在思考中學會思考

江蘇 南二七

我們經常會困惑，為什么老師在解決問題時往往如行云流水一樣自然，到了自己就變得磕磕絆絆、步履維艱；為什么身邊的同學在解題時總會有一些奇思妙想、有如神助，而我們卻總感力不從心.要說我們不會思考吧，數學中常用的思考方法我們也能頭頭是道說上若干，比如觀察法、歸納法、逆向法、演繹法等等，可是一旦用它們“上陣殺敵”，卻又覺得“無用武之地”.

實際上這是一種假象，一種心理作用.數學的思考確實有很多規律可循，基本方法也有很多，但是我們該怎樣做才能牽住數學思考的“鼻子”，讓這些規律、方法為己所用呢？今天就讓我們一起在問題的思考中學習如何思考吧.

一、打鐵先要自身硬

其實如何解題，如何思考，這項研究由來已久.目前最受推崇的做法是來自美國的數學家波利亞，其經典的做法是當我們拿到一個問題，常問自己以下幾個問題：

“已知是什么？”

“要證（求）什么？”

“見過類似的問題嗎？”

“可否將問題換一種說法？”

……

我們通常使用這些問題來啟發自己尋找到解題的思路.可能有些同學也曾做過類似的嘗試，不過效果卻因人而異，因時而異.有時這樣做成功了，有時卻一籌莫展，有時別人成功了，能看到我們看不到的條件，想到我們想不到的方法.這時好時壞的，問題的關鍵在哪里呢？

實際上，要想取得好的效果，我們就必須在平時的練習中做好積累工作，盡可能地將問題歸類，并將解決問題的方法用圖式進行整理記憶，形成固定的基本模式.這就是我所指的“硬功夫”.當我們遇到一個問題時，如果我們已經有了解決問題的這個圖式，就會有很大的成功率，那么這是一個怎樣的圖式？又怎樣才能形成這樣的圖式？我們來看以下做法.

例1求函數f（x）=x2-2ax-1在區間[1，3]上的最小值.

此題對同學們來說不算太難，這是因為我們已經在頭腦中形成了一個圖式，即依據對稱軸與區間的位置關系，可分三種情況進行討論求解.

解二次函數開口向上，對稱軸x=a.

（1）當a ≤1時，函數f（x）在區間[1，3]上為單調遞增函數，所以f（x）min=f（1）=-2a；

（2）當a ≥3時，函數f（x）在區間[1，3]上為單調遞減函數，所以f（x）min=f（3）=8-6a；

（3）當1＜a＜3時，函數f（x）在區間[1，3]上先減再增，所以f（x）min=f（a）=-1-a2.

變式1求函數f（x）=x2-2x-1在區間[a，3a-2]上的最大值.

如果再用上述方法解決這一問題就會遇到大麻煩了.事實上，畫出圖形，發現圖象開口向上，則區間端點誰離對稱軸遠誰的函數值就大，因此要根據區間的中點分為兩種情況討論.

解二次函數開口向上，對稱軸x=1.

可見我們一開始認識的圖式并不是計算二次函數最值的圖式，而只是計算開口向上的二次函數的最小值的一個圖式.而且，上述問題還只是開口向上的一類，開口向下的二次函數又怎么辦？這就需要我們將此問題歸類，通過練習不斷積累，最后形成如下的圖式，從而利用這一圖式來解決二次函數的最值問題.

變式2已知函數f（x）=ax2+（2a-1）x+1在區間上的最大值為1，求實數a的值.

若按常規想法進行分類討論，太麻煩了，比如.

①a=0嗎？

②a≠0時函數圖象的開口方向呢？

③對稱軸與區間的位置關系如何？

④當對稱軸在區間內時，對稱軸與區間端點的距離不明，如此就要分很多種情況進行討論.

實際上，按照我們形成的圖式所指，其最值只會在端點和對稱軸處取得，因此有如下解法.

解當a≠0時，因為函數的最大值只會在處取得，則

a=0時，顯然不符合題意.

有了這種圖式在解題思考中作為思考的平臺，就好像站在巨人的肩膀上，自然比別人看得遠，想得深.如果我們平時的學習中能夠形成若干個這樣的圖式，相信一定會對解題起到巨大的作用，而這一工作從高一就開始做最好，長此以往，到高三之后，同學們一定會成為解題的高手.

二、廣交朋友千里行

俗話說，“一個籬笆三個樁，一個好漢三個幫”.同學們，不要以為我們在解題時一直是孤軍奮戰的，實際上我們有很多好朋友在等待著提供幫助.在此我要給大家隆重介紹兩個重要的幫助思考的朋友，它們是“圖象”和“特殊化”.當我們在解題遇到困難時，一定不要忘記呼喚它們來協助我們戰勝困難.除了自身強大，一身“硬功夫”，再有個好人緣，解題想不順利都難.

變式3若不等式x2-2ax+1≤0在區間[1，3]上恒成立，求實數a的取值范圍.

一般的，可以設函數f（x）=x2-2ax+1，所以不等式x2-2ax+1≤0在區間[1，3]上恒成立即函數f（x）在此區間的最大值f（x）max≤0，從而問題轉化為求函數f（x）的最大值.

但是，更為簡單的做法是通過分離變量再利用圖象求解.

解不等式x2-2ax+1≤0等價于x2+1≤2ax，即又可以作出函數在區間[1，3]上的圖象，可知g（x）max=g（3）=即

變式4若不等式x2-2ax+2＞a在區間[-1，+∞）上恒成立，求實數a的取值范圍.

解法1即x2-2ax+2-a＞0，考查函數f（x）=x2-2ax+2-a的圖象，如圖1、圖2兩種情況，

圖1

圖2

不等式成立的條件是：

①Δ＜0時滿足，解得a∈（-2，1）；

綜上，a∈（-3，1）.

解法2由x2-2ax+2-a＞0可得x2+2＞2ax+a=a（2x+1），在坐標系內分別作出兩個函數y1=x2+2與y2=a（2x+1）的圖象，而滿足題意的直線l位于直線l1，l2之間，而直線l1，l2對應的a值分別為1，-3，如圖3.可得a∈（-3，1）.

圖3

可見利用數形結合可以讓解題變得直觀形象，多了幾分“靈氣”.因為運用數形結合解題往往能直接揭示問題的本質，正如我國著名數學家華羅庚先生所說：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微.”

相比數形結合，特殊化也是我們解題時的一盞阿拉丁神燈，有著巨大的作用.數學大師希爾伯特曾說過，“在討論數學問題時，我相信特殊化比一般化起著更為重要的作用，這種方法是克服數學困難的最重要的杠桿之一.”

例2若函數f（x）的圖象可由函數y=lg（x+1）的圖象繞著原點O 逆時針旋轉得到，則函數f（x）的解析式為 （ ）

A.10-x-1 B.10x-1

解從函數y=lg（x+1）的圖象上任取一點A 如（9，1），將OA 繞著原點O 逆時針旋轉得到點B（-1，9），分別代入各解析式，可得僅A合適，故選A.

同學們，通過以上的學習和思考，相信你對數學有了更為透徹的認識，也有了更系統、科學的方法，那么讓我們從現在開始，不斷嘗試、不斷積累，爭做一個敢思考、會思考、樂思考的達人吧！