基于體驗與感悟的高中數學教學設計的思考

陳傳熙

(浙江省玉環中學 317600)

培養學生的數學素養，必須要讓學生對數學概念、問題、方法、思想的整體認識、系統思維、過程體驗與心靈感悟真正地落到實處，這取決于學生的自主學習能力的水平，也取決于數學教學設計的到位與助力程度．好的數學教學設計應有利于思考，也有助于探究，并能促進學生的學習體驗與思想感悟.

1 高中數學教學設計的操作流程

為了促進學生的體驗與感悟，高中數學教學設計應有三重預設.

(1)基礎預設．要注意對數學內容、學情的總體把握，既要關注相應教學內容的整體要求，又要注意數學核心概念與思想方法的理解；既要關注相應教學目標的準確把握，更要注意學情的調查與學生能力的準確定位；

(2)中級預設．要關注數學核心知識、方法的預設處理，既要重視核心概念的背景挖掘，又要注重典型問題的精心選擇與合理組織；既要注意相關知識的數學化預設，又要考慮相關數學方法的一般化預演；

(3)高級預設．要關注學生的過程體驗與思想感悟，既要注重數學概念的精致與學生的理解，又要注意相關問題的分析與學生的探究過程；既要關注相應知識與方法的練習預設，更要強調知識系統的重構與思想感悟的心路歷程.

具體操作流程的設計如圖1所示.

圖1 高中數學教學設計的操作流程

2 基于體驗與感悟的高中數學教學設計

基于上述操作流程，通過合理的教學設計，充分挖掘數學知識的背景素材，引發學生的興趣和參與意識，引導學生積極主動地學習，激發其內心的真實體驗與心靈感悟，進而對數學產生較為全面的認識，提高相應的數學素養，形成積極的情感態度，為未來的發展和進一步學習打下良好基礎.

現以“直線與平面所成的角[1](以下簡稱‘線面角’)”的教學設計為例說明如下.

2.1 分支章節的整體把握

每一節數學課的教學內容都是相應數學分支中的一個點，只有站在整個分支的高度來設計教學才能從整體上把握所授內容的地位與作用、能力與要求、系統與建構，才能利于學生真正理解和掌握相應的數學知識內涵、方法運用、思想本質.

幾何學是研究現實世界中物體的形狀、大小與位置關系的數學學科．立體幾何的學習可培養和發展學生的幾何直觀、運用圖形語言進行交流和空間想象的能力，進而形成一般的推理論證能力[2]，高中學習立體幾何主要通過直觀感知、操作確認、思辨論證、度量計算等方法去認識與探索幾何圖形及其性質．立體幾何的學習一共安排了三章內容，主要涉及立體幾何的整體認識、位置關系與運算求解，其中“點、線、面的位置關系”承載著培養立體幾何基礎能力的核心任務，而“線面角”就落在這個核心章節之中.

空間角的知識系統包括兩條異面直線所成的角(線線角)、直線與平面所成的角(線面角)、兩個平面所成的角(二面角的平面角)這三類，其中線線角容易理解和把握，后兩類角具有更強的空間意義，能進一步提高學生對空間位置關系的認識．線面角上承線線角，下啟二面角，具有一定的基礎性與學習的示范性，是建構整個空間角系統的核心．同時，立體幾何運算的兩大對象就是角和距離，線面角與距離也密不可分，在空間想象、推理、計算等層面上均有重要作用.

2.2 課時分解與目標定位

面對不同的地域、學校與學生，相關的教學要求與學習定位應有所差異．故對于教參中的課時分解、目標分析等建議，不能簡單地照抄照搬，應在反復研讀的基礎上，結合學生的實際情況，形成較為合理的認識、見解與定位.

一般地，數學知識的學習時間應基于知識的廣度與學習的難度，及其在相關知識系統中的地位和重要性．對于線面角，教材安排了簡單的概念學習和1個例題(角的尋找與運算)．按照教參的1個課時建議，可能出現概念學習時間的壓縮和運算的提前進入，這會導致概念的產生因簡單而粗糙，學生的理解因被動而生硬，削弱尋找線面角的想象與體驗過程，進而難以感悟到其中隱含的思想方法．因此，用2個課時更為合理. 其中，第1課時主要著眼于線面角的產生、發展與聯系，第2課時則專注于線面角的尋找、求解、運用與延伸．基于上述分析，確定了如下的學習目標與重、難點.

