老師，我怎么學(xué)會(huì)思考
——數(shù)列篇

江蘇省蘇州中學(xué) 王思儉

課前課后學(xué)生總是議論著：

最近幾次測(cè)驗(yàn)的數(shù)列題做的不好，特別是數(shù)列中的定值類問題，往往不知道如何入手；

等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的有關(guān)比值為常數(shù)，我也找不出常數(shù)；

等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的算術(shù)平方根組成的數(shù)列仍為等差數(shù)列；老師講評(píng)試卷時(shí)說，這是一類無關(guān)思想問題，當(dāng)時(shí)也聽懂了，但是稍微變化又糊涂了；

數(shù)列與其他章節(jié)知識(shí)綜合的問題，特別難處理，如與不等式整合的題目特別難，只好放棄；……

為此我邀請(qǐng)幾位同學(xué)就“數(shù)列中的無關(guān)思想問題”進(jìn)行交流，旨在教會(huì)學(xué)生怎樣學(xué)會(huì)思考這類問題，探求這一類問題的求解規(guī)律.

生甲：已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a2=3，若為常數(shù)λ，求λ的值以及an.

將n=1，2代入得出a1+a2=λa1，且a1+a2+a3=λ（a1+a2），即a2=（λ-1）a1，a3=（λ2-λ）a1.結(jié)合a2=3，求出a1，a3，再利用等差數(shù)列定義建立關(guān)于λ的方程，求出λ的值2，通項(xiàng)公式為an=3.

生乙：n=2時(shí)，等式列錯(cuò)了，因此a3求錯(cuò)了，應(yīng)該為a1+a2+a3+a4=λ（a1+a2），利用等差數(shù)列性質(zhì)a1+a4=a2+a3，因此求出再利用等差中項(xiàng)建立方程將a2=（λ-1）a1代入可得，λ2-6λ+8=0，解之得λ=2或λ=4.從而求出an=3或an=2n-1.

生丙：我求出a3是對(duì)的，利用等差中項(xiàng)時(shí)，我代入a2=3，最終攪亂了，沒有算好，也就猜出λ=2，即常數(shù)數(shù)列時(shí)的情況.

教師：生甲生乙的方法可以，一是答案不全，二是過程不規(guī)范.你們僅僅對(duì)n取1，2研究，n取其他值時(shí)是否成立呢？怎么辦呢？

生丙：代入檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)值都合適.

教師：是應(yīng)該檢驗(yàn).你們還有其他解法嗎？

生丁：因?yàn)樗?/p>

②-①得到：a2n+2+a2n+1=λan+1.

因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，

所以a2n+2+a2n+1=λan+1?（a2+2nd）+[a2+（2n-1）d]=λ[a2+（n-1）d]，

即（4d-λd）n+6-3λ+（λ-1）d=0，?n∈N*，

所以①λ=2時(shí)，an=3.

②λ=4時(shí)，an=a2+（n-2）d=2n-1.

教師：很好！這種方法稱之為無關(guān)思想，本題是恒成立問題，即關(guān)于n的恒等式，利用待定系數(shù)法求出相關(guān)的定值以及通項(xiàng)公式.但最好是取n=1，2得出兩個(gè)方程，解方程組即可.

生戊：本題也可以再改編為：

已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a3=5，若為常數(shù)λ，求λ的值以及an.

用類似方法求得當(dāng)λ=3時(shí)，an=5；當(dāng)λ=9時(shí)，an=a3+（n-3）d=2n-1.

教師：很好！你們做題要學(xué)會(huì)反思、概括、提煉、推廣，這樣才能提高解題能力.

生丁：本題還可以推廣：

已知等差數(shù)列{an}，a5=9，前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)于給定的正整數(shù)m（m ≠1），使得對(duì)任意n∈N*，為常數(shù)λ，求λ的值（用m 表示）以及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

用上述方法可得①λ=m，an=9；②λ=m2，an=2n-1.

生戊：通過上述變題的研究可以概括出：已知公差與首項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Skn=mSn，則m=k2.

教師：完全正確！生丁與生戊的推廣與概括就是2013年高考江蘇卷第19題（1），由此可以看出，高考題就在平時(shí)所做的每一道題目當(dāng)中.

