研究三角形的數學思維方式

章建躍

(人民教育出版社 課程教材研究所 100081)

1 三角形在中學數學中的地位

三角形是最簡單的幾何圖形，但它是最重要的.正如項武義所說，“三角形是僅次于線段和直線的基本幾何圖形，而空間的大部分基本性質都已經在三角形的幾何性質中充分體現.三角形之所以成為古希臘幾何學所研究的主角，其原因也就是：三角形既簡單而又能充分反映空間的本質.”[注]項武義. 基礎幾何學，人民教育出版社，2004年版，第8頁.這說明掌握好三角形知識就意味著理解了空間的大部分基本性質.同時，三角形的知識是研究其他幾何圖形不可或缺的基礎，基礎不牢地動山搖，所以三角形的學習對整個幾何學習都是舉足輕重的.人們常說，數學成績的兩極分化發生在平面幾何的學習中.其實，更具體地說，是在三角形的學習中.所以，把三角形學好對整個數學課程的學習也是至關重要的.

從三角形的內容結構而言，其“基本事實(公理)——概念——性質(關系)——結構(聯系)”的公理化體系清晰明確，可以呈現一個完整的“抽象數學概念——形成聯結數學概念的判斷而得出命題——通過推理、論證，形成一個層次分明、結構嚴密的邏輯系統”的過程，“從一般三角形到特殊三角形”、“從定性到定量”的研究路徑及其體現的發現和提出問題的思想和方法，等腰三角形、直角三角形的特別重要性所反映的特例在一類數學對象中的地位和作用等等，對后續其他幾何圖形(無論是平面圖形還是立體圖形)的內容組織都具有示范性，甚至都可以直接引用.

從認知過程看，在三角形的研究中，從獲得研究對象到基本性質的發現和證明、從一般三角形到特殊三角形的研究中所展現的創造性思維和數學思想、從定性到定量的研究路徑和數學地思考問題的方式方法等等，都具有典型性和示范性；同時，以三角形為載體的幾何學習，對發展學生的直觀想象、邏輯推理、數學抽象等素養也有奠基性作用.所以，三角形的學習可以幫助學生掌握研究一個數學對象的基本套路，初步形成數學思維方式，這是最具可遷移性的“大概念”，在后續學習中將得到不斷的應用和加強.

同樣重要的是，在揭示三角形豐富多彩的內涵、經歷充滿活力的各種各樣三角形定理的形成過程中，可以使學生充分體驗到“利用簡單的公理，卻能推出美妙的定理”(丘成桐)的韻味和奧秘，學生能從中得到其他學科所不能給予的嚴格邏輯推理訓練，同時又能得到數學美的熏陶.一個看上去如此簡單的幾何圖形卻蘊含了大量漂亮的幾何定理，它所提供的欣賞數學美的機會也是無與倫比的.數學史上，人們對三角形的研究傾注了大量精力，對勾股定理的證明熱情持續不減，有名有姓的三角形定理就有許多，學生可以從中得到實實在在的數學文化浸潤.

所以，在中學數學課程中，三角形是一個居于核心地位的幾何圖形，是能夠充分體現“借助簡單對象闡釋深刻思想”的理想載體.對于三角形的課程設計、教材編寫、教學設計與實施等，是值得下大力氣研究的.

2 三角形的內容分析

2.1 研究思路

在《普通高中數學課程標準(2017年版)》的“課程性質”中提到：“數學是研究數量關系和空間形式的一門科學.數學源于對現實 世界的抽象，基于抽象結構，通過符號運算、形式推理、模型構建等，理解和表達現實世界中事物的本質、關系和規律.”這段話非常簡短，但給出了數學的研究對象及其來源，也給出了研究內容、過程與方法以及研究結果和作用，從中可以看到研究一個數學對象的基本套路、思想與方法.下面我們以此為指導分析一下三角形的研究思路.

整體上，從研究對象看，在抽象三角形概念的基礎上，按從一般三角形到特殊三角形展開；因為三角形是一個有界的平面圖形，所以有度量問題，按從定性到定量的路徑展開.

從定性角度研究三角形，是對圖形的定性性質、圖形之間的關系與性質兩個角度展開，主要內容有：三角形的要素(邊、角)、相關要素(外角、高、中線、內角平分線等)之間的定性關系；兩個三角形的全等關系；對于特殊三角形，則要研究三角形成為“特殊”的必要條件和充分條件，即研究等腰三角形、直角三角形的性質和判定.

三角形的定量研究主要從圖形的度量及要素、相關要素的定量關系展開，研究三角形的三邊邊長、三個內角的角度、面積、高、外徑、內徑等幾何量之間存在的基本函數關系.把定性的結果變成定量的結果，把存在的東西具體表示出來，這是數學的基本追求.一旦定性的事物得到定量的表示，就意味著我們完全把握了這個事物的變化規律，然后就可以利用計算機將其操控于股掌之間.

