淺析大角度單擺周期

涂逸可

摘 要：本文從單擺的微分方程出發，先研究了小角度近似下的簡諧振子運動，接著從能量守恒定律的角度求解了任意角度單擺的周期，最后給出了幾種大角度單擺近似的研究方法。

關鍵詞：單擺 泰勒展開 周期

引言

單擺在物理學中不但具有重要的理論意義和實踐意義，還具有重要的教學價值，是許多發明創新的出發點。在高中物理里討論最多的就是一種類似于簡諧振動的單擺運動，但這僅限于小角度擺動。所以當初在單擺的簡諧振動時我就在思考著如果單擺角度過大時，單擺的運動將是什么樣的，這種大角度單擺運動是否還能夠運用高中物理所學到的周期公式。同時高中物理中經常會說到這種類似于簡諧振動的單擺運動只適用于角度不超過5°的情況，角度一定是不超過5°就可以用 ，如果角度是5.1°呢，情況會有變化嗎？

一、簡諧振動的單擺

單擺是一種物理模型，它是一個形狀、大小都可以看成質點的小球系在不計伸長和質量的擺線上的理想狀態。建立物理模型是研究和解決物理問題的關鍵，而單擺模型是討論和處理有關單擺運動必不可少的要素，尤其是研究單擺的運動周期，如圖1所示。單擺運動問題有兩個基本性質如右：

①單擺的回復力是重力沿圓弧切線方向并指 向平衡位置的分力 提供的（ 為單擺的擺角）。

②回復力越大， 回復力產生的加速度越大， 則擺球振動的周期越小，所以回復力的大小影響振動的快慢。

設擺長為L、質量為m的單擺在重力場g中作小角度擺動，由牛頓第二定律可得到單擺受力方程：

當單擺擺角θ很小時，也就是高中物理中經常提到的小于5°時，可以作下面這樣的近似（這個近似在接下來的泰勒展開中會詳細探究一下為什么可以這么運算）

這樣上面的方程可以進一步化為

這就是簡諧振動近似下的單擺運動方程，求解這個方程就可以得到高中物理中提到的單擺周期公式，對于上述這樣的微分方程可以得到：

繼續求解可以得到單擺的周期公式

二、大角度單擺周期中要用到的泰勒公式

后面將繼續探究大角度單擺，也就是非簡諧振動情況下的單擺運動，在這之前我們有必要介紹一下其中需要用到的數學處理方法泰勒中值定理。

在平常的物理運用中我們經常使用這些近似公式 ，將復雜函數用簡單的一次多項式函數來近似表示，這是一個進步。但是這些近似表示式過于粗糙，在 較大時其近似結果偏差非常大。所以在上述這樣的情況下人們就想著去改進這樣的情況，一是提高近似程度，比較有效的方法就是增加多項式的次數。二是對于近似，如果知道了其近似過程中的誤差也會極大地改進近似效果。

這一展開式中的第一項，在θ取值極小時寫出來當作 的近似項，而高中物理中提到的小角度簡諧振動單擺在擺角低于5°時才能近似為簡諧振動，就是因為當角度很小時， 與其第一項的θ偏離極小，所以對于之前提出的如果擺角不是5°而是5.1°時，這時候的近似還是有效的。因此對于小角度單擺的運動方程是否可以寫為簡諧振動的方程，應當看 與其一次近似項的偏差是否過大。

三、大角度單擺周期的幾種求解方法

1.單擺周期的精確解

在探究大角度單擺周期的近似求解方法之前，先研究一下關于任意擺角的單擺周期公式。對于上述的單擺過程中，從能量守恒的角度可以得到

上述公式實為橢圓積分表示式，積分步驟繁雜，對于這類積分超出了我的研究范圍，所以接下來我將采用之前提到的泰勒展開方法，將積分項運用泰勒公式展開之后再代入到原先的積分中求解，而展開之后的積分可以查詢簡單的積分表得到積分結果。

2.大角度單擺周期近似解的待定系數解法

之前在小角度單擺近似中我們取 的一次近似項θ解單擺的運動方程。上述我們也討論關于單擺周期的精確解法，這一解法雖然相對于橢圓積分相對容易一些，但還是相當的繁瑣，所以為了進一步簡化計算，更加方便快捷地得到我們需要的大角度單擺周期，采用待定系數的方法去實現這一功能。

首先我們將sinθ應用二倍角公式展開：

此時將變量 看作一個常數 ，其中 ， 仍然是之前我們所提到的擺線偏離平衡位置的最大偏角，μ是待定系數。這樣上式可以寫作

其中 。這樣上式就是對于小角度單擺運動方程的修正，只是其中多了一項待定系數，如此之后方程就又能夠簡單求解了。可以得到

上述式中μ是一個待定系數，求出這一待定系數就可以得到較精確的周期公式。求解的方法就是取不同的μ值，代入到大角度周期公式與任意角度周期公式中，然后再取不同的擺角，得到相應的T1值和T值，將這兩個周期值作比較，選取一個最合適的μ值，使得這兩個周期值相差極小。在此基礎上還可以將上述sinθ用三倍角、四倍角或者五倍角公式展開進行近似，只不過待定的系數將不是一個μ值，會有更多的待定系數，這樣得到的結果也會更加接近精確解。

除上述這兩種近似方法以外，還有許多其他的近似方法，比如將上述方程中的sinθ用其麥克勞林展開式來替代，選取其中的前兩項或者前三項代入方程中，只不過這樣的微分方程不如上述第二種的微分方程求解起來簡單，所以這里就不詳細研究了。

結語

本文從單擺的線性方程出發，求解小角度單擺的周期情況，再介紹了一下數學中的泰勒展開式，并運用數學上的這種泰勒展開的近似思想去求解大角度單擺周期甚至是任意角度的單擺周期。但是上述單擺是沒有空氣阻尼時的單擺運動情況，如果考慮空氣阻尼之后，單擺的運動將會變得更加復雜，就不能直接求解出來，即使是小角度的單擺，也不再是簡單的簡諧振動，方程也將變成非線性的，需要運用計算機數值求解，也會導致物理上的另一種奇特的現象“混沌”。

參考文獻

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