生在課堂上出錯是很正常的，問題是在學生得出這樣的錯誤結論后教師如何引導學生“自我反省”？一個比較好的做法是設置相關題組讓學生在練習中省悟，在比較中辯別.針對這一錯誤我們可以即興編制這樣一組題組：

(1)已知α的終邊經過點P(3,4)，則sinα=________;cosα=________.

(2)已知α的終邊經過點P(-5,-12)，則sinα=________;cosα=________.

(3)已知α的終邊經過點P(3a,4a)，當a=-1時sinα=________;cosα=________.

通過這一題組的訓練，學生很容易發現自身錯誤的原因所在，并且能更好地理解點P到原點的距離r的實際意義.此外，這樣的處理強調了教師引導、設問，學生感悟為主的教學方式，讓學生在自主學習、自覺參與中體驗成功的快樂.

5 教師講解要強化探究性

數學教師講解的突出要求是要注重探究性，這也是數學性的主要標志.教師在課堂教學中應突出設疑、引導、探究，通過教師精心預設引導學生思考.面對一些比較復雜或者學生難以理解的問題，教師還要善于設置“中間臺階”以幫助學生跨越難點，以“問題鏈”為載體、以“導問”為手段引導學生在自主探究的基礎上感悟數學的精彩結論,而不是以自問自答的形式直接告知結果.

案例5一節題為《正切函數圖象與性質》的復習課

首先，教師與學生一起復習正切線的概念，并通過正切線畫出了正切函數的圖象，在得出了如圖所示的正切函數圖象后，教師要求學生根據圖象回答如下兩個問題：

(1)函數y=tanx的定義域和值域分別什么？

(2)函數y=tanx的單調性、奇偶性、周期性如何？

從課堂效果來看，大多數學生都能通過觀察圖象快速地說出正切函數的單調遞增區間、奇偶性和周期性，隨后教師提出了如下的問題(3)：函數y=tanx是奇函數，也就是說正切函數y=tanx的圖象是關于原點對稱的，換句話說原點是正切函數的一個對稱中心，那么正切函數y=tanx除了原點以外還有其他的對稱中心嗎？如果有，請寫出它的對稱中心.

問題1：圖象關于點P(x0,y0)對稱的幾何意義是什么？

問題2：用恒等式表示函數f(x)的圖象關于點P(x0,y0)中心對稱

問題3：若P(x0,y0)是函數y=tanx的對稱中心，它應該滿足什么條件？

問題4：從問題3出發，可否求出P(x0,y0)的坐標？

通過這些問題的探究讓學生從理性的角度理解：函數f(x)關于點P(x0,y0)中心對稱等價于等式“f(x0+x)+f(x0-x)=2y0”對任意實數x成立.

于是在研究正切函數y=tanx的對稱中心時可設其對稱中心為P(x0,y0).即，

對任意實數x都有：

tan (x0+x)+tan (x0-x)=2y0.

若tanx0存在，則取x=x0和x=0，分別得到tan 2x0=2y0和2tanx0=2y0，聯立方程組得到tanx0=0，從而x0=kπ(k∈Z)，進一步得到y0=0;

tan (x0+x)+tan (x0-x)

恒成立，

上述研究既從數量的關系探究了正切函數y=tanx的對稱中心，同時也充分凸顯了“特殊到一般”以及“分類討論”等重要數學思想，更重要的一點是這一探究對有效培養學生數學思維的嚴密性，進一步培養學生的數學學科素養也具有積極的意義.

以上所述是筆者本人對數學教師“課堂講解行為”的一點思考，當然講解行為只是教師教學行為的一個側面.作為教師,我們的講解要立足于引導，通過引導培養學生自己“找出路”的能力，讓學生做開自己車的“司機”，而不是搭教師車的“乘客”，讓學生在參與中學習、體驗中感悟、在實踐中提升，切實提升學生數學科學素養.