高中生數學抽象能力培養案例分析

胡志紅?楊會濤

抽象思維是人類思維達到高級階段產生的一種能力。抽象性是數學學科三大特征中最本質的特征之一，沒有抽象就沒有數學。《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出：“通過高中數學課程的學習，學生能在情境中抽象出數學概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的活動經驗;養成在日常生活和實踐中一般性思考問題的習慣，把握事物的本質，以簡馭繁;運用數學抽象的思維方式思考并解決問題。”但在日常教學中，有些教師為了“節省時間”直接給出概念或定理，主要精力放在對學生的嚴格管理以及大量重復練習與檢查上，數學教學活動變成單純的解題、背題訓練，課堂上不述說數學知識產生的背景，不展示數學概念以及運算法則的抽象過程，不顧及數學知識之間的關聯，不能讓學生感悟數學的通性通法、體會其中的數學思想，不能夠引導學生進行深入的獨立思考，感悟高度概括、有序多級的數學知識體系。長久如此，學生不會真正地理解數學，更甚者，數學老師辛辛苦苦、兢兢業業培養出的是厭惡數學、缺乏數學素養的人。本文以人教A版選修1-1第三章3.1.1的“變化率問題”為例，分析如何在課堂教學中培養學生的抽象能力，落實數學抽象核心素養。

一、案例題目：人教A版選修1-1第三章3.1.1中的“變化率問題”

本節課是概念課，基本思路如下。

1.問題情境：（1）從吹氣球問題出發抽象出平均膨脹率的概念;（2）從高臺跳水問題出發抽象出平均速度的概念。（這兩個過程都體現了數學抽象的素養）

2.歸納定義：通過比較平均膨脹率和平均速度的表達式，二次抽象出平均變化率的概念。（這個過程又一次體現了數學抽象的素養）

3.幾何意義：引導學生直觀想象出平均變化率的幾何意義。（這個過程體現了直觀想象的素養）

4.簡單應用：利用平均變化率研究兩個實際問題——排污量的平均變化率和體溫的平均變化率（這個過程體現了數學建模的素養）;最后給出一個探究問題：在高臺跳水時，求運動員在0≤t≤65/49這一時間段的平均速度，這個問題為下節課的瞬時變化率做鋪墊，進而形成導數概念。（這個過程體現了數學運算的素養）

綜觀整個概念課的教學過程，本節課的難點是：如何引導學生抽象出“平均膨脹率”的概念。高臺跳水問題是學生們熟悉的速度問題，所以這個問題比較簡單。吹氣球雖然也是學生熟悉的生活問題，每個學生都吹過氣球，也都有這種越來越難吹的感受，但是如何從數學上說明氣球越來越難吹，還是有一定難度的。這個難點的突破也為我們研究在課堂中落實“數學抽象”這一核心素養、培養學生的抽象能力提供了很好的載體。

二、教學設計

師：我們在吹氣球時，隨著氣球內空氣容量的增加，氣球的半徑增加得越來越慢嗎？

（為了解決這個問題，設計了如下的探究問題）

探究一：這里涉及幾個變量？分別是什么？ （答：體積和半徑兩個變量。）

三、點評分析

在落實數學抽象這一核心素養過程中，使用數據來引導學生理解“隨著氣球體積的增大，氣球的半徑增加得越來越慢”這一句話，教師提供時間和空間給學生自主探究感興趣的現實問題，積累從具體到抽象的活動經驗，在學生理解這一句話的同時，順其自然誕生了“平均膨脹率”這一重要的概念。在基于培養學生數學核心素養的教學中，學生面對問題化的學習內容，在教師引導下進行操作實驗、現象觀察、提出猜想、推理論證等，不僅經歷了數學概念的形成過程、數學規律的發現過程以及數學問題的解決過程，而且積累了數學活動經驗，感悟到數學思想方法，最終培養出嚴謹求實的科學態度和勇于探究真理的科學精神。

“建國君民，教學為先”，無論學生未來從事什么工作，數學教育的終極目標是使得學生會用數學眼光觀察現實世界，會用數學思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界。用數學的眼光觀察世界，就需要我們教師在平常的教學中注重培養學生的抽象能力，即培養學生將實際問題抽象為數學問題的能力，這需要我們每一位教師在教學中注意創設合適的教學情境，注意“在學生思維最近發展區內提問”，在課堂上通過精心設計的數學教學活動來實現這一目標。

本文為河北省教育科學研究“十三五”規劃課題一般課題“高中數學核心素養在課堂教學中的行動研究”（課題編號：1604350）的研究成果。

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017.

[2]史寧中.數形結合與數學模型——高中數學教學中的核心問題[M].北京：高等教育出版社，2018.

[3]章建躍.中學數學核心內容教學設計的理論與實踐總論[M].北京：人民教育出版社，2015.

（作者單位：1.河北省邢臺市第一中學;2.河北省邢臺市第二中學）

責任編輯：肖佳曉

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