淺談有理數(shù)中動點(diǎn)問題的解題策略

摘 要：數(shù)軸為中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合的第一次運(yùn)用，在整個中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有著極其重要的地位，本文重點(diǎn)針對動點(diǎn)問題，給出利用數(shù)軸解決動點(diǎn)問題的一些常見方法，以啟發(fā)學(xué)生遇到問題時能靈活地借助數(shù)軸解決問題。

關(guān)鍵詞：動點(diǎn)；數(shù)軸；距離；絕對值

有理數(shù)是學(xué)生進(jìn)入初中的第一章內(nèi)容，重要性不言而喻，數(shù)軸是進(jìn)入初中以后學(xué)生首次接觸到的數(shù)形結(jié)合的知識點(diǎn)，靈活性大，還常常為我們解決問題帶來很大的便利，這一章內(nèi)容豐富，其中動點(diǎn)問題是難點(diǎn)，常需要利用數(shù)軸，數(shù)形結(jié)合解決問題。初一的動點(diǎn)問題包括了單個動點(diǎn)和多個動點(diǎn)問題，在解決方法上存在區(qū)別與聯(lián)系。

類型一：單個動點(diǎn)問題。單個動點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動，可以采取分類討論的方式分析動點(diǎn)的位置，結(jié)合距離公式和絕對值化簡的方法解決問題。

如問題1：當(dāng)代數(shù)式|x+1|+|x-2|取最小值時，相應(yīng)的x的取值范圍是 。當(dāng)代數(shù)式|x+1|+|x-2|值為8時，x的值為 。

首先，這一問題的理論基礎(chǔ)是數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式。其次，分析兩個絕對值的和的問題，絕對值化簡本身是代數(shù)問題，但是對于初一的學(xué)生來說，在第一章就進(jìn)行分類討論難度較大，因此我們將這個問題看成是一動點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和最小，這樣只要分析數(shù)軸上動點(diǎn)的運(yùn)動情況。數(shù)軸上的兩個點(diǎn)將數(shù)軸分成三個部分，分析動點(diǎn)分別在這三段上時到兩定點(diǎn)的距離之和變化情況，可以知道當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到這兩個定點(diǎn)之間時到這兩個定點(diǎn)的距離之和最小，最小值就是這兩定點(diǎn)之間的距離；當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到兩定點(diǎn)的左側(cè)或右側(cè)時，距離之和可以為大于最小值的任一值。再次，問題更加深入，研究兩個絕對值的和等于一個常數(shù)時的情況，我們有了前面分析點(diǎn)的運(yùn)動情況的基礎(chǔ)，可以比較輕松地得出當(dāng)點(diǎn)位于兩定點(diǎn)左側(cè)或右側(cè)時，距離之和為8。

通過這個問題，我們還可以更加深入地探討距離問題，比如將到兩個定點(diǎn)距離之和為定值的問題變?yōu)榈饺齻€定點(diǎn)距離之和為定值的問題：

在數(shù)軸上依次有A，B，C三點(diǎn)，其中點(diǎn)A，C表示的數(shù)分別為-2，5，且BC=6AB。在數(shù)軸上是否存在點(diǎn)

P，P到A，B，C的距離之和等于10？若存在，求點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)；若不存在，請說明理由。

有了前面分析的基礎(chǔ)，我們可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考，數(shù)軸上的三個點(diǎn)將數(shù)軸分為幾個部分，將動點(diǎn)分為幾種情況進(jìn)行分類討論，在授課時，將這樣同種類型的問題進(jìn)行類比討論，在課堂上開展活動，強(qiáng)化初中類比和分類討論的思想，激發(fā)學(xué)生探究的積極性，也更利于學(xué)生及時理解和消化這一知識點(diǎn)。

類型二：多個動點(diǎn)問題。多個動點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動，可以直接利用距離公式解決相應(yīng)問題。

如問題2：已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B對應(yīng)的數(shù)分別是6，-8，M、N、P為數(shù)軸上三個動點(diǎn)，點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)速度為每秒2個單位，點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)速度為

