用問題驅動探究讓結論自主建構——以“導數在研究函數單調性中的應用”為例

楊 勇

(江蘇省鎮江市實驗高級中學 212003)

1 問題提出

數學家哈爾莫斯說過：“問題是數學的心臟”，一堂有價值的探究課通常從問題開始，用問題來驅動.這就需要我們設計好數學問題，在問題的探究過程中關注數學知識與技能目標的落實，挖掘數學知識的內在聯系，揭示數學的思想和方法，讓學生在問題解決中實現對知識的自我建構，積累數學活動經驗，學會數學地思考和表達，這是新一輪課程改革所倡導的.然而，在目前的數學教學中，有的問題設計簡單、膚淺，探究價值不大，只呈現表面的熱鬧，學生的思維得不到鍛煉，有的問題又超出學生的能力水平，探究不下去，取而代之的是直接向學生實施知識的“填與灌”，學生缺乏主動建構知識的過程，導致對知識的建構不穩固.如何用問題驅動探究，讓結論自主建構？下面筆者結合2018年12月在“江蘇省教育科學研究院高中科研基地學校主題論壇”上執教的《導數在研究函數單調性中的應用》一課，談談自己的幾點思考.

2 教學過程

2.1 創設情境 提出問題

師：過去我們怎樣判斷函數的單調性？

生：圖象法、定義法.

師：現在還能用上述方法嗎？

生：(思考片刻)不能，因為用圖象法在描點畫圖時誤差太大，用定義法經過運算又難以確定f(x1)-f(x2)的符號！

生：對老方法進行再研究或尋找新方法.

2.2 實驗演示 合作探究

問題3：下面我們就對單調性的定義進行再研究，看看能否有新的發現？請同學們先獨立思考幾分鐘，然后進行小組交流.

師：請各小組派代表發言.

組1：以增函數為例，對其中的關鍵語句“某個區間A上的任意兩個值x1,x2，當x1

師：這兩個數同號的數學表達是什么？然后又什么新的聯想和發現？

師：能進一步尋找割線斜率為正的充分條件嗎？

組4：瞬時變化率吧？函數在某一點處的瞬時變化率就是導數，那么是導數？好像一下子又說不清.

組5：割線的斜率可以反映曲線的平均變化趨勢，當其中一點無限逼近另一點時，割線就成了該點處的切線，切線的斜率反映的是曲線的瞬時變化趨勢，這其中似乎有某種內在的聯系！

師：用逼近的思想分析的很好. 函數y=f(x)在一點可導，意味著函數在這一點附近近似于一次函數，即曲線在一點的附近可以近似地看成一條切線，這叫“以直代曲”，若該點處切線斜率為正或負，從圖形變化趨勢上看說明什么？

組6：說明函數在該點處呈上升或下降的趨勢.

師：如果函數在區間A上每一點處的變化趨勢都相同，那么函數在該區間上整體的變化趨勢如何，單調性又如何呢？

讓我們借助幾何畫板來進行探究(由學生自由舉例)，大家有什么發現？

組7：若函數在區間A上的每一點處呈上升(下降)趨勢，則函數圖象整體呈上升(下降)趨勢，函數單調遞增(減).由此可見，在區間A上的函數切線斜率決定了函數的圖象變化趨勢，也就是函數的單調性.即函數在區間A上的每一點處的切線的斜率大于零，函數單調遞增；在區間A上的每一點處的切線的斜率小于零，函數單調遞減.

師：上述猜想是從形的方面得到的，我們再從數的方面驗證一下我們的猜想，請填表，完成以后，請每組自己也舉出幾個常見的函數進行驗證.

函 數f(x)=x2f(x)=x3f(x)=ln xf(x)=sin x導數符號單調性

(1)獨立驗證，合作釋疑，展示成果；(2)教師從學生中選擇具有代表性的函數進行匯報展示.

問題4：探究至此，結論呼之欲出，誰來表達一下？

生：我們得到這樣的猜想：對于函數y=f(x)，如果在某區間上f′(x)>0，那么f(x)為該區間上的增函數；如果在某區間上f′(x)<0，那么f(x)為該區間上的減函數．

2.3 自主建構 感悟新知

師：通過數和形兩方面驗證，每一次驗證，都增強了猜想是正確的信心！接下來，我們將研究猜想的證明.

生：從直觀上看，是成立的.

