基于發現和提出問題推進初中數學復習課

張 東

(北京教育學院朝陽分院 100026)

培養學生從數學角度發現和提出問題的能力是《義務教育數學課程標準(2011版)》和《普通高中數學課程標準(2017版)》中新增的課程目標，也是中國學生發展核心素養中科學精神、實踐創新兩大核心素養的具體表現.這就要求廣大教師在數學課堂教學中，不能只關注分析和解決問題，而應該要把發現問題、提出問題、分析問題和解決問題當作一個不可分割的整體，從解決問題向問題解決轉變.復習課作為課堂教學的重要形式，理所當然應適時擔負起培養學生發現和提出問題能力的使命.然而很多教師認為復習課的主要任務是學生進行知識體系的結構化、網絡化和提升分析和解決問題能力，而培養學生發現和提出問題不是復習課的任務.事實上，如果能以發現和提出問題的方式推進復習課的教學，不僅能大大激發學生復習課的學習動機，增強學生知識體系建構的主體性，而且能使復習課從發展“雙能”走向發展“四能”，從而實現復習課教學效能和育人目標的全面升級.本文將結合具體教學談如何基于發現和提出問題推進復習課教學.

1 從知識體系的簡單展示走向學生的自主建構

根據認知心理學理論，學生能將知識舉一反三、觸類旁通、應用新情境的關鍵是學生能否將所學知識結構化.知識在新授課階段是點狀的，復習課的一個主要教學任務就是讓學生能對一個單元或幾個單元的知識基于一定的邏輯主線串聯起來，從而形成一個網絡化、結構化的知識體系.雖然很多老師也有這方面的意識，但要么是單純的讓學生回顧有哪些概念、哪些性質、哪些定理，缺乏從新的高度對全體知識進行統攝，學生思維含量低；要么教師干脆直接展示自己準備好的知識結構圖，赤裸裸的直接就結構講結構，造成學生參與度不高, 只知其然不知起所以然，昏昏欲睡.如果此時能采用學生自己發現和提出問題的方式推進知識體系的建構，將能極大的提高學生知識建構的主動性、有效性及思維含量.下面以一節二次函數復習課的教學片斷為例進行說明.

課例1 二次函數復習課

教師：同學們，我們已經學習完了二次函數，請你觀察圖1中的二次函數圖象，如果要讓你結合這個圖象給自己的同桌提一個數學問題，你能提什么數學問題呢？請把問題寫在老師給大家發的A4紙上，并貼在黑板上.

圖1

學生一聽是要給其他同學提問題，立刻來了興趣，紛紛觀察圖象，開動腦筋，不斷提出自己的數學問題：

問題1：此拋物線的解析式是什么？

問題2：此拋物線的對稱軸是什么？

問題3：拋物線與坐標軸的交點坐標是什么？

問題4：拋物線的頂點坐標是什么？

問題5：此函數的是否有最值？最值是多少？

問題6：此拋物線何時y隨x的增大而增大，何時y隨x的增大而減小？

問題7：點C關于直線DE的對稱點坐標是多少？

師：這些問題都是從哪個角度提出的，如果換個角度你還能想到哪些問題？

學生對比這些問題，發現都是從二次函數圖象特征和性質(增減性、對稱性)來提的，如果不從這些角度提，還可以從哪個角度提問呢？稍思片刻后，一個學生提出問題：“一元二次方程ax2+bx+c=0根的情況是怎么樣的？如果有根，這個根是多少？如何由二次函數的解析式和圖象分別確定一元二次方程根的情況？”其他同學聽到這三個問題后，不由發出“哇”的贊嘆聲，還有部分同學小聲說“我怎么沒想到”.在這位同學的啟發下，許多學生又從不同角度提出自己的數學問題：

問題8：方程ax2+bx+c=-3的根的情況怎么樣？

問題9：不等式ax2+bx+c>0的解集是什么？

問題10：如果將此拋物線向右平移3個單位，再向下平移2個單位，得到的拋物線是什么？

問題11：如果將此拋物線繞點E旋轉180°，所得拋物線解析式是什么？

問題12：如果將此拋物線x軸下方的拋物線延x軸翻折，那么所得新圖象的解析式是什么？

問題13：如果點D是x軸上的一個動點，且D的橫坐標為a,那么當x>a時，函數y的取值范圍是什么？

問題14：△ABC的面積是多少？它是什么樣的三角形？

問題15：點A、E、F、B四點是否在同一圓上？

師：剛才同學們提出了很多關于二次函數的數學問題，那么請大家對以上問題涉及的知識進行分類，在分類的基礎上畫出涉及二次函數的知識結構圖.