學習目標：了解“最小角定理”，理解線面角的概念，體會線面角的唯一性與最優化過程．能在不同圖形中準確尋找、證明與求解線面角，培養幾何直觀、空間想象和推理論證能力；

重點：線面角概念的形成與理解、尋找與求解；

難點：線面角的唯一性理解，如何尋找和確定線面角.

通過學習，學生在線面角的產生過程中感受探索的樂趣和數學美的熏陶，在尋找過程中逐步加深概念理解、促進思維發展，在深切的體驗與感悟中，體會數學思想的力度，提高思維的水平.

2.3 核心概念與思想方法理解

每一節課都有其核心概念與思想方法，它們可能是分支或章節的核心或關鍵點，也可能是上述核心的分解與關節點．對此，教師必須要理解到位，力求達到概念與思想的本質，這樣才能引導學生理解本質，體悟思想方法.

線面角屬于空間角的范疇，當然也屬于角的知識系統．學生以往所學的平面角有描述性與發生式兩種概念．直觀上，角是由有公共端點的兩條射線所組成的圖形．運動上，角是由一條射線繞其端點旋轉后所產生的直觀圖形．因此，作為空間范疇的線面角，它既有屬于空間層面的立體感(直線與平面之間的相對位置)，也有屬于平面層面的直觀性(直線與平面內某條直線之間的夾角)．因此，解決線面角問題的基本思想方法就是如何將其轉化與化歸為平面角，其關鍵在于確定平面內的哪條直線，這就需要選擇與比較，其間自然蘊含了運動變化的觀點．基于不同角之間的運動變化，在直觀感知、觀察實驗、說理計算、操作確認、思辨論證等思維過程中，實現線面角的概念形成與位置確定.

2.4 學情與知識能力的定位

作為學習的主體，學生的知識、能力基礎必然是教學設計的出發點．教師需要調查、了解學生的真實學習現狀，針對其數學知識與能力水平、思維習慣與方式進行定位與布局，力求契合實際、適時調整、漸進引導，逐步提升學生的數學素養.

隨著初中平面幾何學習難度與要求的明顯降低，學生的幾何推理論證能力也明顯下降．隨著空間向量進入高中數學，以及高中數學必修模塊的課時制約，也間接導致了立體幾何的課時被壓縮、要求被削弱、進度被加快．為了提高學生的成績，題海戰術大行其道，在一定程度上減少了體驗與領悟的時間與空間，使得學生的語言表達能力、理性思維水平、基本數學素養的培養與提升均受到了一定的制約．盡管本校學生的基礎相對較好，但他們在幾何方面的思維水平仍然不高．上述學情也是建議用2課時來學習的重要依據.

2.5 核心概念的背景挖掘

數學各個分支的核心概念必然有其自然發生與發展的歷史背景．每節課的核心概念既可能與其相關，也可能與科學、社會經濟、日常生活相關，這些背景的挖掘有助于知識、方法、思想的前后聯系、系統建構與延伸發展.

線面角是線面位置關系在數量上的一種反映．求解的關鍵在于尋找已知直線在平面上的射影，故線面垂直是解決線面角的知識基礎和核心背景．當然，線線角、二面角等也是其基礎與延伸的背景．那么，線面角的現實背景呢？事實上，生活中常見移栽樹木與電線桿的固定，遮蔭蓬的搭建與支撐，還有比薩斜塔的直觀性，這些都構成了線面角的實際背景與現實參照，也是設計教學情境的現實背景與出發點.

2.6 典型問題的選擇與組織

問題是數學知識的理想載體，典型問題更是承載整個章、節的核心概念、方法與思想的學習推進劑，相關問題的選擇與組織對數學學習有著無比重要的作用．數學情境的載體往往是一個典型問題的前身，它能將學生的思維逐步推向縱深．為了理解、掌握知識，還需要對問題進行變式應用.