師：如何保證？

問題6：當P、Q是確定的兩點時，的確如此！當P、Q是區間上任意兩點時，能保證嗎？

生：鼓掌！

師：精彩！“不知道切點S在哪里，但它確定存在！”請允許我借用賈島的詩句：“松下問童子，言師采藥去。只在此山中，云深不知處。”來表達一下我的心情，雖然我們不知道“老藥師”在山中的什么地方，但他卻肯定存在著.這種“純粹的存在”在數學中是常見的，你還能舉出這樣的例子嗎？

生：比如“抽屜原理”(也稱“鴿籠原理”)就是把M個蘋果放在N個抽屜里(M>N)，那么必定存在1個抽屜，其中的蘋果多于1個.至于究竟是哪個抽屜，我們并不知道.

生：齊贊嘆！

師：經過探究我們得到下面的結論：對于函數y=f(x)，如果在某區間上f′(x)>0，那么f(x)為該區間上的增函數；如果在某區間上f′(x)<0，那么f(x)為該區間上的減函數．

師：如果在某區間上f′(x)=0，那么f(x)為該區間上的什么函數?

生:常數函數.

設計意圖：由于該結論的證明很難，在學生得出猜想后，很多老師會讓學生記住結論，然后匆忙去做題，這樣正確率或許很高，課堂氣氛也許熱鬧，但學生對這一結論的理解還停留在表面的形式化，對導數正負與單調性的內在聯系似懂非懂，為后繼學習埋下了隱患，因為沒有探究出結論的證明過程，運用起來總感覺是“無根之木”、“無源之水”.筆者在本環節，為引導學生自己證出結論，層層鋪墊，循循善誘，激發學生突破這一難點，同時結合古詩詞的賞析，培養思維方式，鑒賞數學之美，挖掘潛在價值，也為后續深入學習微積分的內容打下了堅實的基礎.

2.4 拓展探究 深化理解

問題7：上述結論的逆命題成立嗎？

即：如果f(x)在某區間上為增函數，那么在該區間上f′(x)>0成立嗎?

生：不一定，在用幾何畫板的探究中發現f(x)=x3在R上為增函數, 但f′(0)=0.

師：也就是說，如果f(x)在某區間上為增函數，那么在該區間上f′(x)≥0.

問題8：反之,如果在某區間上f′(x)≥0，那么f(x)在該區間上為增函數，成立嗎?

生：也不一定，f′(x)≥0即：f′(x)>0或f′(x)=0，當函數f(x)在該區間上的某個子區間內f′(x)=0，即為常數函數，不具有單調性.

問題9：那作怎樣的修改后即可成立?

生：如果在某區間上f′(x)≥0，且該區間上的任一子區間內f′(x)≠0(在若干個不連續的點處的導數可以為0)，那么f(x)在該區間上為增函數.

師：分析透徹，回味綿長!

設計意圖：教師應該充分認識到，學生知識結構的改變和數學素養的提升不僅是要教師講，更需要學生的親身體驗、參與、交流，本環節通過問題設計，引導學生逆向的探究拓展，引發學生不斷深度入思考，去明辨其中的充分性和必要性，從而達到對數學本質的深入理解，在這一過程中學生的思維被完全激活，在不斷完善條件中提升了理性思辨的能力．

2.5 數學應用 鞏固新知

例1：確定函數f(x)=2x3-6x2+7在哪些區間上是增函數．

例2：確定函數f(x)=sinx(x∈(0,2π))的單調減區間．

設計意圖：例題教學是結論的應用和深化過程，重在模仿性、辨別性和層次性，例1、例2說明當根據定義不太容易解決函數單調性時，可以利用導數來解決;例3則說明不能根據定義法解決的，利用導數仍可以解決，從三次函數到三角函數再到較復雜函數，層層深入，讓學生感受探究的價值，體現了導數法研究函數單調性的優越性和普遍適用性．

2.6 反思總結 歸納提煉

師：請說說今天這節課有什么收獲？

生：一個數學方法；二方面應用；三類數學思想.

師：具體說說哪三類數學思想？

生：數形結合，轉化與化歸，以直代曲.

師：精彩的總結讓我們對利用導數判斷函數的單調性的認識得到了升華！

3 幾點思考

蘇霍姆林斯基說過：在人的心靈深處都有一種根深蒂固的需要，這就是希望感到自己是一個發現者、研究者、探索者.學生對問題的好奇心和探知欲是天生的，關鍵是如何讓學生在課堂上能主動探究，教師應認真研究學生已有的知識基礎、認知結構，對新知識學習的心理準備、知識儲備等，在此基礎上，設計出合理問題，用問題驅動學生主動探究，通過問題的解決來實現自主建構.