學生畫出結構圖后，教師請部分同學展示、講解自己的知識結構圖，教師和其他同學一起進行評價與完善，最終形成一個比較完整的關于二次函數的知識結構圖(如圖2).

圖2

點評在上述教學中，教師通過創設一個富含數學問題的開放性情境，通過讓學生發現和提出數學問題的方式進行了二次函數知識體系的建構.在案例中，學生的興趣被激發、思維被激活，對復習課不再是昏昏欲睡而是興趣盎然，不再是被動接受，而是主動建構.他們在發現和提出問題過程中，不知不覺地在頭腦中進行著二次函數內部與外部各種知識的回憶、聯系及知識間聯系的建構.教師又組織學生對問題進行對比、分類、聯系等思維活動，設計了畫結構圖以及對知識結構圖的展示、評價、完善等學習活動，從而使學生對二次函數的知識結構從內隱化到外顯化，從粗糙化到精致化.這樣的通過學生自主發現和提出數學問題的方式推進復習課，不但學生喜歡，積極性高，更重要的是學生作為知識體系建構的主體，不僅建構了知識體系，而且內化理解了知識體系，這樣的認知結構其遷移性將更強.

2 從單一的解決問題還原為全面的問題解決

專題復習課是復習課中的常見類型，這類復習課通常以問題解決為主要形式，以增強學生問題解決能力為主要目標.然而當前專題復習課的教學已經被異化為“問題解決=解題教學=題型教學=刺激-反應訓練”[1].這種現象顯然窄化了對問題解決能力的認識，問題解決能力不僅包括分析和解決問題的能力，還應包括發現和提出問題能力，發現和提出問題是分析和解決問題的開始.那么如何以發現和提出問題的方式推進學生的問題解決呢？全美數學教師委員(NTCM)在其課程標準中指出“我們的教學應給學生提供這樣的機會——從給定情境中提出問題，或通過修改已知問題的條件去產生新的問題.”在專題復習課教學中，學生通常會先解決一個原始問題.然后教師會在原始問題的基礎上進行問題變式和拓展，進而提出一系列問題讓學生思考.這樣的做法對培養學生對問題的深入思考固然是好的.但可惜的是，這些問題都是教師提出的，教師能否引導學生用數學的眼光和思維自己發現和提出這些變式問題呢？這樣學生問題解決的興趣是不是能更濃一些？對培養學生的數學思維品質特別是創新思維是不是更有利一些？是不是對提高學生分析問題和解決問題也有促進作用呢？

課例2 幾何綜合—探究變化中的不變

原始問題：如圖3，△ABC是等邊三角形，D是BC邊上一點，以AD為邊作等邊三角形△ADE，DE交AC于點F，求證：點E在△ABC的外角平分線上.

圖3

當學生解決完此問題后，教師提出問題：

“哪位同學能在這個問題的基礎上，提出一個想研究的新問題？”

教師提出問題后，學生一臉驚愕，沒想到老師會讓自己去提出讓大家研究的數學問題.雖然很興奮，但卻一時提不出問題.這時教師進行了啟發：“將問題的條件進行推廣，探索結論的適用范圍能否更廣，這是從數學角度考慮問題的基本思維，受此啟發，你想到了什么數學問題？”在教師的啟發下，同學們紛紛舉手.大多數學生提出了這樣的數學問題：

問題1：當點D是射線BC上一點時，點E是否還在△ABC的外角平分線上？

問題2：當點D是直線BC上一點時，點E是否還在△ABC的外角平分線上？

問題3：將△ABC和△ADE都變為正方形時，點E是否也在正方形的外角平分線上？

隨著一個個問題的提出，學生們沸騰起來了，解決問題的熱情特別高漲，都急于想一探究竟.這時教師組織學生分組對三個問題分別進行分析、解決和展示，結果發現結論未變.這時，教師組織學生進行反思：“為什么條件改變了，但結論卻未變？”，從而引導學生感悟變化中不變的緣由，使學生知其然更知其所以然.接下來，教師接著引導學生繼續思考：“你還能繼續提出一些數學問題嗎？”看到學生一臉迷茫，沒有思維方向，這時教師適時啟發：“將條件與結論互換，逆向思考問題不也是數學常見的思考方式嗎？”

在教師的啟發下，學生立刻有了靈感，很多學生提出問題4：“如果將點E在△ABC的外角平分線上作為條件，其它條件不變，△ADE一定是等邊三角形嗎？”這一問題的提出立刻引來了很多同學的贊嘆，但很快有同學反駁：“這個猜想不一定成立,例如如圖4這種情況下，△ADE就不是等邊三角形”.這時，同學陷入沉寂.教師繼續啟發：“難道△ADE就一定不可能是等邊三角形嗎？如果增加一個條件，△ADE是否就有可能等邊三角形呢？”.在老師的點撥下，學生將問題4精致化，提出了下列問題：