2.2 抽象三角形概念——獲得研究對象

抽象研究對象是數學研究的首要任務，是認識數學對象的第一步.如果抽象過程不充分，數學對象不明確，那么后續研究就無法展開.教學中存在的“一個定義，三項注意”現象，就是不重視抽象研究對象的表現.概念教學走過場是導致學生數學學習困難的主要原因之一，必須引起高度警覺.

數學有獨特的抽象研究對象的方式，有基本套路可以遵循.抽象三角形概念按照“定義—表示—分類”的線索展開，具體要完成的事情有：

1．定義與命名，即給出三角形本質特征的確切而簡要的陳述.

一個幾何圖形的本質特征是指其組成要素及其基本關系.以此為指導思想，通過對典型實例的分析、歸納得出共性，再抽象、概括出三角形的組成要素及其基本關系，然后用嚴謹的數學術語作出表述，就得到了三角形的定義.

需要注意的是，僅僅從分析與綜合、歸納與演繹、聯系與類比等一般思維方法的角度闡釋數學定義的抽象過程是不夠的，因為這樣并沒有解決“如何分析”“歸納什么”“如何類比”等問題，而這些問題恰恰是啟發學生展開數學思考與探究的關鍵.我們知道，點、直線、平面是空間基本圖形，柱、錐、臺、球是空間基本立體圖形；多面體由直線型平面圖形圍成，旋轉體的表面可以展開成平面圖形(圓、圓的一部分)；直線形平面圖形由點、直線段圍成.所以，幾何圖形的組成要素及其基本關系歸根到底要從點、線段、圓(或其部分)及其位置關系入手分析.這樣，在三角形定義的教學中，一定要讓學生在明確“幾何圖形的要素、要素之間的關系各指什么”的基礎上，對“三角形的組成要素是什么”“要素之間有什么關系”展開分析、歸納、類比的思維活動，這樣才能做到有的放矢.

2．表示，即用符號表示三角形及其組成要素.

數學對象的表示是與眾不同的，有符號語言、文字語言和圖形語言等多種方式.特別是符號語言的使用，使數學表達具有簡潔性、明確性、抽象性、邏輯性等融為一體的特點，可以極大地縮減數學思維過程，減輕大腦的負擔，更有利于我們認識和表達數學對象的本質.所以，在抽象研究對象階段，要重視數學對象的符號表示.

3．分類，即以要素的特征與關系為標準對三角形進行分類.

分類是理解數學對象的重要一環.一個數學對象的具體例子不勝枚舉，按某種特征對它們“分門別類”，就使這一對象所包含的事物條理化、結構化，并可由此確定一種分類研究的路徑，使后續研究順序展開.分類就是把研究對象歸入一定的系統和級別，形成有內在層級關系的“子類”系統結構，從而就進一步明確了數學對象所含事物之間的邏輯關系，由此可以極大地增強“子類特征”的可預見性，從而也就有利于我們發現數學對象的性質.例如，“三角形—直角三角形—等腰直角三角形”這個小系統中，在等腰直角三角形中可以“看出”勾股定理，從而幫助我們“預見”勾股定理是一般直角三角形的特性，并進一步“預見”一般三角形中的余弦定理.

4．定義相關要素，給出外角、中線、高線、角平分線等概念.

我們把三角形作為一個系統，三個頂點、三條邊、三個內角是基本要素.如果研究的視野僅限于這些要素的關系，則三角形的性質就有些單調乏味，也就不能體現“反映空間大部分基本性質”的地位，所以必須對它的要素作出進一步的劃分，以更充分地反映三角形的結構、功能，為研究內部要素的關系提供更豐富的視角，為三角形與外部系統的聯系提供更多的通道.可以看到，要素、相關要素及其關系是三角形豐富多彩性質的源泉所在.

以上是一個完整的獲得數學對象的過程，“定義—表示—分類”是“基本動作”，是學生學會用數學的眼光觀察世界、用數學的語言表達世界的基礎，教材和教學都應該以明確的方式告訴學生“如何觀察”、“如何定義”，以使學生逐漸學會抽象一個數學對象的方式方法.

2.3 研究基本性質

抽象出概念后，接著要從定義出發研究性質，即研究定義所界定的數學對象的內涵或要素之間的基本關系.我們把三角形要素之間的最基本關系(主要是定性的等與不等關系)稱為基本性質.

(1)邊角的相等關系——等邊對等角，等角對等邊；

(2)邊角的不等關系——大邊對大角，大角對大邊；

(3)三邊的定性關系——兩邊之和大于第三邊；

(4)內角的定量關系——內角和等于180°；等等.