基于空間層面，尋找典型問題的實質也可以說就是尋找一個典型的圖形.

就線面角而言，平面的一條斜線、一條垂線及斜線在平面上的射影構成了一個基本圖形，線面角的所有問題均由其生成．在此基礎上，通過圖形變式，即可將本節課的核心知識組織起來，將相應的典型問題串聯起來.

圖2

問題1如圖2，OB⊥α，OA,OD分別與平面α交于點A,D，試比較∠OAB,∠OAD的大小，并探討兩者之間的數量關系.

注問題1的目的是推導“最小角定理”，順便也可推導cos∠OAD=cos∠OAB·cos∠BAD這個副產品，從而使其中的關系更加清晰化.

圖3

問題2如圖3，AB與平面α交于點B，AO⊥α于O點，BC?α. 若∠ABC=60°，∠OBC=45°，求AB和α的夾角.

注問題2是“最小角定理”的基本應用，既能深刻理解概念，還可進行相應變式.

圖4

問題3如圖4，OB⊥α于B，A,D∈α，若OA=OD，你能得到什么結論？若已知AB=BD呢？若∠OAB=∠ODB呢？

注問題3是教材練習的基礎，能將問題2的思維引向縱深，并進一步聯系、類比、延伸到三角形的“心”等相關知識，進行相應變式.

2.7 相關知識的數學化預設

數學知識自有其抽象性與形象化的特征．基于認知的一般規律，學習數學知識，需要合情、形象的處理，然后逐步符號化、形式化，進而達到知識的數學化理解．數學化也是學生與數學知識漸行漸近、理解融合、達到本質表達的過程.

數學化從某種意義上來說就是相關知識的符號化與形式化．基于線面垂直，求解線面角的規范模式為：如圖2，因為OB⊥α，則AB就是OA在平面α上的射影，故∠OAB就是OA與α所成的線面角.

當然，教學中不能只限于形式化的表達，還要強調對數學本質的認識．比如，線面角概念的本質就是“最小角”，若只是體會角的最小性，通過動手操作學生應該也能想象得出．但是，若輔之以形式化的推理與運算，如圖2，結合“三垂線定理”，可推導出cos∠OAD=cos∠OAB·cos∠BAD(或相應的正弦形式，進而可得cosθ=cosθ1cosθ2)，自然就有結論∠OAB<∠OAD．這樣處理更加具體也更令人信服，學生理解也會更深刻.

2.8 相關方法的一般化預設

在數學概念引入、發生、形成與發展過程中，在問題分析、探究、求解過程中，往往蘊含著概念探索、問題求解的一般性思維方法．通過合理的預設與安排，這些方法的體會、學習與感悟將有利于學生數學能力的養成.

首先是概念形成．通過觀察、思想實驗與空間想象感知角的變化與存在，進行直觀猜測．通過大小比較與運算探究確定數量關系，類比歸納“最小角定理”，進而抽象、概括出線面角的概念，從中體會、感悟對象的唯一性與思維的最優化.

其次是角的尋找．線面角的前提是線面垂直，故尋找或作平面的高才是關鍵，有了高就有了射影，也就找到了線面角，這也是一個證明的過程.

在上述過程中，學生將逐次經歷觀察、實驗、想象、聯想、猜測、比較、類比、歸納等合情與演繹推理，逐步養成求實、說理、批判、質疑的理性思維，能從中獲得成功的快樂和美的享受．其間，體現了從特殊到一般的認識規律、從空間到平面的降維轉化、運動變化與普遍聯系的哲學觀點.

2.9 概念的精致與學生理解

學習概念應關注其來龍去脈，揭示其生成與發展的過程．為此，可基于生活實際或數學的內在發展需求來創設適當情境．通過問題情境逐步引發興趣，展開思考與探索，發現知識本質和解決途徑，在知識發生的模擬實驗中達成知識的再創造．在此過程中，既要體現數學概念的合理性、確定性、簡明性和嚴謹性，也要逐步揭示隱藏在概念背后的數學思想方法和認識規律，讓學生從中有所感知、領悟，獲得較為深切的思想體驗.

