點幾何的解題應用：恒等式篇

彭翕成,張景中,2

(1.華中師范大學 國家數(shù)字化學習工程技術研究中心 430079；2. 廣州大學計算科技研究院 510006)

尋找一個通法來解決千變萬化的幾何題，這是很多數(shù)學家都思考過的問題.數(shù)學家笛卡爾曾對此提出了一個宏偉的設想：先將任何類型的問題化歸為數(shù)學問題，然后將任何類型的數(shù)學問題化歸為代數(shù)問題，最后將任何代數(shù)問題化歸為單個方程的求解.此稱為笛卡爾之夢.

現(xiàn)在看來，笛卡爾的這一想法過于美好.任一問題轉化為數(shù)學問題，顯得“野心”太大，有點異想天開.在笛卡爾時代，微積分尚未建立，笛卡爾自然不知道微分方程這樣的“高端”方程，但即便是多項式方程，求解也并不容易.

后來的數(shù)學家給予了笛卡爾之夢很高的評價.如數(shù)學家波利亞曾這樣評價[1]：笛卡爾的計劃失敗了，但它仍不失為一個偉大的計劃，而且即使失敗了，它對數(shù)學的影響也超過了偶爾獲得成功的千萬個小計劃.盡管笛卡爾的方案不是對所有的情形都可行，但是它對無窮多種情形行之有效，其中包括無窮多種重要的情形.

也有數(shù)學家在盡可能大的范圍內去實現(xiàn)笛卡爾之夢.如吳文俊院士認為[2]，笛卡爾提供了不同于歐幾里得模式(即從公理出發(fā)按邏輯規(guī)則演繹進行,一題一證,沒有通用的證明法則)的可能性,給出了一條可用計算來證明幾何定理的新思路.多項式方程的研究盡管困難很大，也要想辦法攻克，因此提出了一系列原理和方法，其中以吳方法最為著名.

下面以外心定理為例，對比一下歐式方法和吳方法.

例1求證三角形的三邊的垂直平分線交于一點，該點叫做三角形的外心.

圖1

證法1不妨設邊AB和AC的中垂線交于點O，則OA=OB，OA=OC，因此OB=OC，O也在邊BC的中垂線上.

證法2如圖1，設A(0,0)，B(a,0)，C(b,c)，

邊AC的中垂線方程

因為存在恒等式

因此當點O的坐標滿足f1，f2時，也必然滿足f.

一般的解析法是從f1，f2中解出公共點O的坐標，然后代入f，判斷是否為0.而以吳方法為代表的代數(shù)法機械化解幾何題，則是研究結論多項式和條件多項式之間的關系，最終希望建立恒等式來證明.因為我們最為關心的是結論是否成立而不是公共點O的坐標.

事實上，結合證法1和證法2，可得到證法3.

證法3(OB-OC)+(OC-OA)+(OA-OB)=0.

證法3不是直接去證OB=OC，而是建立一個恒等式.等式右邊為0，左邊是三項相加，若其中兩項為0，那么剩下第三項也必然為0.

我們最近幾年的解題實踐表明，由于點幾何[3-5]表達幾何關系比較簡潔，若與恒等式思想結合，有很好的效果.具體看實例.

圖2

例2如圖2，△ABC中，D是BC上的點，若AB⊥AC，AD⊥BC，求證AB2=BC·BD.(直角三角形射影定理)

恒等式：[(A-B)2-(B-C)(B-D)]-(A-B)(A-C)+(B-C)(A-D)=0.

若設A=0，[B2-(B-C)(B-D)]-BC-D(B-C)=0.

n個多項式相加等于0，其中n-1項都為0，剩余那一項自然為0.這看似平凡的道理，卻有妙用.得到恒等式之后，會讓我們對幾何命題有了更深的認識，譬如此題可推廣為：如圖2，△ABC中，D是BC上的點，三個條件“AB⊥AC，AD⊥BC，AB2=BC·BD”，任意知道兩個，可得第三個.也就是恒等式方法在證明原命題的同時，順便發(fā)現(xiàn)并證明了兩個新的命題.而在傳統(tǒng)幾何中，即便你考慮到研究逆命題，也需要重新加以論證.

下面介紹基于點幾何的恒等式如何生成，以及恒等式方法與一般的向量解法如何轉化.

先寫出條件表達式和結論表達式.AB⊥AC，AD⊥BC，AB2=BC·BD分別寫成(A-B)(A-C)=0，(B-C)(A-D)=0，(A-B)2-(B-C)·(B-D)=0.然后設[(A-B)2-(B-C)(B-D)]+k1(A-B)(A-C)+k2(B-C)(A-D)=0，按A、B、C、D展開多項式得A2(1+k1)+BC(1+k1)+BD(1-k2)+CD(-1+k2)+AC(-k1-k2)+AB(-2-k1+k2)=0，解系數(shù)方程組1+k1=1+k1=1-k2=-1+k2=-k1-k2=-2-k1+k2=0得k1=-1，k2=1.

如果嫌按部就班操作麻煩，對于項數(shù)較少的問題，還可采用觀察法.此題不用展開，觀察A2的系數(shù)，就可得k1=-1，觀察CD的系數(shù)，就可得k2=1，然后再代入驗證整個式子是否為0.

