漫話狄利克雷函數

2019-05-22 01:46:14江蘇省江陰市要塞中學

新世紀智能(數學備考) 2019年2期

江蘇省江陰市要塞中學李紅

青年問禪師：“我覺得我在這個世界上是多余的，沒有人需要我.”

禪師說：“就像你所學的數學，無論怎樣復雜艱深的函數，都有適合的圖象對應.你只是還沒找到那個圖象而已.”

青年沉思一番，提筆寫下了狄利克雷函數的描述.

（1）定義域為整個實數域R；

（2）值域為{0，1}；

（3）函數為偶函數；

（4）無法畫出函數圖象，但是它的函數圖象客觀存在；

（5）以任意正有理數為其周期，但不存在最小正周期.

一、狄利克雷函數的簡介

狄利克雷函數的出現是函數概念發展過程中的標志性事件之一.狄利克雷（1805—1859），德國數學家，他是解析數論的創始人，小學生都熟知的抽屜原理就是他在1834年提出的.

函數的圖象就是函數的寫真，狄利克雷函數圖象是客觀存在，但卻無法畫出的.

狄利克雷函數的出現，不僅僅給了我們一個無法畫出函數圖象的反例，而且極大地推動了函數概念的發展，使人們對函數的認識超越了1718年瑞士數學家約翰·伯努利提出的函數解析式定義的階段.在1837年，狄利克雷認識到怎樣去建立兩個量x與y之間的函數解析式是無關緊要的，關鍵在于尋求它們之間的對應法則，從而創立了現代函數的正式定義：“如果對于x的每一個值，y總有一個完全確定的值與之對應，則y是x的函數.”這個定義抓住了概念的本質屬性，變量y稱為x的函數，只需有一個法則存在，使得這個函數取值范圍中的每一個值x，有一個確定的y值和它對應就行了，不管這個法則是公式或圖象或表格或其他形式.

同樣，周期性是函數的另一個重要性質，具有周期性的函數，我們更關心函數的最小正周期.那么，具有周期性的函數是不是都有最小正周期呢？答案是否定的.狄利克雷函數是周期函數，但是沒有最小正周期，因為不存在最小正有理數.

二、狄利克雷函數的應用

例1 已知d（x）=數列{an}滿足n∈N*，則a20=________.

解析由a1=0，an+1=可分別求出

點評該問題以狄利克雷函數為背景，將周期性和數列性質進行有機整合，有韻味有變化，看似結構復雜卻并不復雜.

例2 已知函數給出下列四個命題：

①函數f（x）是偶函數；

②函數f（x）是周期函數；

③存在xi∈R（i=1，2，3），使得以點（xi，f（xi））（i=1，2，3）為頂點的三角形是等邊三角形；

④存在xi∈R（i=1，2，3），使得以點（xi，f（xi））（i=1，2，3）為頂點的三角形是等腰直角三角形.

其中，所有真命題的序號是____（填上你認為正確的所有命題的序號）.

解析①若x為有理數，則-x也為有理數，所以f（x）=f（-x）=1，

若x為無理數，則-x也為無理數，所以f（x）=f（-x）=0，

綜上有f（x）=f（-x），故函數f（x）為偶函數，①正確；

②若x為有理數，則x+3也為有理數，則f（x+3）=f（x）=1；若x為無理數，則x+3也為無理數，則f（x+3）=f（x）=0，故3為函數的一個周期，即f（x）是周期函數，故②正確；

③設三個點（x1，0），（x2，1），（x3，0），且，令x2=0，符合題意，③正確；

④假設存在等腰直角三角形ABC，則斜邊AB 只能在x軸上或在直線y=1上，且斜邊上的高始終是1.若斜邊AB 在x軸上，點C在直線y=1上，故斜邊AB=2，且點A，B 的橫坐標是無理數，則斜邊AB 的中點橫坐標也是無理數，C 的橫坐標是無理數，縱坐標只能為0，不符合題意；若斜邊AB 在直線y=1上，點C在x軸上，故斜邊AB=2，且點A，B 的橫坐標是有理數，則斜邊AB 的中點橫坐標也是有理數，C 的橫坐標是有理數，縱坐標只能為1，不符合題意，即不存在符合題意的等腰直角三角形，④錯誤.

故正確答案為①②③.

點評要解決好這個問題，我們首先要在閱讀上下功夫.其中部分命題的判斷中，結合狄利克雷函數性質進行了構造處理，或許數形結合效果會更好，不妨試試看.

文章到此應該結束了，但我仍然有意猶未盡的感覺，忽然想到了狄利克雷的一則軼聞.

狄利克雷一生只癡迷于數學事業，對于個人和家庭都是漫不經心的.當他的第一個孩子出生時，向岳父寫的信中只寫上了一個式子：2+1=3.

你懂的.