預應力撐桿柱整體穩定性能的數值分析

劉迎春，李 洋，張文福,2，鄧 云，鄧世林 ，嚴 威

(1.東北石油大學土木建筑工程學院，黑龍江 大慶163318; 2.南京工程學院建筑工程學院，江蘇 南京 211167)

預應力撐桿柱被廣泛地應用在高塔、桅桿、柱子和支撐玻璃平面的桁架中，有時也被應用在框架和特殊結構中。這些柱子相對比較細長，其荷載承載力主要由柱子的屈曲性能控制。可以通過預應力索和短橫隔的共同作用來提高預應力撐桿柱的屈曲強度，其中短橫隔通過傳遞索的橫向力來約束中心柱的屈曲；因此預應力和撐桿柱可以阻止普通柱子的一般屈曲和潛在地提高柱子的豎向軸心承載力。

預應力撐桿柱通常由3部分組成(如圖1所示)：1)中心壓桿，截面形式可以為實腹式(如圓管)和格構式，且長細比一般較大；2)拉索，一般對稱布置在壓桿的兩側，拉索的預拉力T0應該能保證在撐桿柱失穩時不退出工作(即T>0)，且拉索與中心壓桿及橫撐桿之間均鉸接；3)橫隔，一般由橫隔板或橫撐桿構成，其橫截面尺寸遠小于中心壓桿，且與中心壓桿剛性連接，圖1(e)給出了2種由橫撐桿組成的橫隔形式。預應力撐桿柱的橫隔一般為1～3道，拉索數目為3～4道[1-3]。

圖1 預應力撐桿柱的組成形式

從受力角度來講，預應力撐桿柱仍然是由中心壓桿來承受軸向荷載，而相比之下橫隔中撐桿的軸向壓力則較小；因此，預應力撐桿柱的失穩本質上還是中心壓桿的失穩，而拉索和橫撐桿的作用就是對中心壓桿提供中間側向彈性支撐，從而提高中心壓桿的屈曲荷載[4-8]。對于單橫隔預應力撐桿柱來說，其屈曲失穩破壞變形可能存在2種不同的形式，即對稱失穩破壞變形和反對稱失穩破壞變形，分別如圖2(a)、圖2(b)所示[9]。

有關預應力撐桿柱的計算理論及穩定設計，國內外的一些學者已經做了許多理論和試驗研究。

1963年，Chu等[4]研究了帶有3個橫撐桿的支柱，提出了基于整體關系來確定屈曲荷載的求解方法并進行了試驗研究。1967年，Mauch等[5]在文獻[4]的基礎上研究發現在柱子中加撐桿可以提高柱子50%的承載力。1970年，Voevodin[6]研究了預應力桁架柱的穩定性，中心柱四周布置有桁架形式的框架，提出了確定最大屈曲荷載的分析方法。1975年，Smith等[7]研究了單橫隔撐桿柱的屈曲，并且推導出了確定撐桿柱彈性屈曲荷載的方程。Khosla[8]用有限元方法求解了撐桿柱的屈曲荷載，提出了有限元規范來確定撐桿柱的彈性屈曲荷載。

圖2 屈曲模態

1977年，Temple[9]采用有限元方法分析了預應力撐桿柱的屈曲荷載。1979年，Hafez等[10]針對理想撐桿柱推導了索預拉力和屈曲荷載的線性關系。1982年，Wong等[11]研究了帶有初始缺陷的撐桿柱。1984年，Temple等[12]研究了撐桿柱的破壞準則。2002年，Chan等[13]采用一種帶有初始缺陷的單元來分析預應力撐桿柱的彈性穩定性能，提出了預應力撐桿柱的簡化算法。2009年，Saito等[14]對預應力撐桿柱相關屈曲進行了數值研究,即單橫隔預應力撐桿柱在平面內可能發生2種屈曲模態(對稱失穩和反對稱失穩)，對此2種模態進行組合，即可得到預應力撐桿柱的相關屈曲模態，并提出了預應力撐桿柱中施加預應力大小的計算理論公式。2010年，Saito等[15]對預應力撐桿柱中最優預應力大小及最佳撐桿結構形式進行了研究。2006年，郭彥林等[16]針對單橫隔預應力撐桿柱分析了其彈性屈曲形式及彈塑性極限承載力，并提出了單橫隔預應力撐桿柱的實用設計方法。2006年，舒贛平等[1]做了內撐式預應力撐桿柱的穩定承載力實驗研究，重點研究了不同長細比、不同柱截面形式、不同支座約束條件的預應力撐桿柱的穩定承載力。2011年，劉學春等[17]對高性能鋼預應力撐桿柱整體穩定性能進行了研究，分析結果表明:預應力撐桿體系和高性能鋼材的合理使用,能顯著提高軸心受壓柱的承載能力,充分發揮兩者的優勢。2016年，周煥延等[18]做了預應力軸壓撐桿鋼柱高溫性能試驗研究和數值分析。本文以單橫隔預應力撐桿柱為研究對象，對其進行數值分析研究，并考察不同參數，如：橫撐桿長度h及直徑Ds和預應力T等參數對預應力撐桿柱彈性屈曲荷載的影響，以期為實際工程設計提供初步的參考依據。