3.1 用問題驅動探究要以教學目標為出發點

問題設計首先應該服從于教學目標的達成，教學目標是構成一堂好課的第一要素，如果說正確的教學內容決定教什么、學什么，那么明確的教學目標則規定教到什么程度、學到什么水平.我們上課之前需要思考為什么提出這樣的課題？這樣的課題包含哪些內容？課程標準對課題的要求是什么？如何抓住重點、突破難點？只有深刻理解教材，才能把握目標，才能有合理的問題設計，才能保證探究活動的開展和學生對知識的自主建構沿著正確的方向展開.本課中導數與函數單調性兩個概念都非常抽象，引導和揭示它們之間的聯系是重點也是難點，該內容是在學習了平均變化率、瞬時變化率、導數的定義和幾何意義之后為研究單調性提供了更一般的方法，是后面學習能力基礎和方法指導，也為后續深入學習微積分的內容打下了堅實的基礎.本人在設計問題時作了充分考慮，驅動了學生開展更有效、更深入的探究活動，促進了學生對知識意義的自主建構.

3.2 用問題驅動探究要以情境創設為切入點

3.3 用問題驅動探究要以最近發展區為著力點

維果斯基提出的最近發展區理論，他認為個體的發展有兩個水平，一是自身所能達到的獨立完成任務的水平，二是在他人的幫助下完成任務的水平. 據此，合理的問題設計應以學生的最近發展區——介于這兩個水平之間的區域為著力點，以學生已有的認知水平為基礎，設計出讓學生跳一跳能夠得著的問題，這樣既有利于讓學生感到問題的挑戰性，引領他們積極思考，又能感受到成功的喜悅，激發他們繼續深入探究的激情和勇氣. 需要說明的是，問題過難過易都不利于學生的探究，更不能無視學生已有的知識經驗，簡單強硬地從外部對學生實施知識的“填灌”，而是應當通過難易適中的問題啟發學生在課堂愿意思考，能夠思考，并且在思考之后能夠有所得. 如本課中結論證明過程的設計，先降低難度，從P、Q是區間上確定兩點得到證法，然后拾級而上，引導學生進一步推出：當P、Q是區間上任意兩點時的情況也能保證成立，再經過總結反思，發現結論證明過程和唐詩意境竟然相互融通，讓學生在廣泛聯系中不僅理解了“純粹的存在”，更突破了抽象化證明的難點，實現了對結論的自主建構.

3.4 用問題驅動探究要以提高問題開放性為支撐點

涂榮豹先生曾經指出：啟發探究最重要的就是要在教學中盡可能多采用一些元認知問題，少采用一些認知性的問題，即要通過提高問題的開放性來激發學生探究的積極性. 我們在設計問題時要具備一定的開放性和自由度，能夠給學生的獨立思考和主動探究留下充分的探究空間，同時也應將“同學間的合作和積極互動”考慮在內.數學問題開放性是相對于傳統的“條件完備、結論確定”封閉性而言的,它只是“問題”，而不是有現成的解決模式可套的“習題”，在開放性問題的探究中，解決問題的思想和途徑可能因人而異，靈活多樣；結論或結果一般是豐富多彩的；預設與生成有時會“大相徑庭”；正是因為這樣，才有利于老師捕捉沖突點、引發思維碰撞，有助于學生建構知識，使每個學生在原有基礎上獲得相應的發展. 例如，本課中：“你能自己舉例進行驗證嗎？”“結論的逆命題成立嗎？”“作怎樣的修改后即可成立？”等問題，起到了把探究活動引向深入的同時，也為學生發現問題、提出問題、分析和解決問題能力的提升奠定了基礎.

3.5 用問題驅動探究要以促進數學思想方法內化為落腳點

數學教學內容是“數學基礎知識”、“數學方法”和“數學思想”的有機結合，其中“數學思想和方法”是數學的靈魂，在教材中“數學思想和方法”大都沒有直接的文字表述，它是從具體數學認識中提煉和概括出來的，其在后繼認識活動中反復得到驗證，帶有一般意義和相對穩定的特征.在問題設計時盡力去挖掘和提煉知識背后所蘊含的數學思想，然后把它巧妙的融入到探究過程中，讓學生去感悟、體驗這其中的數學味，從而加深學生對數學概念、公式、定理、結論的理解，提高學生的數學能力和思維品質，促進數學思想方法的真正內化，在潛移默化中實現核心素養的提升.如本課中：學生對逆命題的探究，層層深入，鞭辟入里，明辨了其中的充分性和必要性，在達到對結論本質自主建構的同時，特殊到一般、數形結合等數學思想得到了滲透，數學抽象素養、邏輯推理、直觀想象等核心素養得到了提高！