一般的向量法是這樣解答：

易得①-②-③=0，命題得證.

容易發(fā)現(xiàn)，恒等式方法就是一般向量法的綜合處理，兩者可以相互改寫，只是忽視每一項表達式的結果，重點關注結論多項式能否由條件多項式表示.考慮到恒等式方法還未在中學數(shù)學領域推廣開來，所以建議讀者在與人交流，特別是考試答題時要詳細說明，或是轉化成傳統(tǒng)向量解答的形式.

恒等式方法至少有以下優(yōu)點：

1. 化幾何證明為代數(shù)計算，操作更簡便.在代數(shù)恒等式和幾何恒等式之間架構了一座橋梁,將幾何性質的成立等價于代數(shù)式的成立,數(shù)形結合更加緊密；

2. 表示簡潔,一個等式就完成了證明, 表達甚至比原題更簡短，所給出的恒等式證明只需簡單計算即可驗證,而且?guī)缀我饬x鮮明,讀者一看就懂，無需層層遞進演繹推理；

3.進行幾何充要條件的等價推理,能加深理解條件之間的關系,并產生新的命題,為一題多變研究提供了豐富的素材.

圖3

圖4

例4如圖4，△ABC，D是BC中點，BE、CF是高，G在CF上，AD交BE于H，求證：AD⊥EG?AG⊥HC.

例5如圖5，直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC，E為AB的中點,F為BC的中點,且AD=DC,求證:CE⊥DF.(《數(shù)學通報》問題征解1337)

證明

圖5

圖6

例6如圖6，已知E、F分別是菱形ABCD中AD、CD邊的中點，BE⊥AF，求證菱形ABCD是正方形.(《數(shù)學通報》問題征解1159)

證明

說明：菱形頂點D=A+C-B.

例7如圖7，直三棱柱ABC—A1B1C1中,AB1⊥BC1、BC1⊥CA1、CA1⊥AB1 .試證該棱柱是正棱柱.(《數(shù)學通報》問題征解1286)

證明B1=A1+B-A，C1=A1+C-A，[(A-B)2-(A-C)2]-(A-A1)(A-B)-(A-A1)(A-C)+(A-B1)(B-C1)-(B-C1)(C-A1)=0.于是(A-B)2=(A-C)2，類似得(A-B)2=(B-C)2.所以該棱柱是正三棱柱.

圖7

圖8

圖9

圖10

例10如圖10，⊙A, ⊙B相交于C、D,且它們都與⊙O內切,切點為M、N,射線CD交⊙O于P，PM交⊙A于E,PN交⊙B于F,證明:EF是⊙A、⊙B的公切線.(《數(shù)學通報》問題征解1222)

例11如圖11，已知凸六邊形ABCDEF中,AB=AF,BC=CD，DE=EF.過B作BG⊥AC，過D作DG⊥CE,設BG與DG交點G在△ACE內，求證:FG⊥AE.(《數(shù)學通報》問題征解1606)

證明(A-B)2+(C-D)2+(E-F)2-(B-C)2-(D-E)2-(F-A)2+2[(A-C)(B-G)+(C-E)(D-G)+(E-A)(F-G)]=0.

說明：從恒等式可看出，條件“AB=AF,BC=CD，DE=EF”可減弱為

AB2+CD2+EF2=BC2+DE2+FA2.

圖11

圖12

例12如圖12，若點P在△ABC三邊BC、CA、AB所在直線上的射影分別為X、Y、Z,證明:自YZ、ZX、XY的中點分別向BC、CA、AB所作的垂線共點M.

說明1：此題看似復雜，但有著極強的對稱性(注意A-B，B-C，C-A這樣的式子對稱出現(xiàn))，實際上當寫出6個多項式之后，通過觀察即可直接寫出恒等式.若按部就班解方程組，徒增工作量.

說明2：從恒等式可看出，X未必需要在BC上.其他各點也能進一步放開范圍.其余各題也有類似問題，不一一指出.

例13如圖13，O、H是△ABC的外心和垂心，O關于BC、CA、AB三邊的對稱點為X、Y、Z，求證：AX、BY、CZ交于點P，且P是OH的中點.若BC,CA,AB的中點分別為D,E,F,則P為△DEF的外心.(《數(shù)學通報》問題征解1130)

證明設O=0，H=A+B+C，X=B+C，Y=A+C，Z=B+A，

其中R為△ABC外接圓半徑.

圖13

圖14

例14如圖14，⊙I是△ABC的內切圓.D、E、F是BC、CA、AB上的切點,DD′、EE′、FF都是⊙O的直徑;求證:直線AD′、BE′、CF′共點.(《數(shù)學通報》問題征解1396)

證明

依此類推.

例15如圖15，△ABC，內切圓分別與BC、CA交于D、E，在BA延長線上取點F，使得AF=CD，求證：D、E、F三點共線?AB⊥AC.

圖15

于是得到恒等式

所以D、E、F三點共線?AB⊥AC.

恒等式看似短短一行，內涵極其豐富，可以編制新題，但得來卻不易.對恒等式解題有興趣的讀者，可以嘗試自己動手建立恒等式.如有條件，建議采用計算機.為了更好地與他人交流，恒等式方法與一般向量解法的轉換，也需要掌握.