圖5

概念鋪墊如圖5，旗桿OB高40米，頂端O處掛有一條50米長的繩子．現拉緊繩子并將其下端放在地面α上的A,D兩點(A,B,D不共線)，且AB=BD=30米，此時OB與α成什么樣的位置關系？

注線面角的背景是線面相交，線線角是學生認知的“已知區”．從線面垂直入手，符合從特殊到一般的認知規律，也為學習提供了一個“最近發展區”.

直觀感知假設繩子可自由伸縮，現固定O點，讓A點在α內自由移動，當A逐漸靠近或遠離B時，你能感覺到什么？設想能端起上述圖形直到平面成為眼中的一條直線時，你能感知到什么？

注在空間想象的數學實驗中，自然感知到AO與α間存在著夾角.

操作確認角總是通過兩條直線來體現的，如何表示線面的夾角？為此，需要在α內找到一條直線，使它與AO的夾角能代表AO與α的夾角？如圖2，用∠OAB很有道理，但∠OAD就不行嗎？為此，要考察∠OAB與∠OAD的大小或數量關系.

注尋找平面內的直線合乎自然，猜想∠OAB合乎直覺．教師的反問在不經意間將思維引向深處，在反思與轉化中營造了良好的主動探索氛圍.

圖6

思辨論證聯想“三垂線定理”，如圖6，過O作OC⊥AD于C，則BC⊥AD．在自主探索、合作交流與適時引導下，可獲得如下思路.

思路1由OAsin∠OAB=OB

也可利用sin∠OAB=sin∠OACsin∠OCB得出.

思路2由OAcos∠OAB=AB>AC=OAcos∠OAC，

得cos∠OAB>cos∠OAC，從而有∠OAB<∠OAC．

也可利用cos∠OAC=cos∠OABcos∠BAC得出.

合情定義從而證明了：“平面的斜線和它在平面內的射影所成的角，是這條斜線和這個平面內任意直線所成角中的最小角”即“最小角定理”.

回想初中，考慮到兩點之間的路程無數卻難以確定，而連結兩點的線段長度卻是最短的，也是唯一的，將其定義為“兩點間的距離”合乎心理預期，也是最合理的．類比地，既然AO和它在α內的射影AB所成的∠OAB是AO和α內任意直線所成角中的最小角，它是唯一的，將其定義為“線面角”，也是最合理的.

注數學講邏輯也講道理．邏輯性體現了定義的合理性，唯一性體現了數學的簡單美．在返璞歸真中揭示了概念的發生過程和數學美的本質.

完整建構易知斜線與平面所成角的變化范圍為(0°,90°)，考慮直線與平面垂直、平行(在平面內)的特殊情形，故線面角的取值范圍應為[0°,90°]，從而使得線面角與線面的位置關系形成一一對應，完成線面角知識系統的完整建構.

2.10 問題的分析與學生探究

通過相關問題溝通概念與各知識點的聯系，運用類比、聯想、遷移等多種方式，從中體會知識、方法、思想間的有機聯系，感受數學的整體性，進一步理解概念本質，提高解決問題的能力.

對于問題2，如圖3，利用cos∠ABC=cos∠ABOcos∠OBC即可求解，之后進行相應變式.

(1)在α內旋轉BC到BD，使∠OBD=45°，求∠ABD；

(2)若BD在α內，且∠ABD=∠ABC，可得什么結論？

(3)若BD在α內，且∠OBD=30°，求∠ABD；

(4)若BC在α內任意轉動，求直線AB,BC夾角的取值范圍.

其中，(1)為轉換視角，(2)在問題的再解決中發現角平分線的空間推廣，(3)為逆向運用cosθ=cosθ1cosθ2，(4)為強化本質認識．通過不同角度的重新審視、探究運用，學生的知識網絡將逐步完善，思想方法將常用常新.

對于問題3，如圖4，可得斜線段及其射影與線面角三者間的對應關系，這實際上就是初中“三線合一”的空間推廣．進而，對于OB⊥α，A,D,E∈α，有如下變式.