生甲：已知數(shù)列{an}，a1=1，在an與an+1之間插入n個(gè)數(shù)，使得所插入的數(shù)和原來數(shù)列中的所有項(xiàng)按原來的順序構(gòu)成正項(xiàng)等差數(shù)列{bn}，設(shè)數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和為Sn.（1）若a3=11，求bn；（2）若=bn+μ（λ，μ為常數(shù)）對(duì)一切n∈N*都成立，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

我只會(huì)第（1）小題，設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列{bn}的公差為d，因?yàn)閎1=a1=1，a3=b6=11，所以b6-b1=5d=11-1，所以d=2，所以bn=1+2（n-1）=2n-1.第（2）小題不會(huì)了.

生乙：我是先利用待定系數(shù)法求解，求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn=2n-1，但不知道an的位置，所以沒有寫出an的通項(xiàng)公式.

生丙：我是利用整體思想求解的，算出的通項(xiàng)公式是bn=n.具體過程為，由題可得，2Sn+λ=（bn+μ）2，①所以2Sn-1+λ=（bn-1+μ）2（n≥2），②

①-②得到：2bn=b2n-b2n-1+2μ（bn-bn-1），即b2n-b2n-1+2μd-2bn=0，b2n-（bn-d）2+2μd-2bn=0，2dbn-d2+2μd-2bn=0，（2d-2）bn-d2+2μd=0，對(duì)一切n ∈N*都成立.因?yàn)閎n是關(guān)于n的一次函數(shù)式，由恒等式思想，可得

但我也沒有找出an在數(shù)列{bn}中的位置，所以，無法求出通項(xiàng)公式.

生丁：根據(jù)題意，在an之前已經(jīng)插入了個(gè)數(shù)，另外還有a1，a2，…，an-1，因此應(yīng)該是第項(xiàng).

教師：分析得很好！這樣你們就可以求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式了.你們還有什么問題？

生戊：我是這樣求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式的，設(shè)首項(xiàng)b1=1，公差為d，因此bn=代入已知條件即有dn2+（2-d）n+λ=（dn+1-d+μ）2，展開并比較系數(shù)可得d=d2，且2-d=2d（1-d+μ），且λ=（1-d+μ）2.當(dāng)d=0時(shí)，檢驗(yàn)不合適，當(dāng)d=1時(shí)，所以

教師：答案正確！但求數(shù)列{bn}通項(xiàng)公式的過程不規(guī)范，應(yīng)該取n=1，2，3，列出三個(gè)方程，利用加減消元法，解方程組即可.求解這類問題一定要注意解題的規(guī)范性.請(qǐng)看變題：

已知無窮等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn3=（Sn）3對(duì)一切n∈N*都成立，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

生丙：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，所以

教師：如果你們感覺式子很龐大，運(yùn)算較繁瑣，那么你們有沒有想一想，是否可以整體代換呢？

研究方法主要是采用灰色關(guān)聯(lián)分析法和結(jié)構(gòu)變動(dòng)度分析法。其中，灰色關(guān)聯(lián)分析法是衡量因素間關(guān)聯(lián)程度的重要方法之一，在一定程度上可以反映各影響因素與住院次均費(fèi)用之間關(guān)系的緊密程度；結(jié)構(gòu)變動(dòng)度分析法能夠綜合表達(dá)住院費(fèi)用內(nèi)部結(jié)構(gòu)的構(gòu)成變化，反映醫(yī)療費(fèi)用結(jié)構(gòu)變化的總體特征[2, 3]。

生丁：記所以Sn=An2+Bn.

又Sn3=（Sn）3，所以An6+Bn3=（An2+Bn）3，即n3（An3+B）=n3（An+B）3，

即An3+B=（An+B）3，展開整理得An3+B=A3n3+3A2Bn2+3AB2n+B3，令n=1，2，3，4得四個(gè)方程組，再化簡可得所以

解之得A=B=0，或B=0，A=±1（舍負(fù)），或A=0，B=±1（舍負(fù)），所以對(duì)應(yīng)的通項(xiàng)公式為an=0，或an=2n-1，或an=1.

教師：利用整體代換思想很好，但你為什么要舍去負(fù)值？你檢驗(yàn)了嗎？

生丁：直覺告訴我，好像不合適，所以我就將負(fù)值舍去了.

教師：直覺猜想一定可靠嗎？既要大膽猜想，又要小心論證！

生戊：負(fù)值也合適，最后的解題過程應(yīng)該是分類討論：

①當(dāng)A=B=0時(shí)，Sn=0，所以an=0.

②當(dāng)A=0，B2=1時(shí)，B=1或-1，所以Sn=n 或Sn=-n，所以或

③當(dāng)B=0，A2=1時(shí)，A=1或-1，所以Sn=n2或Sn=-n2，所以或綜上所述，{an}的通項(xiàng)公式為：an=0，或an=1，或an=-1，或an=2n-1，或an=-2n+1.