上述三角形的基本性質非常直觀，通過觀察、測量或剪貼拼接是不難發現的，但要證明它們，則需要做一番邏輯關系的考量，并要有一些預備知識.限于篇幅，這里暫不深究.

2.4 研究相關要素的相互關系

三角形性質的豐富多彩則來自于要素與外角、中線、高線、角平分線等相關要素的相互作用和聯系.

(1)外角與內角的關系——外角等于不相鄰兩內角之和；

(2)外角之間的關系——外角之和為360°；

(3)中線的位置關系——三條中線交于一點(重心)；

(4)高的位置關系——三條高交于一點(垂心)；

(5)角平分線的位置關系——三條角平分線交于一點(內心)；

(6)三邊的垂直平分線的位置關系——三邊的垂直平分線交于一點(外心)；

(7)三角形任意兩角的外角平分線和第三個角的內角平分線的交于一點(旁心)；

(8)三邊中點連線與三邊的位置關系、大小關系——兩邊中點連線平行于第三邊且等于第三邊的一半；等等.

以上三角形的性質，概念是第一層次，要素的關系是第二層次，要素與相關要素的關系是第三層次.在此基礎上，還可以進一步產生第四層次的性質.例如，對于重心，我們有：

(1)重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2∶1；

(2)重心和三角形三個頂點連線所成的三個三角形面積相等；

(3)重心到三角形3個頂點距離的平方和最小；等等.

如果進一步運用坐標法、向量法，就可以將重心與三角形的三個頂點之間的關系進行量化表達：

實際上，這些性質是與其他相關知識的聯系中產生的，所以它們的證明是需要其他知識的，這就有一個知識的邏輯體系問題.但是，在探索三角形性質階段，對“三角形中的幾何元素及其相互關系”有序而層層深入的探索，對于發現和提出性質的猜想是非常有用的，而且在探尋猜想的證明中，也能通過這種知識間的內在聯系提供思路、找到方法.

另外，對三角形性質的有層次分析還可以給課程內容設計、教材編寫和課堂教學以啟發：對一個數學對象的內容取舍要有主次之分，像第二層次、第三層次的性質，屬于基本內容，必須納入全體學生的必修范圍；而第四層次的性質，是重要的拓展性內容，是培養學生的創新精神、實踐能力的優良載體，可以設計為數學探究活動的內容，或者作為選學內容，讓學有余力的學生通過自主探究方式深入學習；有些內容是無關緊要的繁瑣細節，不應讓學生浪費時間.在內容安排上，也應按上述層次循序漸進，讓學生從基礎到拓展創新拾階而上.當前課堂中仍普遍存在著以解題代替一切的現象，而老師給學生做的題目往往針對繁瑣細節，對理解數學核心概念幫助不大，而且不是循序漸進地安排，很快讓學生面對復雜問題，違背了研究數學對象的一般規律，是造成數學學習困難和過重學習負擔的主要原因.

2.5 研究兩個三角形全等

我們知道，“相等”是數學中的基本關系.定義相等關系的目的在于說明在所討論的事物中什么是自己最關心的.兩個三角形全等就是它們能夠完全重合，這表明，對于三角形，我們只關心形狀和大小，而它的位置則不是我們感興趣的.由此還可以得到“確定一個三角形所需的條件”，給出三角形穩定性的理論解釋.同時，這也是“尺規作圖”的理論基礎.

1．定義，兩個能夠完全重合的三角形叫全等三角形.

這個定義是依賴于直觀的，“完全重合”是一種日常生活語言，僅僅是初級抽象，我們還需要進一步賦予它以數學意義，以提升其抽象層次.例如，把“完全重合”歸結為三角形要素之間的重合，即頂點的重合(對應頂點)、線段的疊合(對應邊)、角的疊合(對應角)；通過平移、翻折、旋轉等變換得到的圖形與原圖形全等；更精確的定義則需要用代數的方法.

2．性質，以“兩個三角形全等”為條件，推出兩個三角形對應元素之間的關系.

由定義可知，全等三角形對應邊相等、對應角相等.其實，只要是“對應元素”，如對應高、對應中線、對應角平分線等等，它們的大小相等、位置關系相同；全等三角形經過平移、旋轉、翻折等變換，可使對應頂點重合(從而可以推出任意對應點都重合).

3．判定，就是研究兩個三角形全等的充分條件.

仍然要先從三角形要素間的相互關系入手，就是要尋找三角形全等的最少條件：6個要素至少幾個對應相等才能保證兩個三角形全等.同時，還要歸納一下這些“最少條件”的共性.可以發現，SAS，ASA，SSS的共性是：三個要素，其中至少有一條對應邊.當然，還可以結合其他三角形性質給出判定，如AAS.

