數(shù)形結(jié)合思想在高考數(shù)學(xué)題中的靈活妙用

江蘇省啟東市呂四中學(xué) 朱曉燕

縱觀近些年江蘇數(shù)學(xué)高考試題，對數(shù)形結(jié)合思想的考查涵蓋在各類題型中，以客觀題為主要考查形式，意在考查學(xué)生抽象思維與具象思維之間的轉(zhuǎn)化能力以及是否能夠把握住問題的本質(zhì)，從而快速得出問題的正確答案。筆者深度研究并總結(jié)了近些年江蘇數(shù)學(xué)高考試題中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想可解決的五大數(shù)學(xué)問題，以期教師對高中數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)能夠更加具有針對性和高效性。

一、函數(shù)的對稱性

函數(shù)圖像能夠生動直觀地反映一些重要信息和解題關(guān)鍵點(diǎn)，如函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性以及一些已知關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)信息，學(xué)生可根據(jù)題干中所給的函數(shù)圖像，挖掘圖像中的有效信息，完善函數(shù)表達(dá)式并解決問題，或?qū)W生根據(jù)題干中所給的數(shù)字關(guān)系式等信息繪制函數(shù)草圖，從圖像中挖掘特殊規(guī)律，完成問題解答。

例如，在2007年的江蘇高考數(shù)學(xué)試題中，有這樣一道關(guān)于“函數(shù)對稱性”的問題：設(shè)函數(shù)f（x）定義在實(shí)數(shù)集上，它的圖像關(guān)于直線x=1對稱，且當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=3x-1，則有（ ）。

本題是對指數(shù)函數(shù)單調(diào)性、特殊點(diǎn)以及函數(shù)圖像對稱性的綜合考查。由題可知，當(dāng)x≥1時(shí)，可根據(jù)函數(shù)特點(diǎn)或簡單的函數(shù)圖像得f（x）=3x-1為單調(diào)增函數(shù)，又因?yàn)楹瘮?shù)圖像關(guān)于直線x=1對稱，由此可得當(dāng)x＜1時(shí)，函數(shù)是單調(diào)遞減的，學(xué)生可根據(jù)此前畫出的草圖再畫出其對稱部分，大致標(biāo)出3個(gè)x值在圖像中的位置，會發(fā)現(xiàn)該圖像的特點(diǎn)在于x值越遠(yuǎn)離于1，函數(shù)值即越大，從而輕松得出結(jié)論B，通過圖像妙解此題。

二、線性規(guī)劃

高中階段學(xué)生需要掌握的線性規(guī)劃知識較為基礎(chǔ)，簡單的線性規(guī)劃是直線方程的一種簡單應(yīng)用，可結(jié)合圓以及圓錐曲線等進(jìn)行綜合考查，從而增大解題難度，線性規(guī)劃在高考中一般多以中檔題的形式出現(xiàn)，因此解決此類問題有一定難度，教師應(yīng)當(dāng)針對不同題型的特點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖像的運(yùn)用，增進(jìn)學(xué)生對此類問題的了解和熟練掌握。

例如，在2017年江蘇高考數(shù)學(xué)試題中，有這樣一道填空題：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（-12，0）， B（0，6），點(diǎn)P在圓O：x2+y2=50上，若≤20，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是______ 。

本題考察的是圓與直線位置關(guān)系的運(yùn)用。點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍表示一段符合條件的軌跡和區(qū)域，因此需要學(xué)生根據(jù)題意畫出草圖，根據(jù)圖像區(qū)域判斷符合條件的P點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍。可先設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x， y），得與，代入題中所給條件·≤20，得出一個(gè)關(guān)于x和y兩個(gè)變量的不等式，進(jìn)而與圓方程聯(lián)立，得出簡單的二元一次不等式2x-y+5≤0，將該不等式轉(zhuǎn)化為直線方程2xy+5=0，不等式所表示的區(qū)域即P點(diǎn)軌跡在直線上方，因此只要求出該直線與圓O的交點(diǎn)，再結(jié)合圖像得出范圍即可。