1 有限元模型的建立

1.1 有限元分析時預應力撐桿柱的屈曲準則

在穩定平衡狀態，考慮到軸向力或中面內力對彎曲變形的影響，根據勢能駐值原理得到結構的平衡方程為

([KE]+[KG]){U}={P}

(1)

式中：[KE]為結構的彈性剛度矩陣；[KG]為結構的幾何剛度矩陣，也稱為初應力剛度矩陣；{U}為節點位移向量；{P}為節點荷載向量。式(1)也是幾何非線性分析的平衡方程。

為得到隨遇平衡狀態，應使系統勢能的二階變分為零，即：

([KE]+[KG]){δU}=0

(2)

因此必有：

|[KE]+[KG]|=0

(3)

式(3)中的結構彈性剛度矩陣為已知，因外荷載也就是待求的屈曲荷載，故幾何剛度矩陣為未知的。為求得該屈曲荷載，任意假設一組外荷載{P0},與其對應的幾何剛度為[KG0]，并假定屈曲時的荷載為{P0}的λ倍，故有[KG]=λ[KG0]，從而式(3)可化為：

(4)

將式(4)寫成特征值方程為

([KE]+λi[KG]){φi}=0

(5)

式(5)中：λi為第i階特征值；{φi}為與λi對應的特征向量，是相應該階屈曲荷載時結構的變形形狀，即屈曲模態或失穩模態。

在ANSYS的特征值屈曲分析中，其結果給出的是λi和{φi}，即屈曲荷載系數和屈曲模態，而屈曲荷載為λi{P0}。

1.2 單元的選擇與相關模擬技術問題

中心壓桿和橫撐桿均采用三維有限應變梁單元BEAM188模擬，可以自定義截面，更有效地仿真實際結構。拉索通常采用LINK10單元模擬，該單元是非線性單元，采用非線性分析獲得靜力解，即得到結構在變形后位置的平衡結構，此時得到的幾何剛度矩陣可用于特征值屈曲分析。這2種單元均具有塑性，大變形、大應變、應力剛化等功能[19-20]。

1.3 如何在ANSYS中實現有預應力的結構屈曲分析[20]

實際工程結構經常采用預應力結構，如先張梁和后張梁，斜拉橋、細桿拱橋，張拉弦結構及預應力鋼梁等，此時其特征值屈曲分析又有不同。

1)索通常采用LINK10單元模擬，該單元是一非線性單元，采用非線性分析獲得靜力解，即得到結構變形后位置的平衡結果，此時得到的幾何剛度矩陣可用于特征值屈曲分析。

2)不管采用初應變方法或是降溫方法施加預應力，所生成的幾何剛度都將被同時縮放；因此其屈曲荷載求解方法與有恒載和活荷載的方法相同，即不能將預應力同時縮放，應采用迭代方法-保持預應力不變，不斷改變外荷載值，直到屈曲荷載系數為1.0為止。此時外荷載值即是屈曲荷載值。

1.4 有限元模型的驗證

采用有限元軟件ANSYS建立文獻[17]中的有限元模型并對其進行有限元分析，且分析結果與文獻[17]中的結果進行對比，以此來驗證本文預應力撐桿柱有限元分析中建模的正確性。

文獻[17]中分析模型幾何參數如下：鋼材彈性模量為EG=206 GPa，索的彈性模量為ES=125 GPa；中心壓桿長度L= 9.0 m，截面規格為φ200×8；撐桿長度hc=0.3 m，截面規格為φ50×8；拉索截面直徑Ds=20 mm，預拉力T=100 kN。