(1)若OA=OD=OE，可得什么結論？

(2)若O到△ADE三邊的距離相等，又能得什么結論？

(3)若B是△ADE的垂心，又應滿足什么條件？

上述分別是三角形外心、內心、垂心的空間推廣，體現了空間問題平面化與類比推理的思想.

第1課時在問題中開始，在探究與求解中獲得知識、學習方法、提高能力，在反思中加深理解，在圖形的變式中形成思維回路，前后呼應，縱橫聯系，渾然一體，循環上升.

2.11 知識與方法的練習預設

為了理解知識、掌握方法、感悟思想，需精選適量的練習．通過基本問題的研究，形成必要的思維定式，熟練基本套路，在靈活變式、問題探究中進行知識、方法、思想的綜合應用與自然融合.

在第2課時，學生需要體會掌握線面角求解的一般方法與基本套路.

首先，研究線面角的兩個性質(教材練習)：①兩條平行線和同一平面所成的角相等；②一條直線和兩個平行平面所成的角相等．從中關注線面垂直及線面角的解題模式.

其次，通過如下兩個基本問題來實現正確尋找、畫出和求解線面角的目標，而問題的設計將遵循從易到難、靈活變式、適當滲透向量、向后續內容延伸的原則.

圖7

中心問題如圖7，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別是棱AB,A1D1的中點．試求：

(1)BD1與底面ABCD所成的角；

(2)EF與平面ADD1A1,BCC1B1所成的角；

(3)EF與正方體其余各面所成的角；

(4)EF與正方體各對角面所成的角.

注正方體、長方體是立幾學習的好載體．其中(1)與(2)是線面角的基本模式及漸進變式，(3)是位置變式，(4)融合了多種變式．這些問題的層次與梯度，能有效激發探究欲望，有利于學生掌握知識并提高分析和解決問題的能力.

圖8

輔助問題如圖8，已知PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB，PC與平面ABC成30°角．試求：

(1)PC與平面PAB所成的角；

(2)PB與平面PAC所成的角；

(3)PA與平面PBC所成的角.

注利用常見的基本圖形或融合長方體，在逐步遞進中提供了求解線面角的重要模式，在知識的自然聯系中獲得有機統一.

數學中有很多重要的模式或模型，運用這些載體可引導思維、溝通聯系、探索遷移、靈活發散、引發思想，使學生感受數學的整體性，進一步理解數學的本質，提高問題解決的能力.

2.12 知識的重構與思想感悟

在學習過程中，應適時探討交流、 回顧反思、體會方法、感悟思想，營造一個思維內化與思想方法領悟的時間與空間．在課時小結時，可交流學習過程中知識、方法、思想層面的體驗與感悟，以加深理解、提升思維、加強體悟.

在知識理解上，在最小角、三垂線定理的基礎上得出線面角概念及其范圍，確定其關鍵是平面的垂線，突出其基本圖形．注意線面角與平面幾何相關知識的聯系與推廣.

在方法體驗上，運用了觀察實驗、想象聯想、比較類比、歸納概括等一般性的探究思維與學習方法．掌握線面角求解的基本模式，運用cosθ=cosθ1cosθ2可求解空間角．通過變式、類比、聯系、推廣，在多重探究中體會幾何研究的一般規律.

在思想感悟上，以線面垂直為基礎來認知與求解線面角，體現了從特殊到一般的認知規律．線面角取值范圍的確定，體現了其與線面位置關系的一一對應與知識系統的完整性．線面角概念的形成過程蘊含了運動變化觀點，體現了從直觀操作到空間想象的抽象思維．基于研究對象的唯一性與最簡性來下定義，在類比中體現了數學的簡潔美與求簡思維．從平面角到空間角、再化空間角為平面角，體現了化空間為平面的立體幾何的基本思想．

在思維延伸上，如何從線面角中孕育出二面角？首先，“最小角定理”的推導蘊含了二面角的基本圖形，為二面角的認知張開了思維的觸角．其次，可類比進行相應的演示與思想實驗，讓學生去想象和發現二面角.