點(diǎn)M的3倍，點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)速度為每秒1個單位。

（1）若點(diǎn)M向右運(yùn)動，同時點(diǎn)N向左運(yùn)動，求多長時間點(diǎn)M與點(diǎn)N相距54個單位？

（2）若點(diǎn)M、N、P同時都向右運(yùn)動，求多長時間點(diǎn)P到點(diǎn)M，N的距離相等？

方法一：幾何法分析動點(diǎn)運(yùn)動位置變化情況，再分類討論。（1）分析動點(diǎn)運(yùn)動的情況，在數(shù)軸上標(biāo)出不同情況下兩點(diǎn)，可以看出兩點(diǎn)只能是點(diǎn)M在點(diǎn)N的右邊。設(shè)經(jīng)過x秒點(diǎn)M與點(diǎn)N相距54個單位。依題意可列方程為2x+6x+14=54，解方程，得x=5。即經(jīng)過5秒點(diǎn)M與點(diǎn)N相距54個單位。（2）位于最左側(cè)的點(diǎn)N運(yùn)動速度最快，其次是點(diǎn)M，點(diǎn)P速度最慢，因此點(diǎn)N先追上點(diǎn)P，再追上點(diǎn)M，若點(diǎn)P到點(diǎn)M和點(diǎn)N的距離相等，則分為點(diǎn)P位于點(diǎn)M和點(diǎn)N之間和點(diǎn)M和點(diǎn)N重合兩種情況。設(shè)經(jīng)過x秒點(diǎn)P到點(diǎn)M，N的距離相等。（2t+6）-t=（6t-8）-t或（2t+6）-t=t-（6t-8），解得t=72或t=13，即經(jīng)過72或13秒點(diǎn)P到點(diǎn)M，N的距離相等。

方法二：代數(shù)法分別表示各動點(diǎn)所在位置，利用距離公式直接解決問題。用含t的式子分別表示點(diǎn)M，點(diǎn)N，點(diǎn)P的位置，第一問中，無論兩點(diǎn)中哪一個在左邊，列式：|（6+2t）-（-8-6t）|=54，只要t的值為正數(shù)就可以。第二問中，表示M，N，P三點(diǎn)的位置分別為6+2t，-8+6t，t，再根據(jù)題目要求的點(diǎn)P到點(diǎn)M，N的距離相等，列式：|t-（6+2t）|=|6-（-8+6t）|，求出t的值即可。第二種方法利用兩點(diǎn)間的距離公式直接列式，避免了分類討論的過程，不容易漏解，當(dāng)然，這一方法的難點(diǎn)在于絕對值方程的解法有一定難度。

通過這一問題的分析，我們可以看出初中解決問題的一般方法。第一、要有數(shù)學(xué)的建模思想。動點(diǎn)問題是學(xué)生進(jìn)入初中后的一個難點(diǎn)問題，之所以難，是因?yàn)槲覀兘鉀Q問題的思路和途徑不同于小學(xué)時的處理辦法，初中更加注重能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，遇到問題，需要更多的思考與分析，這是什么類型的問題，這就是一個初步的數(shù)學(xué)建模的思想。數(shù)軸是初中學(xué)習(xí)中第一個數(shù)形結(jié)合的知識點(diǎn)，打好這個基礎(chǔ)，才能更好更順利地學(xué)習(xí)后面的平面直角坐標(biāo)系、函數(shù)等問題，更重要的是，我們需要培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，借助數(shù)軸能讓我們更好地理解運(yùn)動問題，隨著初中學(xué)習(xí)的深入，充分利用數(shù)軸，熟悉絕對值的相關(guān)概念，是我們走好中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)第一步的關(guān)鍵。第二、類比轉(zhuǎn)化的思想。問題中并沒有出現(xiàn)數(shù)軸，從形式上看是一個行程問題，我們當(dāng)然可以用小學(xué)的算術(shù)方法去解決，但比較難理解，分類情況也比較煩瑣，這時候我們可以自己建構(gòu)數(shù)軸，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題解決。第三、要有分類討論思想。這也是和小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個很大的區(qū)別，我們在小學(xué)時，算術(shù)方法往往是只注重結(jié)果，不注重過程，所以適合一些相對情況單一的問題，分類思想的出現(xiàn)打開了學(xué)生的思路和眼界，解決問題不再局限于一種情況，可以很好培養(yǎng)學(xué)生全面思維的能力，考慮問題

更加完整周密，培養(yǎng)學(xué)生思維的完善性，完整性，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣。

動點(diǎn)問題雖然只是我們初中第一章當(dāng)中的一類問題，但研究這類問題的方法可以對我們整個初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生影響，在授課時不滿足于講解題目本身，而是更深入地挖掘解決問題的方法，可以對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起到促進(jìn)作用。

參考文獻(xiàn)：

[1]李全法.初中函數(shù)教學(xué)策略初探[J].教育教學(xué)論壇，2013（50）.

作者簡介：呂雯雯，江蘇省南通市，江蘇省南通田家炳中學(xué)。