品味對(duì)稱(chēng)之美

江蘇 漂 流

托馬斯說(shuō)：“函數(shù)的概念是近代數(shù)學(xué)思想之花.”函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)之美.

大家知道，函數(shù)y=x2是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，如圖1.

圖1

圖2

記得在剛剛學(xué)習(xí)函數(shù)奇偶性的判斷時(shí)，就有同學(xué)發(fā)現(xiàn)，我們常見(jiàn)的單項(xiàng)式函數(shù)y=xn（n∈Z），其奇偶性恰與它的次數(shù)一致，對(duì)于多項(xiàng)式函數(shù)y=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0（an≠0），當(dāng)其組成的單項(xiàng)式的次數(shù)奇偶性相同時(shí)，才具有奇偶性.奇和偶本身也是一種對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)，這種次數(shù)上的一致性就成了函數(shù)奇偶性的最初來(lái)源.用這種方法，我們的學(xué)霸當(dāng)時(shí)秒殺了許多的函數(shù)奇偶性問(wèn)題.

當(dāng)然有小伙伴們會(huì)提出疑問(wèn)，三角函數(shù)y=sinx和y=cosx的奇偶性，又該如何來(lái)解釋呢？進(jìn)入大學(xué)后，我們會(huì)知道，函數(shù)y=sinx 的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式為其中只含有x的奇次項(xiàng)（注：3！=1×2×3，5！=1×2×3×4×5，依此類(lèi)推），所以為奇函數(shù).類(lèi)似可解釋為偶函數(shù).初等函數(shù)中的指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，如…中，同時(shí)含有奇次和偶次單項(xiàng)式.剛才的幾個(gè)表達(dá)式現(xiàn)在看起來(lái)還很生疏，但其結(jié)構(gòu)的整齊劃一，一定給我們留下了深刻印象，也是數(shù)學(xué)之美的一種體現(xiàn).從次數(shù)角度闡述函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱(chēng)性，不失為一種形象而生動(dòng)的注釋.

下面是兩幅有著對(duì)稱(chēng)美的建筑和家具圖.

圖3

講到對(duì)稱(chēng)，我們很容易聯(lián)想到文學(xué)中的對(duì)偶.對(duì)偶是用字?jǐn)?shù)相等、結(jié)構(gòu)相同、意義對(duì)稱(chēng)的一對(duì)短語(yǔ)或句子來(lái)表達(dá)兩個(gè)相對(duì)應(yīng)或相近意思的修辭方式.與對(duì)稱(chēng)類(lèi)似，對(duì)偶表現(xiàn)了變化中的不變性（相同位置的詞語(yǔ)的詞性、表示對(duì)象的類(lèi)別相同）.對(duì)偶獨(dú)具藝術(shù)特色，看起來(lái)整齊醒目，聽(tīng)起來(lái)鏗鏘悅耳，讀起來(lái)朗朗上口，便于記憶、傳誦，為人們喜聞樂(lè)見(jiàn).嚴(yán)格的對(duì)偶還講究平仄，充分利用了漢語(yǔ)的聲調(diào).

下面我們來(lái)欣賞一些對(duì)偶名句.

登高而招，臂非加長(zhǎng)也，而見(jiàn)者遠(yuǎn)；順風(fēng)而呼，聲非加疾也，而聞?wù)哒?

——《勸學(xué)》

海內(nèi)存知己，天涯若比鄰.

——《送杜少府之任蜀州》

落霞與孤鶩齊飛，秋水共長(zhǎng)天一色.

——《滕王閣序》

對(duì)偶不僅是一種修辭手法，對(duì)偶思想應(yīng)用于數(shù)學(xué)解題之中，便形成對(duì)偶法.對(duì)偶法是在數(shù)學(xué)解題的過(guò)程中，通過(guò)合理地構(gòu)造形式相似、具有某種對(duì)稱(chēng)關(guān)系的一對(duì)對(duì)偶關(guān)系式，并通過(guò)適當(dāng)?shù)暮汀⒉睢⒎e等運(yùn)算，達(dá)到解決問(wèn)題的目的.在數(shù)學(xué)解題的過(guò)程中，適當(dāng)?shù)厥褂脤?duì)偶法，往往會(huì)有“山重水復(fù)疑無(wú)路，柳暗花明又一村”的效果.當(dāng)然，用對(duì)偶法解題的前提是構(gòu)造對(duì)偶關(guān)系式.

例對(duì)一切非零實(shí)數(shù)x，函數(shù)f（x）滿(mǎn)足條件

分析原有函數(shù)類(lèi)型未定，給我們求解析式帶來(lái)了麻煩，由于f（x）和成對(duì)出現(xiàn)，我們可以嘗試構(gòu)造對(duì)偶關(guān)系式.

解由以代替x得：

從對(duì)稱(chēng)到對(duì)偶，再到用對(duì)偶解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，不難看出，小小對(duì)稱(chēng)，文理相通；細(xì)細(xì)品味，別有洞天.