數學建模思想在高等數學中的應用探討

劉雷

摘 要：數學教學的根本目的是培養學生邏輯思維能力，提高學生解決實際問題的能力，新教學模式越來越重視教學與實踐的結合。隨著數學建模思想的廣泛應用，更多高校逐漸將數學建模教育應用于高等數學教學中。本文將簡要分析數學建模的方法和過程，并結合實例分析建模思想在高等數學中的應用。

關鍵詞：數學建模 高等數學 應用教學

近年來的高校擴招使得同一層次的學生之間存在較大的基礎差異，尤其是數學基礎，部分學生接觸到數學基礎課程《高等數學》表現出一定的難度，針對這種問題，高等數學教學也在頻繁進行教學改革，并以理論知識和實踐相結合的方式進行高等數學知識的普及，尤其是數學建模比賽，這種方式幫助學生提高對高等數學的理解能力和積極性，是未來高等數學教育的發展方向。

一、數學建模的方法與過程

數學建模思想事實上是為了使學生所學的知識更加具有實際應用價值，幫助學生運用理論知識構建一個依附于實際的假設，探索其與現實事件之間存在的聯系和發展規律，從而結合該假設模型去解決實際問題。

數學建模方法包含兩種類型：第一種是類比原理的方法，該方法是構建有具體物理背景或發展規律的模型，并結合實際來對其進行分析研究，探索其真實存在的邏輯關系，得出其內部相關演變原理。第二種是不明確發展規律的模型，我們首先需要將所構建的模型類比為一個“黑箱”，盡可能利用測量手段獲取具有一定規律的實驗數據，再結合計算機技術或統計的方法對這些實驗數據進行分析整理，并對模型進行相貼合的修改，從而使模型更接近于研究對象，利用這種系統辨識的方式解決實際問題，并得出其他演變參數。

數學建模的過程如下：（1）分析問題和研究對象;（2）構建模型假設;（3）參數及符號說明;（4）數據分析處理;（5）研究分析模型;（6）評價模型效果;（7）模型改進與推廣等。所構建的數學模型可以進行分類：按照研究對象與方法的差異可將其分為邏輯模型、幾何模型、圖論模型、微分方程模型等。按照研究對象的種類可將其分為生態模型、交通模型、環境模型、社會模型、經濟模型等。

二、數學建模思想在高等數學中的應用

1.在理論教學中的應用

數學建模思想產生于其與實際客觀發展規律的聯系，即高等數學中理論知識與實際發展規律的結合，一個數學概念的產生過程多需要經過漫長的研究驗證，最終才能應用到高等數學教學中，也就是說，數學概念的產生過程與實際不可分割，且目的是解決實際問題。數學建模思想更是極大地提現了這一屬性，將其應用于理論教學中，以概念具象化的方式激起學生對高等數學的積極性和學習興趣，使學生更易于接受理論知識。具體到高等數學的教學中，函數、極限、導數、微分、積分、向量、級數等均是高等數學中極具代表性的高頻概念。對于這些概念相關的理論知識講解，教師應該引入建模思想，列舉適當的數學模型來加深學生對這些概念的理解。

例如，關于導數的學習，教師可以結合物理問題列舉變速直線運動求瞬時速度的數學模型，或者求切線斜率問題的幾何模型，從而使學生理解導數與變化率之間的聯系，以此為依據使學生掌握導數概念的含義，從而結合導數的定義解決一些實際問題;關于定積分概念的學習，教師可以結合求曲邊梯形面積列舉幾何模型，或者結合求變力做功的物理問題列舉物理模型，引導學生發現定積分“化整為零”思想，將定積分的求解分化成“分割、近似、求和、取極限”四個步驟，從而解決問題。

2.在實際問題中的應用

數學模型的建立更在于提高學生解決實際問題的能力，因此解決實際問題時構建數學模型的應用更為廣泛且更為重要。學生在解決高等數學問題時，應盡可能回顧教學過程中與生活實際相類似的數學模型，仔細發現其中的規律，從而將研究對象與數學模型相結合，進行問題的分析和處理，提煉出有效數據信息，深化模型發展變化，以便更好地解決問題。

實際數學建模思想應用類型很多，主要列舉如下兩個問題進行應用分析：

第一類是最值問題。對于導數的研究，函數的單調性、極值、最值和凹凸性與拐點是最常見的研究對象，研究方法也存在很多共同點，學生應當在長時間的教學和練習過程中善于進行歸納總結，得出有關最值求法的主要解題步驟，并結合數學建模思想為主要解題步驟增加一些延伸問題來進行更深層次的研究，以打開個人思維，積累解決問題的經驗，并多加練習，使自己熟練掌握以數學建模為指導思想的最值問題解法。

第二類是微分方程問題。微分方程在高等數學中主要以計算問題為主，相應的理論知識也是針對多種典型的微分方程示例進行求解。而微分方程在解決實際問題上應用非常廣泛，典型的微分方程也只是實際問題的一部分。學生應該結合微分方程示例總結出通用的解題過程，首先分析方程中存在的顯性變量，并結合具體方程研究這些變量之間的邏輯關系，其次結合數學乃至其他學科如物理、化學、生物等的相關知識建立相應的微分方程，結合微分方程中的初始條件分析如何進行求解并得出最終計算結果，最后應用高等數學中的建模思想及其他理論知識進行結果分析和驗證。

總的來講，數學建模思想的應用具有較多優勢，但也存在一定的局限性，只有理論知識或研究對象之間的邏輯關系與之前學習歸納總結的方法存在相同之處甚至有很大聯系時，才能發揮數學建模思想的最大應用價值。

結語

應用數學建模思想既能夠激發學生的學習高等數學的積極性，也能夠培養學生分析問題的能力，對于高等數學不斷改革的今天，高校更應重視數學建模思想的應用，將數學建模思想融入到教育教學中，引導學生善于總結歸納，運用數學建模思想解決實際問題。同時多舉辦一些數學建模大賽或是學術交流會，鼓勵學生相互學習數學建模思想，全面提升學生的綜合素質，保證為社會輸送更多優質人才。

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