無論是性質還是判定，除了由三角形要素間的相互關系給出外，還可以由要素和相關要素的關系給出，這樣就可以得到大量命題.這些命題可以作為訓練學生創新思維、邏輯推理能力的練習題.另外，從平行線的性質與判定開始，對幾何圖形特殊的位置關系、一類幾何對象中的特例，都可以從“命題-逆命題”的關系入手展開探索與發現，這是培養學生“四能”，使學生學會數學地思考問題的契機.

2.6 定性結論的應用

1．尺規作圖的證明.

尺規作圖的證明是三角形的性質、全等三角形定理等的直接應用，其中最基本者自然是與基本幾何圖形及其相互關系相關的作圖.例如：作一個已知角的平分線，作一個角等于一個已知角，作一條線段的垂直平分線，給定三邊、兩邊一夾角或兩角一邊作一個三角形等等.

尺規作圖有點“自找麻煩”的味道，只能用沒有刻度的直尺和圓規，在承認“五項前提”、有限次運用“五項公法”而完成作圖，這樣的要求很苛刻，并且似乎沒有什么實用價值.但在數學史上，像倍立方、化圓為方、三等分角等幾何作圖難題對人類智慧形成長期挑戰，激發了數學家的好奇心，許多數學家致力于“幾何作圖不能問題”的研究，并由此推動了數學的發展，這是尺規作圖研究中產生的一個始料不及的“副產品”.所以，從這個意義上，適當地選擇一些尺規作圖問題以激發學生的數學興趣，作為訓練數學優秀生的數學探究活動素材也是可以的.事實上，幾何作圖對于培養學生的邏輯推理、直觀想象等素養是非常好的載體，作圖過程中的“分析”、“討論”等可以有效鍛煉思維的深刻性、嚴謹性.

2．角平分線性質定理、線段垂直平分線性質定理等的發現和證明.

這些性質的證明難度不大，難點在如何發現性質.我們仍以“幾何圖形組成要素的相互關系”為“引路人”，分析一下面臨的問題.

如圖1(1)，以射線OP平分∠AOB即∠AOP=∠BOP為前提，研究角平分線的性質.

(1) (2) (3) (4)圖1

因為OP的組成元素是點，射線OA，OB是∠AOB的組成元素，所以“OP上的點與OA，OB確定的關系就是角平分線的性質”.明確這一點很重要，它指明了研究方向.由相交線的研究經驗，點與直線的關系中，點到直線的距離是主題，于是我們可以把“確定的關系”進一步明確為“OP上的點到OA，OB的距離PA，PB之間的關系”(如圖1(2)).結合∠AOP=∠BOP，容易得到猜想PA=PB.在此基礎上，可順理成章提出“∠AOB內到角的兩邊距離相等的點有什么位置關系？”另外，角平分線的性質還可以有各種變式.例如，過OP上任意一點作OP的垂線(圖1(3))，或OA=OB則PA=PB(圖1(4))等.

線段垂直平分線性質的研究思路與角平分線性質類似，不贅述.

說明：對全等三角形的研究，按照“定義—性質—判定—應用”的路徑展開.從“幾何圖形要素的相互關系就是性質”的角度看，這里的性質是定義的具體化，而“判定”則是給出三角形全等的“最少條件”，是性質的逆定理.在“應用”中，用全等三角形定理等證明有關性質是一方面，更需要注意的是有關性質的發現.例如，如何想到“角平分線上的點到角的兩邊的距離”、“線段垂直平分線上的點到線段端點的距離”等值得研究的問題.

2.7 研究特殊三角形

我們知道，一類數學對象中，“特例”的地位往往也是特殊的.發現有價值的“特例”是深刻理解研究對象的重要一環.一般而言，一種幾何對象的“特例”要從“要素或要素關系的特殊化”入手進行抽象；研究的內容是“特例”有哪些不同于“一般”的特殊性質，以及“特例”的判定；研究路徑可以是“定義—性質—判定—應用”.

1．研究等腰三角形.

項武義認為，等腰三角形是最基本的三角形，原因是它的對稱性具體而入微地反映了平面的反射對稱性，成為討論平面幾何中對稱性的種種表現及推論的基本工具.所以，定性平面幾何的首要任務是推導等腰三角形的特征性質.[注]項武義. 基礎幾何學，人民教育出版社，2004年版，第16頁.而特征性質的推導中，指導思想仍然是“要素的相互關系”、“要素、相關要素的相互作用與聯系”，關鍵是搞清楚對稱軸的特性.

圖2

(1)定義：如圖2，△ABC中，如果AC=BC，則稱△ABC為等腰三角形，C為頂點，AC，BC為兩腰，AB為底邊.