預應力撐桿柱ANSYS分析的一般步驟：

1)定義單元類型、材料特性、實常數，鋼管選用Q235鋼材，其彈性模量Es=2.06×105MPa，泊松比μs=0.3。

2)建立預應力撐桿柱幾何模型，先建立中心柱上下兩端的關鍵點，再建立中心柱兩側橫撐桿的左右兩端關鍵點，最后通過關鍵點生成幾何模型。

3)分別賦予中心柱、橫撐桿和預應力拉索的單元類型、實常數和材料特性，然后進行網格劃分，梁單元長度取為中心壓桿長度的5%。

4)施加約束：為了準確地模擬預應力橫撐桿簡支柱在平面內的屈曲，在有限元模型中，Y軸通過截面中心沿試件長度方向，X軸和Z軸分別作為截面的弱軸和強軸，所有節點的扭轉變形和Z向平動位移均被約束，試件兩端的X向位移以及試件低端的Y向位移也被約束[19]。

5)施加荷載：采用初應變法施加拉索的預應力，在中心柱頂端施加一個豎直向下的集中力。

6)求解：首先激活預應力效應，便可考慮預應力效應，對于后面要進行的特征值屈曲分析，因要使用幾何剛度矩陣，激活預應力效應才能生成和保存該矩陣。但靜力解也可為非線性分析，即非線性分析完成后生成幾何剛度矩陣，然后進行特征值屈曲分析，應采用迭代方法-保持預應力不變，不斷改變外荷載值，直到屈曲荷載系數為1.0為止。此時外荷載值即是屈曲荷載值。

7)后處理：通過/POST1命令進入通用后處理器，查看荷載屈曲系數和屈曲形狀。

有限元模型如圖3所示。本文有限元分析結果與文獻[17]中的結果見表1。

圖3 有限元模型

模型本文有限元解文獻[17]有限元解誤差無預應力柱NE/kN 558.239557.20.186%預應力撐桿柱Ncr/kN834.643811.22.81%

由表1可知，本文中有限元分析結果與文獻[17]的有限元分析結果之間的誤差極小，從而說明在本文中有限元分析時，有限元建模具有足夠的精度；因此可以對本文中預應力撐桿柱的彈性屈曲性能進行數值分析。

2 預應力撐桿柱彈性屈曲數值分析

下面基于有限元軟件ANSYS，通過數值方法來分析單橫隔預應力撐桿柱的屈曲荷載。數值模型的幾何參數如下：預應力撐桿柱長度L=12.0 m，中心壓桿(圓管)的截面尺寸Db×tb=200 mm×8 mm，拉索(圓鋼)的截面直徑Dc=20 mm。鋼材彈性模量為EG=206 GPa，索的彈性模量為ES=125 GPa。考慮以下3個參數變化對預應力撐桿柱屈曲荷載的影響：橫撐桿長度h，變化范圍為0.1～1.2 m；橫撐桿(圓管)截面直徑Ds，分別取50、75、100 mm 3個值，其壁厚ts取定值8 mm；預應力T進行擴展參數分析。下文所提的預應力撐桿柱的屈曲荷載用Ncr表示，無預應力柱的屈曲荷載用NE表示。

2.1 橫撐桿長度h及直徑Ds對預應力撐桿柱彈性屈曲荷載的影響

在有限元建模過程中，分別變化預應力撐桿柱長度h及直徑Ds進行有限元求解，研究發現預應力撐桿柱橫撐桿長度h及直徑Ds與其彈性屈曲荷載的關系見圖4。注意，參數分析時每種情況下預應力T取值見表2。

圖4 橫撐桿長度h及直徑Ds對預應

L/mDs /mmh /mT/kN屈曲形式0.115正對稱0.220正對稱0.325正對稱1250、75、1000.425正對稱0.530正對稱0.635正對稱0.745正對稱0.855反對稱0.955反對稱12501.055反對稱1.155反對稱1.255反對稱0.860反對稱0.960反對稱12751.060反對稱1.160反對稱1.260反對稱0.870反對稱0.970反對稱121001.070反對稱1.170反對稱

