牽牛要牽牛鼻子

上海 常文武

大家平日里解函數(shù)方程的題，常感無(wú)從下手.要想撥開(kāi)迷霧，必須認(rèn)清關(guān)鍵條件！那就是如標(biāo)題所言，“牽牛要牽牛鼻子”.

來(lái)看一道題目：

顯然第二個(gè)條件內(nèi)涵更豐富.它雖然只是一個(gè)等式，但是可以一當(dāng)十.因?yàn)橹灰∫恍┨厥獾膞，y 值代入它，就能得到函數(shù)在一些點(diǎn)上的特殊值.

可是取什么值呢？

一定要取到與第一個(gè)條件有關(guān)的值.讓我們?cè)囋噚=-1，y=0.效果不錯(cuò)啊，我們得到了

你會(huì)問(wèn)，這一對(duì)特殊值怎么想到的啊？

無(wú)非是聯(lián)系到第一個(gè)已知條件以及在第二個(gè)條件中，等式右邊取y=0時(shí)會(huì)歸于統(tǒng)一.

當(dāng)然也可取其他途徑.比如你也可能這么算：令x=y=0，得到4f（0）2=2f（0）.約去一個(gè)f（0）就得到同一個(gè)答案不過(guò)可得當(dāng)心，萬(wàn)一約去的是個(gè)0呢？所以穩(wěn)妥起見(jiàn)還是采用前一個(gè)方法.

現(xiàn)在讓我們來(lái)擴(kuò)大戰(zhàn)果吧.

如果只令x=0，會(huì)怎樣呢？這次我們得到f（y）=f（-y）.哈哈，原來(lái)這是個(gè)偶函數(shù)啊！則有f（1）=f（-1）=

仍然會(huì)有人問(wèn)，為何想到令x=0呢？

其實(shí)這個(gè)想法也是很自然的，因?yàn)閒（0）經(jīng)過(guò)探索已知其值了嘛！

有了以上的摸索成果，我們可以向目標(biāo)發(fā)起猛攻了！

如何能找到f（-2019）的值呢？

首先利用奇偶性，f（-2019）=f（2019）.接下來(lái)大概遞推可以奏效吧？取y=-1，得到f（x）=f（x+1）+f（x-1）.這可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)遞推式：f（x）-f（x-1）=f（x+1）.也就是說(shuō)，前兩項(xiàng)的差等于第三項(xiàng).這樣的話，我們總算看到了希望.滿足以上遞推式的f（x）在整格點(diǎn)上是個(gè)周期的數(shù)列：a，b，b-a，-a，-b，a-b，a，b，b-a，-a，-b，a-b，a，…，它的周期為6.所求的f（2019）=f（3）=-f（0）=

勤于思考的你又會(huì)問(wèn)，怎么想到用遞推來(lái)解題呢？

其實(shí)第二個(gè)條件中x+y和x-y都是在x的基礎(chǔ)上平移了y.提示我們將y 取為-1來(lái)得出一個(gè)遞推式.

問(wèn)題解完了，可是我們?nèi)匀徊恢篮瘮?shù)f（x）的真面目.好奇的你也許還會(huì)問(wèn)，這個(gè)f（x）可有解析式？

我們想到了數(shù)值模擬.請(qǐng)看上圖，把一系列的f（n）在Excel中畫出直方圖，發(fā)現(xiàn)很像是余弦函數(shù)的圖象.于是令f（x）=Acosωx，將f（0）=，周期T=6代入得：f（x）=

驗(yàn)證一下題設(shè)的兩個(gè)條件，第一個(gè)顯然對(duì)了.第二個(gè)條件：左邊=右邊.哈哈哈！我們貌似猜出了這個(gè)函數(shù)的廬山真面目！不過(guò)是否還有其他表現(xiàn)形式呢？我們還是不敢打包票，留給讀者繼續(xù)探索吧！

綜上所述，我們發(fā)現(xiàn)嘗試對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解的過(guò)程充滿了艱辛.運(yùn)氣好的時(shí)候，我們可以勢(shì)如破竹地前進(jìn).運(yùn)氣不好的時(shí)候，也就只能屢敗屢試下去了.只有當(dāng)你順利牽到了題目的“牛鼻子”，題目才能迎刃而解.