(2)性質：①AC=BC(定義)，②∠A=∠B，③∠C的平分線垂直底邊，④底邊的中線垂直底邊，⑤底邊的高平分∠C.

(3)判定：作為性質定理的逆定理.因為以上各條性質都是可以利用SAS，ASA或SSS進行等價互推的，所以性質定理的逆定理都是成立的，這就得到了等腰三角形的判定定理.

(4)等腰三角形的特例——等邊三角形.

仍然按“要素、相關要素的相互關系就是性質”，在等腰三角形性質的基礎上，考查等邊三角形特有的性質：①等邊三角形的各角都等于60°；②各邊上的高、中線、垂直平分線以及相對頂點的角平分線重合；③重心、垂心、內心、外心重合——等邊三角形的中心；④等邊三角形內任意一點到三邊距離之和為定值；等等.

上述性質定理的逆命題成立，再聯系相關知識作出簡潔表達，即可得等邊三角形的判定定理，例如三個角都相等的三角形(或有一個角是60°的等腰三角形)是等邊三角形.

(5)應用.等腰三角形的特征性質是明顯的，學生通過觀察測量、翻折操作就容易得出猜想，性質的證明也不難，只要利用頂角平分線(對稱軸)，用SAS，ASA就可以了.關鍵是如何通過教材和教學的設計，讓學生體會到等腰三角形在定性平面幾何研究中的基本工具地位，這就是在“應用”中要考慮的主題.有兩條思路，一是像目前許多老師做的那樣，讓學生做大量復雜的題目，因為這樣的題目很多，所以學生的負擔很重；二是讓學生回過頭來，用等腰三角形的性質去證明SSS、角平分線定理、線段垂直平分線定理、大邊(角)對大角(邊)、三角形的外角大于不相鄰內角、三角形兩邊之和大于第三邊等平面幾何的基本定理，而且像尺規作圖那樣對方法做一點限制(例如盡量不用平行線性質).我認為第二條思路是值得重視的，這樣可以讓學生切實體驗到數學的整體性、聯系性，體會像等腰三角形這樣的核心知識的力量，體會由數學知識的層次性所決定的系統性，對學生的智力也有足夠的挑戰性，而且可以切實減輕學生的負擔，學生對數學的感受也會好得多.

從數學學習過程看，“應用”的目的是促使學生深入理解概念，使知識融會貫通，主要通過解題完成.解題要把握量和質的平衡，當前的問題是量太大而質不高，人為制造、細枝末節、繁瑣復雜的題目充斥課堂，學生做大量題目但對數學到底是研究什么的知之甚少.

2．研究直角三角形.

仍然沿用“要素、相關要素之間確定的關系就是性質”的思想，可以發現直角三角形的定性性質比較“平凡”：直角三角形的兩個銳角互余.而“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，這個性質放到矩形中更容易發現.直角三角形的判定也同樣“平凡”：有兩個角互余的三角形是直角三角形.

兩條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等(除用SAS證明外)、斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等，這兩條放在勾股定理中看，就是a2+b2=c2這個等式中任給兩個字母的值就可以唯一確定第三個字母值的幾何解釋.

顯然，直角三角形的不平凡在于勾股定理，而勾股定理的重要性則在于它在定量幾何中所扮演的奠基性角色.前文已述，“直”是直線的根本特性，“平”是平面的根本特性，歐氏幾何的根基就在這“直”和“平”里，數學家們用“公理”(平行公理、平面三公理等)給出了“平”“直”的基本特征(用直線上點之間的相互關系刻畫直線的“直”，用平面上的點、直線之間的相互關系刻畫平面的“平”).事實上，“公理”可以有等價定義，例如：過直線外一點有且僅有一條平行線，三角形內角和為180°，勾股定理，多邊形外角和為360°，圓的周長與直徑之比為π，同弧所對圓心角是圓周角的2倍.其中，勾股定理是度量直線段長度的工具，而直線段長度的度量則是定量幾何研究的起點和基礎所在.

在21世紀初開始實施的課程標準要求“探索勾股定理及其逆定理，并能運用它們解決一些簡單的實際問題”.從教材編寫和教學實踐看，大多是按照如下過程安排“探究”：

圖3

(1)圖3中三個正方形的面積有什么關系？等腰直角三角形的三邊是否都有這樣的關系？

(2)等腰直角三角形有“斜邊的平方等于兩直角邊的平方和”，其他的直角三角形也有這個性質嗎？圖4中，每個小方格的面積均為1，分別算出圖中正方形A，B，C，A′，B′，C′的面積，能得出同樣的結論嗎？

(3)對任意直角三角形是否都有“斜邊的平方等于兩直角邊的平方和”？

圖4

我認為，上述“探究”沒有數學的含金量，對學生的思維也沒有挑戰性，其中的關鍵點是“告訴式”給出的.如果有學生問：“你是如何想到要去計算這些面積的？”顯然，這是一個更關鍵的問題，是真正具有探究價值的，但已超出初中學生的能力范圍.