圖4

問題5：當∠DAE=60°時，△ADE是否是等邊三角形？

問題6：當∠ADE=60°時，△ADE是否是等邊三角形？

問題7：當∠AED=60°時，△ADE是否是等邊三角形？

問題8：當AD=DE時，△ADE是否是等邊三角形？

問題9：當AE=DE時，△ADE是否是等邊三角形？

問題10：當AD=AE時，△ADE是否是等邊三角形？

點評在此案例中，學生在教師的啟發引導下，從不同的數學角度發現和提出了一系列非常有思維含量的數學問題，這樣的學習活動無疑對學生深度體會運動變化中的不變性，感悟一般化與分類討論等數學思想，發展逆向、橫向、縱向思維能力，錘煉深刻性、發散性、全面性等思維品質具有非常好的教育價值.此外相比教師給出問題，在教師的啟發下學生自己發現和提出數學問題，學生的學習興趣更濃，分析和解決問題的動機更強，對問題的條件和特質理解程度更深，對問題間的聯系和區別也認識更透，這些勢必將對學生分析和解決問題有極大的提升作用.因此，這樣的教學會對復習課全面改善學習生態，升級“雙能”到“四能”，發展學生的創新思維和創新能力都具有非常好的的教育意義和價值.

3 以發現和提出問題推進復習課的實施建議

(1)要基于“情境”讓學生發現和提出問題.《普通高中數學課程標準(2017年版)》指出“數學問題是指在情境中提出問題”“在教學活動中，應結合教學任務及其蘊含的數學學科核心素養設計合適的情境和問題，引導學生用數學的眼光觀察現象、發現問題”[2].在復習課教學中，教師也應依據復習課的教學目標創設有利于學生建構認知結構、深度認識問題、感悟數學思想的情境，讓學生借助情境去發現和提出問題.例如在本文的兩個課例中教師分別以一個二次圖象和一個具體數學問題為情境，這兩個情境都來源于學生的數學學習，都富含許多數學問題，具有開放性，因此能有效激發學生的問題意識.復習課中的情境，可以是一個具體的數學問題，也可以是學生學習中的錯題等，總之要避免空洞、機械、毫無條件的讓學生提出數學問題.

(2)要引導學生有邏輯的提出問題.在基于發現和提出問題推進復習課的教學中，要避免兩種傾向.一是放任學生漫無邏輯的亂問、瞎問.此時教師要注意引導學生按照一定的邏輯發現和提出問題，例如課例1中，教師引導學生從數的方面、形的方面，從單一的方面、聯系的方面，從靜止的方面、運動的方面等對二次函數進行提問；二是當學生提不出問題時，教師干脆直接給出問題.章建躍博士認為“有含金量的問題，需要有一般的觀念來引領，有一定的數學思想作指導，有一定的思維策略作支撐”“在一定的宏觀思想的指導下，經過深思熟慮，學生就一定能提出有意義的、高質量的好問題”[3].因此，面對這種情況，教師可從一般觀念、數學思想、思維策略等角度提出問題啟發學生，而不要簡單的直接給出問題了之.例如在課例2中，當學生提出問題遇到困難時，教師沒有代替學生直接給出問題，而是給予學生“一般觀念、數學思想、思維策略”的啟發： “將問題的條件進行推廣，探索結論的適用范圍能否更廣，這是從數學角度考慮問題的基本思維，受此啟發，你想到了什么數學問題？” “將條件與結論互換，逆向思考問題不也是數學常見的思考方式嗎？”，從而使學生自主的想到了有含金量的數學問題.

(3)要將發現提出問題和分析解決問題教學兼顧.基于發現和提出數學問題推進復習課的教學，并不是指復習課中只提出問題而放棄解決問題，要做好二者間的兼顧與平衡.教師可在學生提出的問題中，選擇一些有思維含金量的、學生感興趣的問題讓學生集體解決或分組解決.例如課例1中學生提出的問題較簡單，可以邊提問邊集體解決，課例2中提的問題較復雜，于是教師采取了分組解決后集體展示的方法，從而將發現問題、提出問題、分析問題、解決問題作為學生學習的整體，使學生在整體中建構認知體系，感悟本質，發展思維.

顧明遠先生指出“課堂教學是培養學生思維的主渠道”“只有會思考并提出問題，才能培養學生批判性思維、創新思維的能力”[4].復習課作為課堂教學的重要形式，廣大教師要積極思考和實踐如何在復習課中將培養學生的創新思維落到實處，希望本文能對廣大教育同仁有所啟示.