三、函數(shù)的大小比較

不同函數(shù)之間的大小比較多采用數(shù)形結(jié)合的方法解決，多出現(xiàn)在較為基礎(chǔ)的填空題中，根據(jù)填空題的解題技巧，學(xué)生應(yīng)當(dāng)采取一定的技巧快速得到正確答案，數(shù)形結(jié)合這一方法能夠促使學(xué)生正確把握解題方向，高效解題。這類問題尤其是在涉及兩個(gè)以上的變量或函數(shù)條件較為復(fù)雜時(shí)，即使在不完全明確函數(shù)表達(dá)式時(shí)，學(xué)生也可根據(jù)題中所給的特殊條件畫出草圖，求出函數(shù)圖像的交點(diǎn)等與問題相關(guān)的有效信息，省略一些煩瑣的計(jì)算步驟，高效得出正確的答案。

例如，在2013年江蘇高考數(shù)學(xué)試題中，有這樣一道填空題：已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x2-4x，則不等式f（x）＞x的解集用區(qū)間表示為______。

本題主要考查學(xué)生對函數(shù)奇偶性的掌握以及對函數(shù)圖像的運(yùn)用。由題干信息可知函數(shù)f（x）在x＞0時(shí)的表達(dá)式，且根據(jù)“奇函數(shù)”這一條件，很多學(xué)生的第一反應(yīng)就是求出函數(shù)在x＜0時(shí)的表達(dá)式，此法固然可以得出另一半函數(shù)表達(dá)式，但這一方法無形中加重了學(xué)生的計(jì)算量，而運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想則可以減少一半計(jì)算量，根據(jù)條件畫出f（x）在x＞0時(shí)的圖像，再根據(jù)“奇函數(shù)”這一條件畫出關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖像，結(jié)合y=x這條直線，計(jì)算兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)所在，再根據(jù)圖像的趨勢，快速得出x的取值范圍。

四、三角函數(shù)

高考對三角函數(shù)性質(zhì)的考查一般較為基礎(chǔ)，多需要學(xué)生求出具體函數(shù)解析式，得到特定點(diǎn)的函數(shù)值。在三角函數(shù)f（x）=Asin（wx+φ）中，A， w以及φ是常數(shù)，也是常要求學(xué)生根據(jù)圖像、周期以及特殊點(diǎn)等一系列信息計(jì)算的三個(gè)常數(shù)，因此，學(xué)生應(yīng)當(dāng)牢固掌握三角函數(shù)的圖像畫法，根據(jù)振幅、周期等條件得出常數(shù)值，完善三角函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而求出特定點(diǎn)的函數(shù)值。

例如，在2011年江蘇高考數(shù)學(xué)試題中，有這樣一道填空題：函數(shù)f（x）=Asin（wx+φ）（A， w以及φ是常數(shù)，A＞0，w＞0）的部分圖像如圖所示，則f（0）=______。

本題考查的是學(xué)生對三角函數(shù)圖像、性質(zhì)的掌握情況。本題的有效信息均出現(xiàn)在圖像中，首先可以確定最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)，確定A值大小，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)的周期特點(diǎn)以及圖像中兩點(diǎn)x值之間的間隔，求出周期T，進(jìn)而得到w值，最關(guān)鍵也是最易出現(xiàn)錯(cuò)誤的一步即φ值的計(jì)算，需根據(jù)三角函數(shù)左右移動的距離確定φ值，并做一定的討論，題干所給圖像對學(xué)生具有一定的迷惑性，學(xué)生應(yīng)當(dāng)根據(jù)計(jì)算所得的φ值，討論得出三角函數(shù)解析式，從而更全面地解出函數(shù)值。

總之，以數(shù)輔形，方顯細(xì)微精妙，以形輔數(shù)，方顯直觀形象。針對數(shù)形結(jié)合思想在高考數(shù)學(xué)試題中出現(xiàn)頻率較高的特點(diǎn)，教師在對學(xué)生進(jìn)行數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)時(shí)，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行總結(jié)，通過不同題型的歸納和規(guī)律總結(jié)，大大提升試題完成效率，并通過舉一反三的方法，拓展新穎題型中數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用，從而在解題過程中保持更加理性、從容，最終實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維和解題能力的有效提升。