我認為，在“要素、相關要素之間的相互關系就是性質”的引領下，發現三角形的各種定性性質有“基本套路”，但勾股定理的發現和證明具有很強的構造性，如果沒有畢達哥拉斯那樣對圖形關系的高度敏感性和好運氣，那么要發現直角三角形三邊的平方關系是很難的.所以，在初中課程中，可以將內容和要求改為“探索勾股定理及其逆定理的證明方法”.

2.8 研究三角形的定量性質

三角形的定量性質中，勾股定理具有基本的重要性.另外，三角形的面積公式、相似三角形的性質也是最基本的.由SAS，ASA，SSS可知，三角形的形狀、大小由這三組要素分別唯一確定.從定量角度看，就是三角形的三邊邊長、三個內角的度數、面積、高、外徑、內徑等任意的幾何量都可以用這三組要素分別表示.這就是三角形定量性質所要研究的主要問題.

1．幾何度量課程設計及學習過程分析.

(1)幾何度量的內容分析

(2)幾何度量的課程教材設計

顯然，如果從發揮定量幾何的育人功能看，先讓學生解決與單位長可公度的線段長、矩形面積公式等問題，了解幾何度量的基本思想，積累相應的直觀經驗，會用公式解決一些度量計算或實際問題，在學生掌握了極限理論和逼近法后，再重新提出幾何度量問題，引入不可公度性，并用逼近法對有關定理和公式進行“補充證明”，使之達到嚴密化.這是一種比較理想的課程設計，符合學生的認知規律，有利于學生循序漸進地認識幾何度量理論，并能在此過程中有效地發展學生的理性思維.但我國現實的數學課程設計是：小學階段學習線段、面積的度量，提出了“經歷用不同方式測量物體長度的過程，體會建立統一度量單位的重要性，在實踐活動中體會并認識長度單位”，“探索并掌握長方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形的面積公式”的要求；高中階段要求“知道球、棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積的計算公式”(不需要進行理論證明)；大學對幾何度量理論不再專門研究.所以，在我國的數學課程中，幾何度量課程基本上是“模糊處理”了，學生沒有機會接觸“可不可公度”這樣涉及空間連續性本質的問題，實際上中小學教師對這個問題也基本上是不了解的.

到底該如何有層次地設計幾何度量課程，這是一個問題.

(3)幾何度量學習過程分析

下面簡要分析一下建立在直覺基礎上、不涉及不可公度性的幾何度量學習過程.認識長度、角度、面積、體積等，一般都經歷下述五個階段：

①量的初步認識，即直觀感知“量”，直觀或直接比較“量”的大小；

②量的間接比較，即用非標準單位或用另一個量為“中介”比較；

③提出統一度量標準的思想，認識國際通用單位并用其描述大小；

④國際通用單位體系的認識與換算；

⑤利用公式求量的大小(只有面積和體積有此階段).

之所以有相同的認識過程，是因為這些幾何量的數學結構相同，核心要素有兩點：一是度量單位，這是一個從不標準單位到標準單位，最終形成單位體系的過程；二是單位的個數就是量的大小.當然，其背后的理論基礎則是運動不變性、疊合性、有限可加(減)性以及不可公度性等度量的基本性質.

(4)面積的學習過程

根據以上過程，我們可以這樣安排“面積”的學習線索：

第一步，直觀認識平面圖形有大小之分，一個平面圖形的大小可以用數來表示，叫做這個圖形的面積(不涉及曲面).

第二步，規定邊長為1個單位的正方形的面積為1.直觀上，任意移動這個正方形，其大小不會變化.

第三步，兩個單位正方形如果不重疊，它們的面積之和是2.把邊長為自然數a和b的矩形劃分為邊長為1的單位正方形的組合，用數格子的方法得出面積為ab.

第四步，默認邊長為分數的矩形，其面積仍然是長×寬.

第五步，通過截割、平移、拼接等，求平行四邊形、三角形的面積.

上述過程蘊含了豐富的數學思想和方法，可以積累數學活動經驗，關注的是怎樣通過“數數”的方法，用一個“數”確定一個幾何圖形(線段、平面圖形、角等)的大小，滲透著度量的性質(運動不變、有限可加性等).

2．研究相似三角形.