教師：答案正確！表述規(guī)范！

生丙：我的方法也可以解到底了，我已經(jīng)做出來了，接前面解法，對(duì)一切n∈N*都成立，取n=1，2，3，4，也是得到四個(gè)方程，利用加減消元法并化簡整理，且即可得到：

當(dāng)d=2時(shí)，a1=1（（a1-1）2=1舍去）；當(dāng)d=-2時(shí)，a1=-1（（a1+1）2=1舍去）.

綜上所述，{an}的通項(xiàng)公式為：an=0，或an=1，或an=-1，或an=2n-1，或an=-2n+1.

教師：正確！你們的解題過程實(shí)質(zhì)是完全相同的，生丁的思路整體換元，而生丙的思路直接使用基本量法求解，看上去較復(fù)雜，實(shí)質(zhì)還是簡單的.

生甲：這題好像是之前做過的，原來的等式條件是：Sn2=（Sn）2；結(jié)果是：通項(xiàng)公式為an=0，或an=1，或an=2n-1.

生丙：好像是哪一年的高考題.

教師：是2004年高考江蘇卷倒數(shù)第2題的第（2）小題，也算是壓軸題，你們看一看，高考題一改編后，答案就不同了，你們能想到什么？

眾生：推廣！怎么推廣？

生戊：我嘗試了一下：

已知無窮等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，存在正整數(shù)k（k≥2），使得Snk=（Sn）k對(duì)一切的n∈N*都成立，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

利用剛才的設(shè)法Sn=An2+Bn，由已知得nk（Ank+B）=nk（An+B）k，即Ank+B=（An+B）k.再利用二項(xiàng)式定理展開，則有Ank+B=C0kAknk+C1kAk-1nk-1B+…+對(duì)一切n∈N*都成立，比較等式兩邊ni的系數(shù)，得所以

我猜測(cè)，n為偶數(shù)時(shí)有三個(gè)通項(xiàng)公式an=0，an=1，an=2n-1；n為奇數(shù)時(shí)有五個(gè)通項(xiàng)公式，同原題答案.

教師：答案正確，能否給出具體的推理過程？

生戊：分類討論，比較繁瑣.①當(dāng)A=B=0時(shí)，Sn=0，所以an=0.

②當(dāng)A=0，Bk-1=1時(shí)，若k為偶數(shù)，B=1，所以Sn=n，an=1；

若k為奇數(shù)，B=1或-1，所以Sn=n或Sn=-n，所以或

③當(dāng)B=0，Ak-1=1時(shí)，若k為偶數(shù)，A=1，所以Sn=n2，an=2n-1；

若k為奇數(shù)，A=1或-1，所以Sn=n2或Sn=-n2，所以或

綜上所述，當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，an=0，或an=1，或an=-1，或an=2n-1，或an=1-2n；

當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，an=0，或an=1，或an=2n-1.

教師：很好！最后的分類確實(shí)有點(diǎn)復(fù)雜，這就需要你們具有一定的邏輯推理能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

我們圍繞數(shù)列中的無關(guān)思想交流了兩道試題，同學(xué)們對(duì)這兩道試題都嘗試進(jìn)行推廣，同時(shí)也給出了嚴(yán)格證明，很好！數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不單純是做一道道題目，更重要的是要學(xué)會(huì)不斷總結(jié)，進(jìn)行解題回顧，嘗試問題能否推廣.不僅自己要學(xué)會(huì)怎樣思考，同時(shí)也要揣摩他人是怎樣思考這道題的；還要琢磨為什么思考方向不同，不同點(diǎn)在哪里，哪一種思考方向更好.從不同的解法中尋找思考的切入點(diǎn)，從對(duì)話交流中促進(jìn)主動(dòng)思考、自主思考，從實(shí)戰(zhàn)演練和總結(jié)回顧中提升自己的思考力.仍為等差數(shù)列，求

1.已知正項(xiàng)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公差為d，若數(shù)列的所有可能值.

2.已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，首項(xiàng)為1，若數(shù)列{Sn+1}為等比數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

提示：思考一，利用等差（比）數(shù)列前三項(xiàng)建立a1與d的方程，從而得出答案，但需要驗(yàn)證；思考二，將an，Sn都用a1與公差d表示，利用待定系數(shù)法和無關(guān)思想，得出結(jié)果，最后也要檢驗(yàn).

答案：1.2.an=2n-1.