由圖4可知：(1)預應力撐桿柱彈性屈曲荷載Ncr隨橫撐桿長度h的增大而增大，但當橫撐桿長度h超過一定范圍時，其對預應力撐桿柱彈性屈曲荷載Ncr的影響不大。(2)當橫撐桿長度h<0.8 m時，預應力撐桿柱發生正對稱失穩；當橫撐桿長度h>0.8 m時，預應力撐桿柱發生反對稱失穩。(3)當橫撐桿長度h<0.8 m時，即預應力撐桿柱發生正對稱失穩時，橫撐桿直徑Ds的變化對預應力撐桿柱彈性屈曲荷載Ncr沒有影響；當橫撐桿長度h>0.8 m時，即預應力撐桿柱發生反對稱失穩時，預應力撐桿柱彈性屈曲荷載Ncr隨橫撐桿直徑Ds的增大而增大。

為了說明本文預應力對預應力撐桿柱參數分析的正確性，與文獻[16]的參數分析結果進行了對比，對比結果見圖5。

圖5 本文參數分析與文獻[16]參數分析對比

由圖5可知，本文參數分析結果與文獻[16]的參數分析結果吻合良好，可以說明本文預應力撐桿柱參數分析的正確性。

2.2 預應力T對預應力撐桿柱彈性屈曲荷載的影響

圖6中縱坐標表示Ncr/NE為無量綱，其中Ncr為預應力撐桿柱的屈曲荷載，NE為無預應力柱的屈曲荷載。橫坐標表示T/NE為無量綱，其中T為預應力大小。

(a) (b)

由圖6可知，無論預應力撐桿柱發生對稱失穩破壞還是反對稱失穩破壞，當預應力T在一定范圍時，預應力撐桿柱彈性屈曲荷載Ncr隨預應力T的增大而增大；但當預應力T超過一定范圍時，預應力撐桿柱彈性屈曲荷載Ncr隨預應力T的增大而減小。此種情況也驗證了文獻[16]中所得到的結論，即當索的預應力T達到臨界預應力Topt，索的預拉力不宜太大，因為預應力撐桿柱的整體屈曲荷載是隨著索的預拉力的增大而減小；因此，預拉力大小對平面預應力撐桿柱的屈曲荷載的影響比較大，在實際工程中應該合理選擇預應力T，以充分發揮預應力撐桿柱的性能。

2.3 體內預應力柱(即橫撐桿長度h=0)

當預應力撐桿柱橫撐桿長度h=0時，預應力撐桿柱就變成沿柱軸線方向體內布置預應力筋的預應力柱，其簡化模型如圖7所示。采用大型通用有限元軟件ANSYS通過數值方法分析沿軸線方向體內布筋預應力柱的彈性屈曲性能。有限元模型如圖8所示。

由圖9可知，隨著預應力T的增大，沿軸向體內布筋柱子的彈性屈曲荷載Ncr逐漸減小。當T=0時，柱子的屈曲荷載Ncr為NE，且當預應力T=4NE時，柱子的屈曲荷載Ncr為零。

圖7 簡化計算模型

圖8 體內預應力柱有限元模型

圖9 預應力對體內預應力柱彈性屈曲荷載的影響

3 結論

通過對預應力撐桿柱進行有限元分析及擴張參數分析可知，參數橫撐桿長度h及直徑Ds和預應力T對預應力撐桿柱的彈性屈曲荷載影響如下：

1)隨著橫撐桿長度h的增大預應力撐桿柱彈性屈曲荷載Ncr增大，但當橫撐桿長度h超過一定范圍時，其對預應力撐桿柱彈性屈曲荷載Ncr的影響不大。

2)當橫撐桿長度在h<0.8 m的范圍時，預應力撐桿柱發生正對稱失穩；當橫撐桿長度在h>0.8 m的范圍時，預應力撐桿柱發生反對稱失穩。

3)當橫撐桿長度在h<0.8 m范圍時，即預應力撐桿柱發生正對稱失穩時，橫撐桿直徑Ds的變化對預應力撐桿柱彈性屈曲荷載Ncr沒有影響；當橫撐桿長度在h>0.8 m范圍時，即預應力撐桿柱發生正對稱失穩時，預應力撐桿柱彈性屈曲荷載Ncr隨橫撐桿直徑Ds的增大而增大。

4)當預應力在一定范圍時，預應力撐桿柱彈性屈曲荷載Ncr隨預應力T的增大而增大，但當預應力T超過一定范圍時，預應力撐桿柱彈性屈曲荷載Ncr隨預應力T的增大而減小。

5)當預應力撐桿柱橫撐桿長度h=0時，隨著預應力T的增大，沿軸向體內布筋柱子的彈性屈曲荷載Ncr逐漸減小。且當預應力T=4NE時，柱子的屈曲荷載Ncr為零。