兩個圖形相似，是對“形狀相同”的數學刻畫，其落腳點仍然在圖形組成要素的相互關系上，而且是用一個“數”來表示這種關系的.《幾何原本》對相似直線形(即多邊形)的定義是：“凡直線形，若它們的角對應相等且夾等角的邊成比例，則稱它們是相似直線形”.[注]歐幾里得. 幾何原本，蘭紀正 朱恩寬，譯-2版，西安：陜西科學技術出版社，2003，151頁.在此定義下研究相似三角形.另外，相似三角形邊長比例式要利用平行線分線段成比例定理，而平行線分線段成比例定理的證明又要利用線段的不可公度性.

(1)從平行分割到相似三角形的判定.如果我們用運動的眼光看平行線段分割線段圖形，可以得到圖5，進而得出：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應線段成比例.進一步地，又容易得出：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似.這樣就完成了相似三角形的奠基.

圖5

另外，如果兩個三角形相似，那么我們可以通過圖形的平移、旋轉或翻折，將一個三角形疊放到另一個三角形上，而使其中一個角相互疊合，這個角的對邊相互平行，如圖6所示.這樣，我們就可以像全等三角形那樣，通過三角形要素間的相互關系給出相似三角形的判定定理：兩角分別相等的兩個三角形相似；兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；三邊成比例的兩個三角形相似.特別地，對于直角三角形也有與全等三角形類似的“斜邊、直角邊分別成比例的兩個直角三角形相似”.

(2)相似三角形的性質中，關于三角形的要素(邊、角)之間的定量關系已經由定義給出.所以可以把思路放得更寬一些，研究相似三角形的對應線段的比、面積比等與相似比這一“基本量”的關系，也就是說，把其他量表示為相似比的函數.

從認知的角度看，因為之前掌握的知識、學過的數學思想和方法以及積累的幾何研究經驗(數學活動經驗)足以支持學生獨立自主地研究相似三角形的性質，所以從課題的提出、研究內容的確定到研究路徑的建立，再到各種各樣性質的探究與證明，都可以由學生自主完成.事實上，無論是教材還是教學，相似三角形的性質都可以在單元整體設計思想的指導下，處理成探究性學習課題.

以上內容，通過與全等三角形類比，得出相似三角形判定、性質的猜想并給出證明不算困難，難點是建立相似三角形的研究基礎——比例論.顯然，難點的突破可以有力地促進學生數學思維的發展和數學素養的提升，但對一般學生而言，過分強調理論的嚴格性可能是不合適的.因此，對“平行分割”的處理，可以讓學生通過直觀感知、操作確認等數學活動，建立比例的相關知識、平行線分線段成比例定理等的基本理解，并可以通過與數系擴充(從有理數到實數)類比的方式，讓學生感受線段的不可公度性，培養直觀想象素養.在此基礎上，把重點放在“明確問題—確定內容—構建路徑—實施探究—形成結果—梳理體系”上，在“平行分割—對三角形的平行分割(作平行于三角形一邊的平行線)—相似三角形判定的猜想與證明”的各關節點上加強“情境—問題”的設計，引導學生開展系列化的數學探究活動，相似三角形的性質則作為單元主題探究活動，讓學生獨立完成.

(3)關于習題的選擇.因為在此之前學生已經學習了較多的幾何知識，通過知識的聯系、變式等可以產生大量的題目，所以必須認真考慮如何選擇練習題的問題.鞏固知識的基礎題當然是重要的，但含金量高[注]數學題的質量應該有一些基本指標，例如：在深化理解、建立聯系、發展概念、促進思維及建立良好認知結構等方面有 較好作用.的數學題往往有一定的難度，需要絞盡腦汁，但一旦通過持之以恒的努力獲得突破，那么就會有融會貫通、一通百通之效，而有的題則做再多也無濟于事.這里，三角形中位線定理、重心的性質、內(外)角平分線的性質、Menelous定理、Ceva定理等等，都可作為練習題，也可以設計一些作圖題，還可以在限定某些條件或方法下證明有關定理(例如用面積法證明三角形相似定理).

3．從相似三角形到三角比

(1)從定性到定量.這里實際上是發現和提出問題、明確研究路徑的過程.前面討論的三角形定量性質，聚焦在邊與邊、角與角各自的定量關系上.進一步的問題是，三角形的邊與角之間是否存在定量關系呢？由SAS，ASA，SSS可知，三角形的形狀、大小已經由這三組要素分別唯一確定，所以我們可以定性地得出結論：三角形的邊與角之間存在確定的定量關系，例如由SAS可知，a，B，C都可以由給定的b，A，c唯一確定.

那么，三角形的邊和角有怎樣的定量關系呢？由“兩角分別相等的兩個三角形相似”可知，由“對應角相等”可以確定“對應邊成比例”；由“三邊成比例的兩個三角形相似”可知，由“對應邊成比例”可以確定“對應角相等”.所以，我們可以通過研究“邊之比”與“角”之間的關系得出三角形的邊與角之間的定量關系.

(2)直角三角形的邊角關系.在三角形中，“邊之比”與角之間的關系最明顯的是直角三角形.以往的定性結論中有“在直角三角形中，30°角所對的邊是斜邊的一半”.換一種表述方法，我們有：

受上述結論啟發，一個合理的猜想是：

這個猜想很容易由“有一個銳角相等的直角三角形相似”得到證明.

一般地，我們有：

這里，雖然只是“換一種表述”，但卻賦予了相似比以新的數學含義，這就是“數學眼光”的威力.在此過程中，數學思想、看問題的角度或觀點發揮著決定性作用，這是我們在數學教學中應引導學生認真體會的.

(3)一般三角形的邊角關系，我們只要利用三角形的高，就可以轉化為直角三角形的問題.例如：

圖7

圖8

由正弦定理就可以解ASA條件下的三角形了.

如圖8，有c=bcosA+acosB；a=ccosB+bcosC；b=acosC+ccosA.以cosA，cosB，cosC為未知元，解三元一次方程組，可得余弦定理：

以上定理是基于銳角三角形推理而得的，對于鈍角三角形，需要先有鈍角三角形函數與銳角三角函數的關系式：

其中A是鈍角.

在上述討論中，因為面積是基本而重要的幾何量，三角形面積公式又很容易由銳角三角函數得出，而正弦定理就是面積等式的推論，因此正弦定理的推導應首選這個方法.

上述關系式以及正弦定理、余弦定理，在銳角三角函數的基礎上，很容易通過三角形的高這個媒介而得到.所以，將正弦定理、余弦定理納入初中數學內容，使任意三角形可解，這是非常值得考慮的.事實上，目前小學、高中的數學內容偏多，而初中的內容相對偏少，把解三角形的內容放在初中(其實這一內容在以往曾經放在初中)，可以緩解這個矛盾.

3 小結

以上我們以研究一個數學對象的內在邏輯為線索，從研究內容以及研究路徑的確定、抽象研究對象的數學方式、幾何圖形的性質及其層次、幾何圖形性質的發現和證明等角度對研究三角形的過程中所呈現的數學思維方式進行了概要分析，并以此為依據闡釋了相關內容的育人價值，在分析的過程中順便對初中平面幾何課程內容的選擇、教材的設計、教學內容的處理(如將第四層次的性質作為數學探究活動、把“探究勾股定理”改為“探究勾股定理的證明”、相似三角形的單元整體設計、正弦定理和余弦定理的內容安排等)、習題的選擇與安排以及課堂教學中應關注的問題等進行了討論.筆者始終堅信，學科育人要依靠學科的內在力量，而數學學科的育人力量就蘊含于數學內容之中，因此教師的專業水平首先體現在挖掘數學內容所蘊含的育人資源上，其中對內容所反映的數學思想和研究數學對象的過程中所體現的數學思維方式方法的理解和教學解讀又成為關鍵.

事實上，本文試圖從數學思維方式的角度給出一個解析數學內容的框架.從中可以發現，在解析教學內容的過程中，為了提升對數學內容的認識水平，我們必須對一些具有統攝性的“一般觀念”(big idea)有基本把握.例如：如何抽象一個數學對象(例如，對于幾何對象，要從分析典型事例的組成要素及其基本關系入手)；數學對象的定義方式；幾何圖形的性質指什么；代數性質指什么；函數性質指什么；概率性質指什么；等等.在“一般觀念”的指導下，循著“教學內容的內涵——由內容所反映的數學思想和方法——當前教學內容的上、下位知識(明確知識的來龍去脈)——內容的育人價值”的路徑，對教學內容進行深入細致的解析.在此基礎上設計系列化數學活動，展開數學育人，其基本途徑則應是：以數學知識技能為載體，創設符合學生認知規律的問題情境，在教師的啟發引導下，讓學生開展獨立思考、自主探究、合作交流活動，獲得“四基”、提高“四能”，形成數學的思維方式，培養理性思維和科學精神.其中，圍繞真正的數學問題，開展有數學含金量的教學活動，促使學生在獨立思考的過程中形成數學的思維方式，學會用數學的眼光觀察世界、用數學的思維思考世界、用數學的語言表達世界，又應是重中之重.而真正的數學問題、有數學含金量的教學活動又依賴于教師的數學理解水平.所以，歸根到底，教師扎實的數學基本功、對中學數學內容的整體架構的把握，是搞好數學教學、落實核心素養的關鍵基礎.缺少這個，其他一切免談.這就是我們強調“四個理解”中，“理解數學”居于首位的理由.